8.4: Imágenes y Preimágenes de Funciones

Hay dos tipos importantes de conjuntos relacionados con las funciones.

Definición 8.83. Dejar\(f:X\to Y\) ser una función.

1. Si\(S\subseteq X\), la imagen de\(S\) debajo\(f\) se define a través de\[f(S):= \{f(x) \mid x\in S\}.\]
2. Si\(T\subseteq Y\), la preimagen (o imagen inversa) de\(T\) bajo\(f\) se define a través de\[f^{-1}(T):= \{x\in X \mid f(x)\in T\}.\]

La imagen de un subconjunto\(S\) del dominio es simplemente el subconjunto del codominio que obtenemos mapeando los elementos de\(S\). Es importante enfatizar que la función\(f\) mapea elementos de\(X\) a elementos de\(Y\), pero podemos aplicar\(f\) a un subconjunto de\(X\) para producir un subconjunto de\(Y\). Es decir, si\(S\subseteq X\), entonces\(f(S)\subseteq Y\). Tenga en cuenta que la imagen del dominio es la misma que el rango de la función. Es decir,\(f(X)=\range(f)\).

Cuando se trata de preimágenes, existe una oportunidad real de confusión. En la Sección 8.3, introdujimos la relación inversa\(f^{-1}\) de una función\(f\) (ver Definición 8.70) y probamos que esta relación es una función exactamente cuando\(f\) es una biyección (ver Teorema 8.74). Si\(f^{-1}:Y\to X\) es una función, entonces es sensato escribir\(f^{-1}(y)\) para\(y\in Y\). Observe que definimos la preimagen de un subconjunto del codominio independientemente de si\(f^{-1}\) es una función o no. En particular, for\(T\subseteq Y\),\(f^{-1}(T)\) es el conjunto de elementos en el dominio que se mapea a elementos en\(T\). Como caso especial,\(f^{-1}(\{y\})\) es el conjunto de elementos en el dominio al que se mapea\(y\in Y\). Si\(y\notin \range(f)\), entonces\(f^{-1}(\{y\})=\emptyset\). Observe que si\(y\in Y\), siempre\(f^{-1}(\{y\})\) es algo sensato escribir mientras que\(f^{-1}(y)\) solo tiene sentido si\(f^{-1}\) es una función. También, tenga en cuenta que la preimagen del codominio es el dominio. Es decir,\(f^{-1}(Y)=X\).

Problema 8.84. Definir\(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) vía\(f(x)=x^2\). Enumere los elementos en cada uno de los siguientes conjuntos.

1. \(f(\{0,1,2\})\)
2. \(f^{-1}(\{0,1,4\})\)

Problema 8.85. Definir\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) vía\(f(x)=3x^2-4\). Encuentra cada uno de los siguientes conjuntos.

1. \(f(\{-1,1\})\)
2. \(f([-2,4])\)
3. \(f((-2,4))\)
4. \(f^{-1}([-10,1])\)
5. \(f^{-1}((-3,3))\)
6. \(f(\emptyset)\)
7. \(f(\mathbb{R})\)
8. \(f^{-1}(\{-1\})\)
9. \(f^{-1}(\emptyset)\)
10. \(f^{-1}(\mathbb{R})\)

Problema 8.86. Definir\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) vía\(f(x)=x^2\).

1. Encuentra dos subconjuntos no vacíos\(A\) y\(B\) de\(\mathbb{R}\) tal que\(A\cap B=\emptyset\) pero\(f^{-1}(A)=f^{-1}(B)\).
2. Encuentra dos subconjuntos no vacíos\(A\) y\(B\) de\(\mathbb{R}\) tal que\(A\cap B=\emptyset\) pero\(f(A)=f(B)\).

Problema 8.87. Supongamos que\(f:X\to Y\) es una inyección\(A\) y y\(B\) son subconjuntos disjuntos de\(X\). ¿Son\(f(A)\) y\(f(B)\) necesariamente subconjuntos disjuntos de\(Y\)? Si es así, probarlo. De lo contrario, proporcione un contraejemplo.

Problema 8.88. Encuentra ejemplos de funciones\(f\) y\(g\) junto con conjuntos\(S\) y\(T\) tal que\(f(f^{-1}(T))\neq T\) y\(g^{-1}(g(S))\neq S\).

Problema 8.89. Dejar\(f:X\to Y\) ser una función y supongamos\(A, B\subseteq X\) y\(C, D\subseteq Y\). Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si una afirmación es cierta, demuéstrala. De lo contrario, proporcione un contraejemplo.

1. Si\(A\subseteq B\), entonces\(f(A)\subseteq f(B)\).
2. Si\(C\subseteq D\), entonces\(f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)\).
3. \(f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup f(B)\).
4. \(f(A\cup B)\supseteq f(A)\cup f(B)\).
5. \(f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)\).
6. \(f(A\cap B)\supseteq f(A)\cap f(B)\).
7. \(f^{-1}(C\cup D)\subseteq f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)\).
8. \(f^{-1}(C\cup D)\supseteq f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)\).
9. \(f^{-1}(C\cap D)\subseteq f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)\).
10. \(f^{-1}(C\cap D)\supseteq f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)\).
11. \(A\subseteq f^{-1}(f(A))\).
12. \(A\supseteq f^{-1}(f(A))\).
13. \(f(f^{-1}(C))\subseteq C\).
14. \(f(f^{-1}(C))\supseteq C\).

Problema 8.90. Para cada una de las declaraciones en el problema anterior que fueran falsas, determinar condiciones, en su caso, sobre los conjuntos correspondientes que harían verdadera la declaración.

Podemos generalizar los resultados anteriores para manejar colecciones arbitrarias de conjuntos.

Teorema 8.91. Dejar\(f:X\to Y\) ser una función y supongamos que\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) es una colección de subconjuntos de\(X\).

1. \(\displaystyle f\left(\bigcup_{\alpha\in\Delta} A_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in\Delta} f\left(A_{\alpha}\right)\).
2. \(\displaystyle f\left(\bigcap_{\alpha\in\Delta} A_{\alpha}\right)\subseteq\bigcap_{\alpha\in\Delta} f\left(A_{\alpha}\right)\).

Teorema 8.92. Dejar\(f:X\to Y\) ser una función y supongamos que\(\{C_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) es una colección de subconjuntos de\(Y\).

1. \(\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup_{\alpha\in\Delta} C_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in\Delta} f^{-1}\left(C_{\alpha}\right)\).
2. \(\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap_{\alpha\in\Delta} C_{\alpha}\right)=\bigcap_{\alpha\in\Delta} f^{-1}\left(C_{\alpha}\right)\).

Problema 8.93. Considerar la relación de equivalencia dada en el Teorema 8.44. Explique por qué cada clase de equivalencia\([a]\) es igual a\(f^{-1}(\{f(a)\})\).

Problema 8.94. Supongamos que\(f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es una función satisfactoria\(f(x+y)=f(x)+f(y)\) para todos\(x,y\in\mathbb{R}\).

1. \(f(0)=0\)Demuéstralo.
2. \(f(-x)=-f(x)\)Demuéstralo para todos\(x\in\mathbb{R}\).
3. Demostrar que\(f\) es inyectable si y solo si\(f^{-1}(\{0\})=\{0\}\).
4. Ciertamente, cada función dada por\(f(x)=mx\) for\(m\in\mathbb{R}\) satisface la hipótesis inicial. ¿Se puede dar un ejemplo de una función que satisface\(f(x+y)=f(x)+f(y)\) que no es de la forma\(f(x)=mx\)?