2.4: Ejemplos Aplicados

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 112507

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

En esta sección, aplique la fórmula de distancia\(d = \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\) para encontrar las longitudes de los segmentos de línea.

Nota: Tres puntos\(A\)\(B\), y\(C\) son colineales, o en otras palabras, los tres puntos se encuentran en la misma línea, si la suma de las longitudes de cualquiera de dos segmentos de línea que conectan los puntos, es igual a la longitud del segmento de línea restante. Es decir,\(AB + BC = AC\) o,\(AB + BC = AC\) o,\(AB + AC = BC\) o\(AC + BC = AB\).

Ejemplo 2.4.1

Determinar si los tres puntos dados son colineales.

\(A(10, −4)\quad B(8, −2) \quad C(2, 4)\)

Solución

Primero encuentra segmentos\(AB\),\(BC\), y\(AC\). Para ello, encuentra la distancia entre los puntos\(A\) y\(B\),\(B\) y\(C\),\(A\) y\(C\).

\(\begin{aligned} \text{Segment AB }&=\text{ The distance between point A and Point B } \\ &= \sqrt{(8 − 10)^2 + [−2 − (−4)]^2} \\ &= \sqrt{(−2)^2 + (2)^2} \\&= \sqrt{ 8}\\&= 2\sqrt{2} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \text{Segment BC }&=\text{ The distance between point B and Point C } \\ &= \sqrt{(2 − 8)^2 + [4 − (−2)]^2 }\\ &= \sqrt{(−6)^2 + (6)^2} \\&= \sqrt{ 72 }\\&= 6\sqrt{ 2}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \text{Segment AC }&=\text{ The distance between point A and Point C }\\&= \sqrt{(2 − 10)^2 + [4 − (−4)]^2} \\&= \sqrt{(−8)^2 + (8)^2 }\\&= \sqrt{ 128 }\\&= 8\sqrt{ 2}\end{aligned}\)

Por lo tanto,

\(\begin{aligned} AB + BC &= 2\sqrt{ 2} + 6\sqrt{ 2 }\\&= 8\sqrt{ 2 } \\&= AC \end{aligned}\)

Desde Así,\(AB + BC = AC\) entonces tres puntos son colineales.

Ejercicio 2.4.1

Determinar si los siguientes puntos son colineales.
1. \(A(4,-1)\quad B(5,-2) \quad C(1,2)\)
2. \(A(2,-2)\quad B(3,1)\quad C(2,1)\)