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LibreTexts Español

9.3: Sumar y restar expresiones racionales

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    Definición: Suma o resta expresiones racionales

    Para sumar o restar expresiones racionales, piense en esto como fracciones con variables. Se necesita un denominador común (llamado LCD) para sumar y restar.

    Encuentra el LCD/LCM

    Definición: LCD/LCM

    Para encontrar el LCD, primero factorial completamente todos los denominadores. Construye el LCD a partir de los factores que se encuentran en todos los denominadores. Multiplique cada factor el mayor número de veces que ocurre en cualquiera de las expresiones. Si el mismo factor ocurre más de una vez en ambas expresiones, multiplique el factor el mayor número de veces que ocurre en cualquiera de las expresiones. Se llamará el LCM en esta sección (Mínimo Común Múltiple), porque no hay fracciones en estos problemas.

    Ejemplo 9.3.1
    1. \((x^2 − 2x − 3)\)y\((x^2 + 2x − 15)\)
    2. \((x^2 − 9)\)y\((2x^2 − 5x − 3)\)
    3. \((x^2 + x − 2)\)y\((x^2 + 4x + 4)\)

    Solución

    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 2x − 3) \text{ and } (x^2 + 2x − 15) &\text{Example problem} \\ &(x − 3)(x + 1) \text{ and } (x − 3)(x + 5) &\text{Factor} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 1)(x + 5) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\& &\text{Only one copy of \((x − 3)\)es necesario, porque representa el factor que se encuentra en cada expresión.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 9) \text{ and } (2x^2 − 5x − 3) &\text{Example problem} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x^2−6x+1x−3) &\text{Factor; the first polynomial is a difference of squares, and use factor by grouping for the second polynomial.} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x(x−3)+1(x− 3)) &\text{Factor by grouping.} \\ &(x − 3)(x + 3) \text{ and } (2x + 1)(x − 3) &\text{Completely factored.} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 3)(2x + 1) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Only one copy of \((x − 3)\)es necesario, porque representa el factor que se encuentra en cada expresión.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 + x − 2) \text{ and } (x^2 + 4x + 4) &\text{Example problem} \\ &(x − 1)(x + 2) \text{ and } (x + 2)(x + 2) &\text{Factor.} \\ &\text{The LCM is } (x − 1)(x + 2)(x + 2) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Two copies of \((x + 2)\)son necesarios, porque representa el mayor número de esos factores encontrados en cualquiera de las expresiones.}\\ &\ text {El LCM es} (x − 1) (x + 2) ^2 &\ text {Respuesta alternativa.} \ end {array}\)
    Ejercicio 9.3.1

    Encuentra el LCM:

    1. \((3x^2 − 13x + 4)\)y\((x^2 − 16)\)
    2. \((2x^2 + x − 3)\)y\((x^2 − 2x + 1)\)
    3. \((x − 1)\)y\((x^2 − 4x − 5)\)
    4. \((6x^2 − 23x + 20)\)y\((4x^2 − 25)\)

    Restar expresiones racionales y simplificar a una sola expresión racional

    Definición: Suma o resta expresiones racionales usando la pantalla LCD

    Las expresiones racionales son fracciones con variables (también conocidas como fracciones algebraicas). Para sumar o restar expresiones racionales, primero encuentra el denominador común (la LCD), luego suma o resta los numeradores, manteniendo el mismo denominador (común). Finalmente, factive y simplifique eliminando factores comunes del numerador y denominador si es posible.

    Ejemplo 9.3.2

    Sumar o restar y simplificar:

    1. \(\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5}\)
    2. \(\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9}\)
    3. \(\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)

    Solución

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Find the LCD, which is \((2x − 1)(2x + 5)\)}\\ &\ dfrac {2x (2x + 5)} {(2x − 1) (2x + 5)} -\ dfrac {2x (2x − 1)} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Multiplica el numerador y denominador de cada expresión racional por los términos que faltan en la LCD.}\\ &\ dfrac {2x (2x + 5) − [2x (2x + 5) − [2x (2x + 5) − [2x (2x (2x + 5) − (2x (2x (2x 2x − 1)]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Coloque la resta en el numerador sobre un único denominador común.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − [4x^2 − 2x]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Distribuye, combina términos similares y simplifica el numerador.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − 4x^2 + 2x} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Cuidar de distribuir la resta a ambos términos.}\\ &\ dfrac { 12x} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Respuesta final.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 3)(x − 3)(x + 3)\)}\\ &\ dfrac {4 (x − 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} -\ dfrac {5 (x + 3)} {(x − 3) (x − 3) (x + 3)} &\ text {Multiplica el numerador y denominador de cada expresión racional por los términos que faltan en la LCD.}\\ &\ dfrac {4} {(x − 3) − 5 (x + 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Coloque la resta en el numerador sobre un único denominador común.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − [5x + 15]} {(x + 3) (x − 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Distribuye, combina términos similares y simplifica el numerador.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − 5x − 15} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Tener cuidado de distribuir la resta a ambos términos.}\\ &\ dfrac {−x − 27} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Respuesta final.}\\ &\ dfrac {− (x + 27)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Respuesta alternativa}\ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 1)(x + 1)\)}\\ &\ dfrac {x (x − 1)} {(x + 1) (x − 1)} +\ dfrac {(2x + 3)} {(x − 1) (x + 1)} &\ text {Multiplica el numerador y denominador de cada expresión racional por los términos que faltan en la LCD.}\\ & &\ text {Observe que la segunda expresión racional ya tiene la LCD como su denominador.}\\ [0.125 in] &\ dfrac {x (x − 1) + (2x + 3)} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Coloca la resta en el numerador sobre un único denominador común.}\\ &\ dfrac {x^2 − x + 2x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Distribuir, combinar términos similares y simplificar el numerador.}\\ &\ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ texto { Cuidar de distribuir la resta a ambos términos.}\\ &\ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Respuesta final.} \ end {array}\)
    Ejercicio 9.3.2

    Sumar o restar y simplificar:

    1. \(\dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{24x^3}{x3 + 2}\)
    2. \(\dfrac{x}{1 − x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)
    3. \(\dfrac{5}{x + 3} + \dfrac{x^2 − 4x − 21}{x^2 − 9}\)
    4. \(\dfrac{39x + 36}{x^2 − 3x − 10} - \dfrac{23x − 16}{x^2 − 7x + 10}\)

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