9.4: Racionalizar fracciones algebraicas
- Page ID
- 112582
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
Si el denominador de una expresión racional contiene sumas o diferencias que involucran radicales, es buena forma racionalizar siempre el denominador multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado del denominador contiene los mismos términos, pero operaciones opuestas (suma o resta).
Racionalizar el denominador y simplificar:
- \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
- \(\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)
- \(\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)
Solución
- \(\begin{array} &&\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(1 + \sqrt{x})}{(1 − \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((1+\sqrt{x})\)}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 −\ sqrt {x} +\ sqrt {x} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {FOIL el denominador.}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 −\ cancel {\ sqrt {x}} +\ cancel {\ sqrt {x}}} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {Eliminar términos opuestos que suman a cero.}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} &\ text {El cuadrado raíz de\(x\), cantidad al cuadrado es\(x\).}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} &\ text {Respuesta final con el denominador racionalizado, es decir, que no hay términos de raíz cuadrada en el denominador.} \ end {array}\)
- \(\begin{array} &&\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x}\ sqrt {y} +\ sqrt {x}\ sqrt {y} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {FOIL el denominador.}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {y}) ^2} &\ text {FOIL el denominador.}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} +\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {Eliminar términos opuestos que suma a cero.}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y}} {x − y} &\ text {La raíz cuadrada de\(x\), cantidad cuadrada es\(x\), y la raíz cuadrada de\(y\), cantidad cuadrada es\(y\).}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y}} {x y −} &\ text {Respuesta final con el denominador racionalizado, significado que no hay términos de raíz cuadrada en el denominador.} \ end {array}\)
- \(\begin{array} &&\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x}) ^2 + 2 (\ sqrt {x}\ sqrt {y}) + (\ sqrt {y}) ^2} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x}\ sqrt {y} +\ sqrt {x}\ sqrt {y} − (\ ^sqrt {y}) 2} &\ text {FOIL el numerador y el denominador.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} +\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {Eliminar términos opuestos que suman a cero.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {x − y} &\ text {La raíz cuadrada de\(x\), cantidad cuadrada es\(x\), y la raíz cuadrada de\(y\), cantidad cuadrada es\(y\).}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {x − y} &\ text {Respuesta final con el denominador racionalizado, es decir, que no hay términos de raíz cuadrada en el denominador.} \ end {array}\)
Racionalizar el denominador y simplificar:
- \(\dfrac{x}{1 − \sqrt{x}}\)
- \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
- \(\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} − 1}\)
- \(\dfrac{x − 1}{\sqrt{x} − 1}\)