6.1: Suma y resta

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Necesitarás: Contadores Positivos y Negativos (Tarjetas de Material 18A y 18B)

Recuerda que los números enteros están conformados por cero y los números de conteo: 0, 1, 2, 3, 4, 5,. Cuando los escolares ven por primera vez una línea numérica, generalmente se enfocan en los números enteros y la recta numérica se ve así:

Screen Shot 2021-05-23 a las 11.24.18 AM.png

En este modelo, la recta numérica comienza en cero, y la flecha a la derecha indica que continúa indefinidamente hacia la derecha. En realidad, hay infinitamente muchos números (o puntos) entre dos números cualesquiera en la recta numérica. Por ejemplo, algunos del número infinito de puntos entre 1 y 2 son 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/5, 8/5, etc. En la recta numérica, también hay infinitamente muchos números irracionales. Los números irracionales no pueden escribirse como la proporción de dos números enteros, como la forma en que representamos fracciones reducidas. Ejemplos de algunos números irracionales entre 3 y 4 son$\sqrt{11}$,$\sqrt{15}$, 3.10110111..., y$\pi$. Contrario a la creencia popular,$\pi$ no equivale a 3.14 y$\pi$. no equivale a 22/7. Tanto 3.14 como 22/7 son números racionales (a diferencia de$\pi$ lo que es un número irracional, NO un número racional) y 3.14 y 22/7 son solo aproximaciones comúnmente utilizadas al calcular con$\pi$. Los números irracionales serán explorados y discutidos con más detalle en un módulo diferente.

Bien, volvamos a nuestra discusión de la línea numérica. La línea numérica que se muestra al comienzo de este conjunto de ejercicios es realmente solo una media línea, por lo que llamarlo una línea numérica es realmente un nombre inapropiado. Una línea horizontal continúa indefinidamente tanto en dirección izquierda como derecha, no solo hacia la derecha. Los números a la derecha de cero se denominan números positivos. Los números a la izquierda de cero se denominan números negativos. Cero es el único número que no tiene signo —no es ni positivo, ni negativo. Para cada número positivo, hay un número negativo correspondiente, que en una línea numérica dada, está a la misma distancia de cero que el número positivo, pero está al lado izquierdo del cero. Los números a la misma distancia de pero en lados opuestos de cero se llaman “opuestos”. Los números negativos se representan así: -5 se lee “cinco negativos”, -20 se lee “veinte negativos”, etc. Entonces, 5 y -5 son opuestos, 20 y -20 son opuestos, y cero es lo opuesto de sí mismo.

Ejercicio 1

Para cada marca en la línea numérica, rellene los números que faltan

Screen Shot 2021-05-23 a las 11.24.52 AM.png

Definiciones: El conjunto de enteros positivos (que también se denominan comúnmente los números naturales o números de conteo) se escribe como: {1, 2, 3, 4,...}. Los números positivos también se pueden escribir con un signo positivo antes de él. Por ejemplo, 4 puede escribirse un +4.

El conjunto de números enteros contiene tanto cero como los números naturales y se escribe como: {0, 1, 2, 3,...}.

Definición: El conjunto de enteros negativos contiene exactamente todos los opuestos de todos los enteros positivos.

1. Escribe el conjunto de enteros negativos:

Definición: El conjunto de enteros se compone de cero, los enteros positivos y los enteros negativos.

2. Escribe el conjunto de enteros:

Definición: El valor absoluto de un número en la recta numérica se define como la distancia que ese punto es desde cero. Dado que el valor absoluto se define en términos de distancia, nunca puede ser negativo. Para evaluar el valor absoluto de un número, indicar la distancia que es desde cero.

Ejemplos

El valor absoluto de 5 es 5, ya que la distancia de 5 a 0 es de 5 unidades. El valor absoluto de -5 también es 5, ya que la distancia de -5 a 0 también es de 5 unidades.

Ejercicio 3

Evaluar el valor absoluto de cada uno de los siguientes números:

a. 4: ____

b. -8: ____

c. 2: ____

d. -1: ____

e. 0: ____

Para indicar el valor absoluto de un número, lo encerramos entre dos líneas verticales. “El valor absoluto de -15 es 15" se escribe así: | -15 | = 15. Para simplificar un problema con un signo de valor absoluto, primero se debe simplificar la parte dentro del signo de valor absoluto. Entonces, si la parte dentro del signo de valor absoluto no es simplemente un numeral, piense en la parte interior como entre paréntesis, y simplifíquela primero. Entonces, toma el valor absoluto del numeral. Tendrás que hacer esto para las partes c y f del ejercicio 4.

Ejercicio 4

Simplifica cada uno de los siguientes:

a. \| 7 \| = ______		c. \| 7 — 3 \| = _______
d.$\|\frac{3}{7}\|$ = ______	e.$\|-\frac{3}{7}\|$ = ______	f. \| 2$\cdot$ 5 — 4 \| = _______

Ejercicio 5

Escribe dos números que tengan un valor absoluto de 6 ______ y _______

Ejercicio 6

Escribe dos números que tengan un valor absoluto de 19 ______ y ______

Ejercicio 7

Escribe todos los números que tengan un valor absoluto de cero _______

Ejercicio 8

Escribe todos los números que tengan un valor absoluto de -10 (negativo 10) _______

Cada número positivo y negativo se puede representar con un segmento de línea dirigido llamado vector.

Básicamente, un vector parece una flecha. Tiene dos propiedades: tiene una cierta longitud (llamada la “magnitud”) y apunta en cierta dirección. Como vamos a estar usando líneas numéricos horizontales, vamos a estar dibujando vectores horizontales. Una flecha que apunte a la derecha denotará un número positivo y una flecha que apunte a la izquierda denotará un número negativo.

A continuación se muestra una línea numérica, con algunos vectores mostrados arriba. El vector a tiene 6 unidades de largo y la flecha apunta a la derecha. Por lo tanto, representa el número +6. El vector b también tiene 6 unidades de largo, pero apunta a la izquierda. Por lo tanto, representa el número -6. Ambos vectores tienen una magnitud de 6.

Screen Shot 2021-05-18 a las 4.35.06 PM.png

Ejercicio 9

¿Qué número representa el vector c? _________
¿Qué número representa el vector d? _________

Cada vector tiene un punto inicial (el punto inicial del vector) y un punto terminal (el punto final, donde se muestra la flecha). Si el punto inicial del vector se coloca en cero, la línea numérica se puede usar como un marcador conveniente: el punto terminal del vector simplemente se coloca en el número que se representa. Pero no es necesario representarlo de esa manera, como se pudo ver en todos los vectores mostrados en los ejemplos anteriores. Los vectores a, b, c y d podrían haberse dibujado con el punto inicial en cero como se muestra a continuación. Si dibujas un vector con su punto inicial en cero, el número que representa el vector es simplemente el mismo número en la línea numérica donde aterriza su punto terminal.

Screen Shot 2021-05-23 a las 11.27.26 AM.png

Otra forma de pensar sobre los números es pensar en ellos en términos de "acciones”. Se podría pensar en el número “5" como la acción de mover 5 espacios hacia la derecha. Cuando dibujas el vector que representa 5, esa es una manera de mostrar esa acción en particular. Se podría pensar en el número “-3" como la acción de mover 3 espacios hacia la izquierda. Cuando dibujas el vector que representa -3, esa es una manera de mostrar esa acción en particular.

La recta numérica, junto con esta idea de pensar en los números en términos de acciones, se puede utilizar para sumar números juntos.

Definición: Para sumar dos números, m y n, HACES la primera acción, m. El signo de suma significa AHORA HACER la segunda acción, n. La respuesta al problema (que es la suma: m + n) es la acción única que podría haberse hecho para lograr el mismo resultado que hacer las acciones separadas en sucesión.

Considera esta forma práctica de pensarlo. Piense en caminar hacia el este como representar un número positivo y caminar hacia el oeste como representar un número negativo. Si caminabas 5 cuadras al este, luego 7 cuadras al oeste, luego 3 cuadras al este, estarías una cuadra al este de tu punto de partida original. Esta puede ser una forma de pensar sobre el problema: 5 + (-7) + 3 = 1.

Procedimiento para usar vectores como acciones para sumar dos números, m y n

Escoja un punto de partida y dibuje el vector m (que es una forma de representar la acción de m) con su punto inicial en el punto de partida designado.
El signo de suma significa comenzar en el punto terminal de la acción anterior HACER la siguiente acción. Entonces, dibuja el vector n, colocando el punto inicial de n en el punto terminal del vector m.
La suma, m + n, es el mismo número que estaría representado por un vector con su punto inicial colocado en el punto de partida original y su punto terminal en el punto terminal final después de que tuvo lugar la última acción.

Comenzando en cero, HACER la acción -4 (que se muestra dibujando el vector que representa -4), luego HACER la acción 8 (que se muestra dibujando el vector que representa 8).

La respuesta es 4 ya que el punto terminal del último vector aterrizó en 4.

Ejemplo:$50 + -35$

50 + -35.

Comenzando en cero, HACER la acción 50 (se muestra dibujando el vector que representa 50), luego HACER la acción -35 (mostrada dibujando el vector que representa -35).

La respuesta es 15 ya que el punto terminal del último vector aterrizó en 15.

Screen Shot 2021-05-23 at 11.31.44 AM.png

Es IMPERATIVO que ETIQUES tu línea numérica. De lo contrario, no está claro qué representa cada vector. No asuma que cada marca representa 1 unidad. Sin la etiqueta de al menos un número a cada lado del cero en el último ejemplo, se podría suponer que el último ejemplo mostrado representaba 10 + -7 y que la respuesta era 3.

Ejercicio 10

Utilice vectores en la recta numérica para sumar los siguientes números juntos. Marque y ETIQUE su línea numérica con al menos cero y un punto a cada lado.

Aquí hay un ejemplo de cómo hacer los siguientes problemas:

-4 + 8 + (-5) = -1 ya que el punto terminal del último vector aterrizó en -1.

Screen Shot 2021-05-23 a las 11.41.41 AM.png

a. 5 + (-8) = _____ desde ______________________________________________

Screen Shot 2021-05-24 a las 10.58.51 AM.png

b. -7 + (-2) = _____ desde _____________________________________________

c. -5 + 9 = _____ desde _____________________________________________

d. 7 + (-6) = _____ desde ______________________________________________

e. -7 + 5 = _____ desde ______________________________________________

f. -100 + 40 = _____ desde ______________________________________________

g. -3 + (-2) + 4 = _____ desde ___________________________________________

h. 4 + (-12) + 5 = _____ desde ______________________________________________

A veces, verás líneas numéricos verticales en lugar de líneas numéricos horizontales. En este caso, los números positivos van hacia arriba, y están representados por vectores verticales con la flecha apuntando hacia arriba. Asimismo, los números negativos bajan y están representados por vectores verticales apuntando hacia abajo. A la derecha se muestra un ejemplo de una recta numérica vertical.

Screen Shot 2021-05-24 at 11.01.20 AM.png

Ejercicio 11

Existe un uso común de usar una línea numérica vertical. ¿Se te ocurre uno? A ver si se le ocurre alguna y anote alguna aquí abajo.

Si necesitas una pista para el Ejercicio 11, piensa en el clima.

Seguiremos pensando en las acciones a medida que usamos vectores para hacer problemas de resta.

Definición: Para restar un número, m, DESHACES la acción, m lo que significa HACER LO OPUESTO de la acción m.

Ya sea que esté o no haciendo un problema de resta, un problema de suma, o ambos en el mismo problema, la respuesta al problema es la acción única que se podría haber hecho para lograr el mismo resultado que hacer las acciones separadas en sucesión.

Se puede pensar en la resta como deshacer algún error.

Considera una variación del ejemplo original dado para la adición. Para refrescar tu memoria, aquí estaba ese problema: Piense en caminar hacia el este como representar un número positivo y caminar hacia el oeste como representar un número negativo. Si caminabas 5 cuadras al este, luego 7 cuadras al oeste, luego 3 cuadras al este, estarías una cuadra al este de tu punto de partida original. Esta puede ser una forma de pensar sobre el problema: 5 + (-7) + 3 = 1.

Ejercicio 12

Imagina que caminaste 5 cuadras al este, luego 2 cuadras al oeste, y luego te diste cuenta de que habías cometido un error No se suponía que caminaras 2 cuadras al oeste. Tendrías que deshacer ese error. ¿Qué harías para deshacer ese error y volver a donde estabas antes de caminar 2 cuadras al oeste en accidente?

En el ejercicio 12, espero que te hayas dado cuenta de que necesitabas caminar 2 cuadras al este para deshacer tu error. Para traducir los pasos dados en #12, podríamos escribir 5 + (-2) — (-2) = 5. Así es como explicaríamos y mostraríamos las acciones usando vectores en la recta numérica.

5 + (-2) — (-2): Comenzando en cero, HACER la acción 5 (mostrada dibujando el vector que representa 5), luego HACER la acción -2 (mostrada dibujando el vector que representa -2), luego DESHACER la acción de -2 (que significa HACER EL OPUESTO de la acción -2, que es HACER la acción +2, mostrada dibujando el vector que representa +2).

La respuesta es 5 ya que el punto terminal del último vector aterrizó en 5.

Screen Shot 2021-05-23 a las 11.56.41 AM.png

Procedimiento para usar vectores para sumar o restar dos números:

Si el primer número es m, elija un punto de partida y dibuje el vector m (que es una forma de representar la acción m) con su punto inicial en el punto de partida designado.
Si el siguiente signo es suma, HACER la siguiente acción dibujando el vector que representa el siguiente número, colocando el punto inicial de este vector en el punto terminal del vector anterior. Si, por otro lado, el siguiente signo es la resta, DESHACER la siguiente acción. Entonces, dibuja el vector que representa lo opuesto del siguiente número, colocando el punto inicial de este vector en el punto terminal del vector anterior.
Si hay otra señal de suma o resta, regrese al paso 2. De lo contrario, en este punto, podemos encontrar la respuesta. La respuesta es el mismo número que estaría representado por un vector con su punto inicial colocado en el punto de partida original y su punto terminal en el punto terminal final después de que tuvo lugar la última acción.

La respuesta es 15 ya que el punto terminal del último vector aterrizó en 15.

Ejercicio 13

Utilice vectores en la recta numérica para sumar los siguientes números juntos. Marque y ETIQUE su línea numérica con al menos cero y un punto a cada lado.

Aquí hay un ejemplo de cómo hacer los siguientes problemas:

Ejemplo

-4 + 8 + (-5) = -1 ya que el punto terminal del último vector aterrizó en -1.

Screen Shot 2021-05-23 a las 12.11.21 PM.png

a. 5 — (+8) = _____ desde __________________________________________.

Screen Shot 2021-05-23 a las 12.28.29 PM.png

b. -7 — (+2) = _____ desde __________________________________________.

c. -5 — (-9) = _____ desde _____________________________________________.

d. 7 — (+6) = _____ desde __________________________________________.

e. -7 — (-5) = _____ desde __________________________________________.

f. -100 — (-40) = _____ desde __________________________________________.

g. -3 — (+2) — (-4) = _____ desde __________________________________________.

h. 4 — (+12) + 5 = _____ desde __________________________________________.

En este punto, sería beneficioso si volvieras a mirar los ejemplos de las páginas 4 y 5 y compararlos con los ejemplos recientes que se muestran en las páginas 8 y 9. Los ejemplos de las páginas 8 y 9 incluyen la resta, mientras que los ejemplos de las páginas 4 y 5 son problemas de suma. Usando la idea de sumar y restar usando vectores y el enfoque de acción (ya sea DO o DESHACER una acción), los problemas cuando se hace con vectores en la recta numérica se ven exactamente iguales. Lo mismo es cierto si nos fijamos en los problemas en los Ejercicios 10 y 13. De alguna manera, entonces, parece haber una conexión entre la resta y la suma. Lo pondremos todo junto después de explorar una forma muy diferente de sumar y restar, esta vez usando manipuladores.

Otra forma de representar números positivos y negativos es mediante el uso de una colección de contadores positivos y negativos. Es necesario usar contadores de un color para representar números positivos (cada contador = +1) y contadores de otro color para representar números negativos. Si usas las tarjetas de material, cada cuadrado verde representará +1 y cada cuadrado rojo representará -1. Descubriremos que hay muchas formas de representar el mismo número usando estos contadores. Saca tus contadores para hacer los siguientes ejercicios.

La forma más sencilla de representar un número positivo, x, es tener una colección de x contadores verdes. La forma más sencilla de representar un número negativo, -y, es tener una colección de y contadores rojos. Por ejemplo, 4 contadores rojos representarán -4 y 3 contadores verdes representarán +3. En estos ejercicios, a veces representaré un contador positivo ya sea por un cuadrado o círculo con un signo positivo (+) o una “G” en su interior, o simplemente por una “G”. De igual manera, un contador negativo se representará ya sea por un cuadrado o círculo con un signo negativo (-) o una “R” en su interior, o simplemente por una “R”.

Ejercicio 14

¿Qué número representa cada una de las siguientes colecciones?

a. $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.20.24 AM.png$	b. RRRRRRRRRR = ______
c. $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.21.08 AM.png$	d. $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.21.21 AM.png$

Ejercicio 15

Debajo de cada número, representa el número mostrando una colección de contadores.

b. 2

Ejercicio 16

¿Qué número crees que representa la colección a continuación? ______ Explique por qué.

Screen Shot 2021-05-24 a las 11.21.54 AM.png

En el ejercicio 14, hubo 5 positivos y 5 negativos. ¿Se te ocurrió una respuesta de cero? Si es así, estás en el camino correcto. Básicamente, cuando un contador positivo se empareja con un contador negativo, se anulan entre sí. Cada vez que hay el mismo número de contadores positivos que los contadores negativos, se tiene una representación del número, cero.

Ejercicio 17

Mediante el uso de contadores positivos y negativos, se muestran tres representaciones diferentes de cero.

Veamos si puedes averiguar qué número representa cada colección.

Ejercicio 18

Anotar el número representado por cada colección

a. La siguiente colección representa _____ $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.32.08 AM.png$	b. La siguiente colección representa _____ $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.33.12 AM.png$
c. La siguiente colección representa _____ $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.33.26 AM.png$	d. La siguiente colección representa _____ $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.33.50 AM.png$
e. La siguiente colección representa _____ RRRRRRGGG	f. La siguiente colección representa _____ GRRGRRGGGGG
g. La siguiente colección representa _____ $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.39.14 AM.png$	h. La siguiente colección representa _____ $Screen Shot 2021-05-24 a las 11.39.31 AM.png$

¿Cómo crees que lo hiciste? Ojalá se te ocurriera una respuesta de -2 para a-d. Si es así, debes estar convencido de que diferentes colecciones pueden representar el mismo número. Cada emparejamiento de un negativo con un positivo básicamente “se cancela entre sí”. Por lo tanto, para averiguar qué número representa una colección en particular, simplemente empareja tantos positivos con negativos como sea posible (pares rojo-verde), y elimine o ignore esos contadores. Después, cuente los contadores del “color” o “signo” que queda. Te habrás dado cuenta de que era más fácil calcular a-d porque los emparejamientos se veían más fácilmente.

Ejercicio 19

Usando contadores positivos y negativos, encuentra 3 representaciones diferentes de 4. Hazlo primero con tus manipuladores positivos y negativos reales. Después, muéstralo en papel.

Ejercicio 20

Usando contadores positivos (verde) y negativos (rojos), se muestran 3 representaciones diferentes de -4. Entonces, muestra tus tres representaciones diferentes a continuación.

Pasemos a cómo podemos usar los contadores para sumar enteros. Para agregar enteros, simplemente haga una colección de contadores que represente cada número a agregar y combine los contadores. Después, encuentra el número que representa la colección resultante. Haz esto primero emparejando cualquier positivo y negativo y eliminándolos de la pila.

Ejemplo

Mostrar dos formas diferentes de usar los contadores para sumar los 4 + (-7).

Primera Vía:

Primero, combine una colección que represente 4 (4G) y una colección que represente -7 (7R):

Screen Shot 2021-05-24 a las 11.42.08 AM.png

En segundo lugar, elimine cualquier par rojo-verde:

Screen Shot 2021-05-24 a las 11.42.28 AM.png

Tercero, contar los contadores restantes:

Screen Shot 2021-05-24 a las 11.42.44 AM.png

Por lo tanto, 4 + (-7) = -3.

Segunda Vía:

Primero, combine una colección que represente 4 (8G y 4R) y una colección que represente 7 (8R y 1G):

Screen Shot 2021-05-24 a las 11.43.03 AM.png

En segundo lugar, elimine cualquier par rojo-verde:

Screen Shot 2021-05-24 a las 11.44.54 AM.png

Tercero, cuente qué contadores quedan:

Screen Shot 2021-05-24 a las 11.45.10 AM.png

Por lo tanto, 4 + (-7) = -3.

Por supuesto, el método más simple y directo es la primera forma mostrada, pero el resultado es el mismo incluso cuando se utilizan representaciones complicadas de los números en el primer paso.

Ejercicio 21

Utilice los contadores rojo y verde para agregar los siguientes números enteros. Haz estos problemas usando los manipuladores reales. Luego, explica y muestra los pasos a continuación

Aunque la resta es un poco más complicada usando contadores, proporcionan una manera realmente interesante de mostrar cómo restar números negativos.

Usando los contadores, m — n significa eliminar una colección de contadores que representan n de una colección de contadores que representan m. El número que representa la colección resultante es la diferencia (respuesta).

Esto significa que tenemos que comenzar con una colección de contadores que representen m. Para eliminar una colección que represente n, debe ser posible eliminar una colección que represente n de la colección utilizada para m. A veces, la colección original elegida para m no será suficiente, y la colección debe ser alterada agregando algunos pares rojo-verdes a la colección que representan m. Por lo general, comenzamos poniendo una representación simple de m contadores y vemos si es posible eliminar o quitar una representación de n contadores. Si es así, hacemos que y encontramos el número que representa la colección resultante. Probemos esto en algunos ejemplos usando los modelos físicos (manipulativos) y luego practiquemos mostrándolo en papel.

Ejemplo:$4-2$

4 — 2

Esto significa eliminar una colección que representa 2 de una colección que representa 4.

Paso 1: Hacer una colección que represente 4 (4 contadores verdes):$\not{GG}$ GG

Paso 2: Saca una colección que represente 2 (2 contadores verdes):

Paso 3: La colección restante (GG) representa 2. Entonces, 4 — 2 = 2.

Ejemplo:$-5-(-3)$

-5 — (-3)

Esto significa eliminar una colección que representa -3 de una colección que representa -5.

Paso 1: Hacer una colección que represente -5 (5 contadores rojos): RRRRR

Paso 2: Saca una colección que represente -3 (3 contadores rojos):

Paso 3: La colección restante (RR) representa -2. Entonces, -5 — (-3) = -2.

Ejemplo:$3-5$

3 — 5

Esto significa eliminar una colección que representa 5 de una colección que representa 3.

Paso 1: Hacer una colección que represente 3 (3 contadores verdes): GGG

¡OH NO! El siguiente paso sería sacar una representación de 5 (5 contadores verdes), pero fíjese que esto es imposible porque para empezar solo hay 3 contadores verdes. Aquí se debe insertar un paso extra. Necesitamos alterar la representación de 3 para que se puedan sacar 5 greens. Debe tener sentido que siempre podamos insertar algunos pares verde-rojo a la representación de 3 (cada par verde-rojo es el efecto de sumar cero) sin cambiar la representación de 3. En este ejemplo, tiene sentido agregar 2 pares rojo-verdes más, para que haya 5 verdes y 2 rojos en la colección. Seguirá siendo una colección que representa a 3. Este paso extra suele ser necesario a la hora de hacer problemas de resta con números enteros.

Paso 2: Agregar 2 pares rojo-verde a la colección que representan 3: GGGRGRG

Paso 3: Saca una colección que represente 5 (5 contadores verdes):$\begin{aligned} & \fbox{GGGGG} \\ & \text{RR} \end{aligned}$

Paso 4: La colección restante (RR) representa -2. Entonces, 3 — 5 = -2

Ejercicio 22

Para cada problema, establezca lo que significa el problema (Por ejemplo, 4 — (- 9) significa eliminar una colección de contadores que representan -9 de una colección de contadores que representan 4), y luego explicar y mostrar cada paso que necesita tomar para encontrar la respuesta. Cada problema requiere de 3 o 4 pasos. Debes hacer estos problemas usando los manipuladores, y a medida que lo haces, explicar y mostrar los pasos en papel.

a. 6 — 3

Esto significa