6.2: Multiplicación
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Ahora, exploraremos cómo multiplicar números positivos y negativos usando los contadores. Volvamos a ver una definición de multiplicación para números enteros.
Si\(m\) y\(n\) son números enteros, entonces\[m \times n = n + n + n + n + ... + n, \nonumber \] donde hay\(m\) sumar extremos de\(n\) en esta suma.
Esta definición tiene sentido siempre\(m\) y cuando y\(n\) sean números positivos. De hecho, incluso podemos darle sentido y modificar esta definición usando contadores siempre y cuando m sea positivo reformulando la definición ligeramente, como se indica a continuación:
Si\(m\) es un número entero y\(n\) es cualquier entero,\( m \times n\) se obtiene combinando\(m\) subconjuntos de una colección de contadores que representan\(n\). El número que representa la colección resultante es la respuesta al problema\( m \times n\).
Este ejercicio te muestra una manera de usar la definición anterior para multiplicar\(3 \times -4\). En este problema, la definición puede ser utilizada porque 3 es un número entero y -4 es un entero. Necesitamos combinar 3 subconjuntos de una colección de contadores que representen -4.
- Usa tus contadores positivos y negativos para representar una colección de contadores que representan -4. Para este ejercicio, elija una colección de 5 negativos y 1 positivo. Muestra a continuación cómo se ve tu colección:
- Ahora, forma dos colecciones más (para un total de 3 subconjuntos) de contadores que tenías para la parte a.Combina los contadores juntos y muestra cómo se ve la colección grande a continuación:
- Después de eliminar cualquier par rojo-verde (cero) de tu colección en la parte b, muestra la colección que queda debajo. ¿Qué número representa este? _____
Hacer de\(3 \times -4\) nuevo, utilizando una colección diferente de contadores para representar -4.
- Usa tus contadores positivos y negativos para representar una colección de contadores que representan -4. Esta vez, elige una colección de 6 negativos y 2 positivos. Muestra a continuación cómo se ve tu colección:
- Ahora, forma dos colecciones más (para un total de 3 subconjuntos) de contadores que tenías para la parte a.Combina los contadores juntos y muestra cómo se ve la colección grande a continuación:
- Después de eliminar cualquier par rojo-verde (cero) de tu colección en la parte b, muestra la colección que queda debajo. ¿Qué número representa este? _____
Bien, hagamos\(3 \times -4\) una vez más, eligiendo la forma más fácil de representar -4.
- Formar una colección de contadores para representar -4. Hazlo de la manera fácil y natural, utilizando el menor número de contadores posibles. Muestra a continuación cómo se ve tu colección:
- Ahora, forma dos colecciones más (para un total de 3 subconjuntos) de contadores que tenías para la parte a.Combina los contadores juntos y muestra cómo se ve la colección grande a continuación:
- ¿Qué número representa la colección en la parte b? _____
Bueno, espero que tengas la respuesta de -12 para los ejercicios 1, 2 y 3,\(3 \times -4 = -12\) ¡ya que! Esto ilustra que no importa exactamente qué colección de contadores uses para representar -4, siempre y cuando la colección sea realmente -4. Para calcular\(3 \times -4\), podrías combinar 3 subconjuntos de una colección de 8 rojos y 4 verdes, o podrías combinar 3 subconjuntos de una colección de 7 rojos y 3 verdes, etc. Siempre terminarás con una colección que represente -12. Para el ejercicio 3, ¿elegiste 4 negativos como tu representación? Si es así, ¿notaste que no tenías que quitar ningún par rojo-verde para responder a la parte c? A partir de ahora, hagámoslo de la manera más fácil, utilizando la colección más simple posible.
Usa tus contadores para hacer cada uno de los siguientes problemas de multiplicación usando la definición de multiplicar un número entero por un entero. Luego, explique qué significa el problema de multiplicación dado en términos de los contadores, y explicar y mostrar los pasos individuales. Utilice el siguiente ejemplo como modelo.
Multiplicar\(\bf 2 \times -6\).
Solución
Multiplicar\(2 \times -6\) significa combinar 2 subconjuntos de 6 contadores rojos. El número que representa la colección resultante es el producto (respuesta). \(2 \times -6\)= RRRRRRR + RRRRR = RRRRRRR = RRRRRRRRR = -12
|
a. Multiplicar\(4 \times -2\) Esto significa |
|
b. Multiplicar\(3 \times 5\) Esto significa |
|
c. Multiplicar\(5 \times -3\) Esto significa |
|
d. Multiplicar\(7 \times 2\) Esto significa |
|
e. Multiplicar\(0 \times -3\) Esto significa |
Bien, ahora que has dominado cómo multiplicar un número entero por un entero, trabajemos en cómo podemos usar los contadores para multiplicar un entero negativo por un entero. Veamos una vez más la definición para multiplicar\(m \times n\), cuando m es un número entero.
Definición: Multiplicación de un Número Completo por un Entero usando el Enfoque de Adición Repetida, usando contadores positivos y negativos
Si m es un número entero y n es cualquier entero,\(m \times n\) se obtiene combinando m subconjuntos de una colección de contadores que representan n. El número que representa la colección resultante es la respuesta al problema\(m \times n\).
Si m es negativo, esta definición no tiene sentido ya que ¡ciertamente no puedes combinar un número negativo de subconjuntos! La forma en que revisaremos esta definición para incluir la posibilidad de que m pueda ser negativo es acordando que si m es negativo, REMOVEMOS\(m\) subconjuntos de una colección de contadores que representan\(n\). El truco para hacer esto es eliminar los subconjuntos de una colección de contadores que representan cero. Entonces, aquí está la definición integral para multiplicar dos enteros cualesquiera, usando contadores positivos y negativos.
- Caso 1: Si\(m\) es un número entero y\(n\) es cualquier entero,\(m \times n\) se obtiene combinando\(m\) subconjuntos de una colección de contadores que representan\(n\). El producto de m y\(n\),\(m \times n\), es el número que representa la colección resultante.
- Caso 2: Si\(m\) es negativo y\(n\) es cualquier entero,\(m \times n\) se obtiene eliminando |m| subconjuntos de una colección de contadores que representan\(n\) de una colección de contadores que representan cero. El producto de\(m\) y\(n\),\(m \times n\), es el número que representa la colección resultante.
Este ejercicio te muestra cómo usar la definición anterior para multiplicar\(-4 \times 3\). Para este problema, necesitamos eliminar 4 subconjuntos de una colección de contadores que representa 3 de una colección de contadores que representan cero. La colección más simple para representar 3 es 3 positivos, o 3 contadores verdes. (Nos vendría bien una colección más complicada y aún así llegar a la misma respuesta. Hicimos este tipo de ejercicio en los ejercicios 1 - 3. Convénzate de que aquí tampoco importaría.)
- Primero necesitamos formar una colección de contadores que represente cero para que sea posible eliminar 4 subconjuntos de 3 contadores verdes. Para este ejemplo, haz una colección de 14 contadores rojos y 14 verdes. Escribe cómo se ve tu colección aquí:
- De tu colección, elimina un subconjunto de 3 contadores verdes. Después, elimina 3 subconjuntos más de 3 contadores verdes. Acabas de eliminar 4 subconjuntos de 3 contadores verdes de cero. Para mostrarlo en papel, circule un subconjunto de 3 contadores verdes en la colección anterior en la parte a. luego, circule 3 subconjuntos más de 3 contadores verdes para que se encierren en un círculo cuatro subconjuntos separados. Después de quitar los contadores (que se muestran por lo que rodeaste en la parte a), muestra lo que queda en tu colección a continuación.
- Elimina cualquier par rojo-verde (cero) de tu colección restante. Muéstralo en papel tachando o dando vueltas a cualquier par rojo-verde (cero) de tu colección que se muestra en la parte b. Muestra la colección que queda a continuación. ¿Qué número representa esta colección de contadores?
Usa de nuevo la definición para multiplicar\(-4 \times 3\). Recuerda, necesitas eliminar 4 subconjuntos de una colección de contadores que represente 3.
- Primero necesitamos formar una colección de contadores que represente cero para que sea posible eliminar 4 subconjuntos de 3 contadores verdes. Esta vez, pon la colección más pequeña de contadores posible para que puedas eliminar 4 subconjuntos de 3 contadores verdes. Escribe cómo se ve tu colección aquí:
- De tu colección, elimina cuatro subconjuntos de 3 contadores verdes (saca un subconjunto de 3 contadores verdes a la vez). Acabas de eliminar 4 subconjuntos de 3 contadores verdes de cero. Para mostrarlo en papel, circule 4 subconjuntos diferentes de 3 contadores verdes en la colección que se muestra en la parte a. después de quitar los contadores (que se muestran por lo que rodeó en la parte a), muestre lo que queda en su colección a continuación.
- ¿Qué número representa la colección anterior?
¿Notaste que si comienzas con una colección mínima para representar cero, no tienes que quitar ningún par rojo-verde cuando llegas a la parte c? Esa es la forma más fácil de hacerlo porque sabes calcular qué sacar antes de comenzar el problema. Sin embargo, si estuvieras enseñando esto a alguien que no pudiera entenderlo antes de tiempo, siempre podrías comenzar con cero siendo 20 (o algún otro número acordado) de cada contador.
En la página siguiente, se muestran los pasos para el ejemplo siguiente: cómo usar tus contadores para hacer un problema de multiplicación cuando el primer número es un entero negativo. Es necesario explicar qué significa el problema de multiplicación dado en términos de los contadores, para luego explicar y mostrar los pasos individuales. Usa el ejemplo como modelo para los ejercicios que siguen.
Multiplicar\(-4 \times -3\) usando la definición de multiplicar enteros.
Solución
Multiplicar\(-4 \times -3\) significa eliminar 4 subconjuntos de 3 contadores rojos de una representación de cero. El número que representa la colección resultante es la respuesta.
Ya que quedan 12 greens, la respuesta es +12. ¿No siempre te preguntaste por qué un número negativo por un número negativo equivalía a un número positivo? Usando la definición de multiplicar enteros con contadores, realmente se puede ver por qué es cierto. Después de hacer algunos problemas más, siéntete libre de salir y mostrarle a todos tus amigos que aún no lo entienden o simplemente memorizaron las reglas porque alguien les dijo que así es y simplemente aceptarlo. Bien, ya basta de ese entusiasmo desenfrenado de mi parte por ahora.
Es hora de que trabajes algunos problemas. Algunos tienen números negativos antes del signo de multiplicación (comienzan con una representación de cero y eliminan subconjuntos como en el último ejemplo) y otros tienen números enteros antes del signo de multiplicación (así que simplemente combine los subconjuntos como lo hizo en los ejercicios anteriores de este conjunto de ejercicios). Es el número antes del signo de multiplicación el que indicará qué caso de la definición utilizará.
Usa tus contadores para hacer cada uno de los siguientes problemas de multiplicación usando la definición de multiplicar dos enteros por contadores positivos y negativos. Luego, explique qué significa el problema de multiplicación dado en términos de los contadores, y explique y muestre cada uno de los pasos individuales. Utilice el ejemplo anterior como modelo cuando el primer número sea negativo.
a.\(-5 \times 3\) ____ Esto significa ____________________________________________________
Mostrar el trabajo y todos los pasos a continuación. Entonces, exponer la respuesta al problema.
b.\(-3 \times 2\) ____ Esto significa ____________________________________________________
Mostrar el trabajo y todos los pasos a continuación. Entonces, exponer la respuesta al problema.
c.\(2 \times -3\) ____ Esto significa ____________________________________________________
Mostrar el trabajo y todos los pasos a continuación. Entonces, exponer la respuesta al problema.
NOTA: Aunque la respuesta a la parte b es la misma que la parte c debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, los problemas significan cosas diferentes, los pasos no son iguales y los problemas se hacen de manera diferente.
d.\(-2 \times 3\) ____ Esto significa _______________________________________________________
Mostrar el trabajo y todos los pasos a continuación. Entonces, exponer la respuesta al problema.
e.\(3 \times 2\) ____ Esto significa _______________________________________________________
Mostrar el trabajo y todos los pasos a continuación. Entonces, exponer la respuesta al problema.
f.\(0 \times -4\) ____ Esto significa _______________________________________________________
Mostrar el trabajo y todos los pasos a continuación. Entonces, exponer la respuesta al problema.
g.\(-4 \times 0\) (esto significa algo diferente a\(0 \times -4\)) ____ Esto significa _____________________________
Mostrar el trabajo y todos los pasos a continuación. Entonces, exponer la respuesta al problema.
Hagamos algunos problemas más cuando el primer entero es negativo, usando un gráfico para hacer un seguimiento de los contadores. La primera columna será el problema de multiplicación, la segunda mostrará qué representación de cero se está utilizando, la tercera explicará el significado del problema de multiplicación (lo que hay que hacer en todos estos casos, los subconjuntos se están eliminando de la representación de cero), la cuarta mostrará cómo muchos de cada uno de los contadores se dejan después de la eliminación de los subconjuntos, y la última columna será la respuesta, obtenida de la representación mostrada en la cuarta columna.
Rellene todos los espacios en blanco. LLENAR TODA LA MESA TODO EL CAMINO HASTA EL FONDO!! Deberías estar usando tus manipuladores reales (contadores rojos y verdes) como haces (la mayoría de) estos problemas. Yo he hecho el primero para que lo uses como modelo.
| problema | Contadores para Cero | El significado del problema | contadores restantes | responder |
|---|---|---|---|---|
| \(-3 \times 6\) | 20G 20R | eliminar 3 juegos de 6 G de cero | 2G 20R | -18 |
| \(-3 \times 6\) | 23G 23R | |||
| \(-3 \times 6\) | 18G 18R | |||
| \(-4 \times 4\) | 18G 18R | |||
| \(-4 \times -4\) | 18G 18R | |||
| \(-5 \times 2\) | 14G 14R | |||
| \(-2 \times 5\) | 13G 13R | |||
| \(-5 \times -2\) | 11G 11R | |||
| \(-2 \times -5\) | ||||
| \(-3 \times 3\) | 10G 10R | |||
| \(-3 \times -3\) | 12G 12R | |||
| \(-7 \times 2\) | ||||
| \(-2 \times 8\) | 18G 18R | |||
| \(-2 \times -8\) | 18G 18R |
Después de hacer todos los ejercicios en este Conjunto de Ejercicios, la regla para la multiplicación de enteros debería tener sentido.
Regla para multiplicar dos enteros juntos:
- Para multiplicar dos enteros, primero multiplique los valores absolutos de los enteros. Para determinar el signo del producto: es positivo si ambos enteros tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos); de lo contrario es negativo (si uno de los enteros es positivo y el otro entero es negativo). Si uno de los enteros es cero, la respuesta es cero.
Si estás multiplicando más de dos enteros juntos, el signo del producto se puede determinar por cuántos números negativos se están multiplicando. Por cada dos números negativos que se multiplican juntos, la respuesta es positiva. Por lo tanto, si hay un número par de números negativos que se están multiplicando, el signo del producto es positivo. Si hay un número impar de números negativos que se están multiplicando, el signo del producto es negativo. Si uno de los enteros es cero, la respuesta es cero.
Aunque no hemos cubierto la división en este conjunto de ejercicios, la regla para determinar el signo de un cociente es la misma que la regla para determinar el signo de un producto.
Determinar si cada producto es negativo (—), positivo (+) o cero (0). No computar
Recuerda que para que un conjunto se cierre bajo multiplicación, el producto de dos elementos cualesquiera del conjunto debe estar en el conjunto. Para demostrar que un conjunto no está cerrado bajo multiplicación, es necesario proporcionar un contraejemplo.
Para cada uno de los siguientes conjuntos, determine si el conjunto está cerrado bajo multiplicación. Proporcione un contraejemplo si no está cerrado.
- Enteros
- Enteros Positivos
- Enteros negativos
- {-1, 0}
- {1, -1}
- {-1, 0, 1}
<) and Greater than (>Se utilizan signos menores que () para ordenar números.] (a < b\) si\(a\) está a la izquierda de\(b\) en la línea numérica. \(a < b\)(léase “a es menor que b”) también se puede escribir como\(b > a\) (léase “b es mayor que a.)
Decide cuáles de las siguientes son verdaderas si a, b y c son números enteros, p es un entero positivo y n es un entero negativo. Proporcione un contraejemplo si es falso.
- Si a < b y b < c, entonces a < c
- Si a < b, entonces a + c < b + c
- Si a < b, entonces ap < bp
- Si un < b, then ap > pb
- Si un < b, then an > bn
- Si a < b, entonces un < bn
Los ejercicios 11a, 11b, 11c y 11e son las cuatro propiedades de Ordenar para números enteros. 11a se llama la Propiedad Transitiva por Menos Que. 11b se llama Propiedad de Menos Que y Suma. 11c es la Propiedad de Menos Que y Multiplicación por un Positivo 11e. es la Propiedad de Menos Que y Multiplicación por un Positivo 11e. es la Propiedad de Menos Que y Multiplicación por un Negativo. Si los símbolos menor que en 11a, 11b y 11c fueran reemplazados por símbolos mayores que, tendrías las propiedades correspondientes de mayor que. Para la parte 11e, si ambos signos fueran cambiados, tendrías la Propiedad de Mayor Que y Multiplicación por un Negativo.
Rellene las siguientes propiedades, si a, b y c son cualesquiera enteros, p es un entero positivo y n es un entero negativo.
- Propiedad Transitiva para Mayor Que:
- Propiedad de Mayor Que y Adición:
- Propiedad de Mayor Que y Multiplicación por un Positivo:
- Propiedad de Mayor Que y Multiplicación por un Negativo:
11.a, b y c son similares a las propiedades de igualdad. La diferencia entre igualdades y desigualdades (si hay un símbolo menor que o mayor que) si eso cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican por un número negativo, el signo de desigualdad cambia de dirección.