1.1: Jugadores y Estrategias

En este libro, la mayoría de los juegos serán jugados por dos jugadores. Cada jugador debe decidir cómo jugará el juego. Para estudiar matemáticamente los juegos, necesitamos hacer algunas suposiciones sobre cómo los jugadores deben jugar el juego. Esto nos permite poder predecir mejor lo que deben hacer nuestros jugadores. El siguiente ejemplo ilustra las características que asumiremos sobre nuestros jugadores.

1.1.1: Ejemplo—División Torta

¿Cómo pueden dos niños dividir un pastel de manera justa? Una solución clásica es que un niño corte el pastel y que el otro niño elija una pieza.

¿Por qué funciona esto? Es decir, ¿por qué ambos niños deberían sentir que recibieron una buena parte del pastel?

¿Cuáles son los supuestos subyacentes que hacen que este proceso funcione?

1. El objetivo de cada jugador es conseguir la pieza más grande. Podemos pensar en esto como cada jugador actuando en su propio interés.
2. Ambos jugadores saben que el otro jugador tiene el mismo objetivo, y actuarán para avanzar en este objetivo. Así, sabemos que cada jugador es racional. Aún más, cada jugador sabe que el otro jugador es racional.

Necesitamos tanto (1) como (2) para llegar a la solución de que el pastel se divida de manera uniforme y ambos niños reciban piezas de igual tamaño.

La idea de que los jugadores se interesan por sí mismos es crucial para la teoría de juegos. Hay muchas otras formas de jugar, y esas podrían valer la pena explorarlas. Pero para comenzar con la teoría de juegos, debemos hacer suposiciones específicas y desarrollar el contexto matemático a partir de estas suposiciones.

Asunción 1: Los jugadores se interesan por sí mismos. El objetivo es ganar más o perder menos. Pero, ¿qué significa ganar?

El pago de un jugador es la cantidad (puntos, dinero o cualquier cosa que un jugador valore) que recibe un jugador por un resultado particular de un juego. Decimos que el objetivo del jugador es maximizar su rentabilidad. Debemos tener en cuenta que el pago máximo para un jugador podría incluso ser negativo, en cuyo caso el jugador quiere el pago menos negativo (o más cercano a\(0\)).

Es importante reconocer la diferencia entre tener el objetivo de maximizar la rentabilidad y tener el objetivo de simplemente ganar. Aquí hay algunos ejemplos.

1. Si dos jugadores estuvieran compitiendo, una jugadora no solo querría terminar primero, ella querría terminar por un margen lo más grande posible.
2. Si dos equipos estuvieran jugando básquetbol, el equipo no querría solo tener la puntuación más alta, querrían ganar por el mayor número de puntos. Es decir, un equipo preferiría ganar por\(10\) puntos en lugar de por\(1\) punto.
3. En una encuesta electoral, una candidata no solo quiere adelantarse a su oponente, quiere liderar por un margen lo más grande posible, (sobre todo si necesita dar cuenta del error en las encuestas).

Es importante tener en cuenta que el objetivo de cada jugador es ganar más (o perder menos). Será tentador buscar estrategias que simplemente aseguren a un jugador una rentabilidad positiva, pero tenemos que asegurarnos de que un jugador no pueda hacerlo aún mejor con una estrategia diferente.

Asunción 2: Los jugadores son perfectamente lógicos. Un Jugador siempre tendrá en cuenta toda la información disponible y tomará la decisión que maximiza su pago. Esto incluye saber que su oponente también está tomando la mejor decisión por sí misma. Por ejemplo, en el juego de corte de pastel un jugador no cortaría una pieza grande esperando que su oponente por casualidad escoja la pieza más pequeña. Un jugador debe asumir que su oponente siempre elegirá la pieza más grande.

Ahora tal vez se esté preguntando qué tienen que ver estas suposiciones con la realidad. Después de todo, nadie es perfecto. Pero a menudo estudiamos situaciones ideales (¡especialmente en matemáticas!). Por ejemplo, todos ustedes han estudiado geometría. ¿Alguien aquí puede dibujar una línea perfectamente recta? Sin embargo, ¡todos ustedes han estudiado tal objeto!

Nuestro Objetivo: Desarrollar estrategias para nuestros jugadores perfectamente lógicos y autointeresados.

1.1.2: Desarrollo de estrategias: Tic Tac Toe

Ejercicio 1.1.1 : Juega el juego.

Juega varios juegos de Tic Tac Toe con un oponente. Asegúrate de turnarte para ser el primer jugador y el segundo jugador. Desarrollar una estrategia para ganar Tic Tac Toe. Es posible que tengas una estrategia diferente para el primer jugador y para el segundo jugador. Ser lo más específico posible. Es posible que debas considerar varias posibilidades que dependen de lo que haga tu oponente.

1. ¿Quién gana? ¿Jugador 1 o Jugador 2?
2. ¿Qué debe hacer cada jugador para tener el mejor resultado posible?
3. ¿Cómo desarrollaste tu estrategia?
4. ¿Cómo sabes que siempre va a funcionar?

Tomemos nota de algunas características de Tic Tac Toe.

• Hay dos jugadores.
• Los jugadores tienen la información perfecta. Esto significa que cada jugador sabe cuáles son todas sus opciones, cuáles son todas las opciones de su oponente, y ambos jugadores saben cuál es el resultado de cada opción. Adicionalmente, los jugadores saben que ambos jugadores tienen toda esta información.
• Este juego tiene una solución. Una solución para un juego consiste en una estrategia para cada jugador y el resultado del juego cuando cada jugador juega su estrategia. En Tic Tac Toe, si ambos jugadores juegan lo mejor posible, el juego siempre terminará en empate.
• El juego es finito. Esto significa que el juego debe terminar después de un número finito de movimientos de turnos. En otras palabras, el juego no puede continuar para siempre. Un juego que no es finito se llama infinito. Tenga en cuenta que un juego infinito puede terminar después de un número finito de turnos, pero no hay un número máximo de turnos o proceso para asegurar que el juego termine. En Tic Tac Toe, el juego debe terminar después\(9\) o menos turnos.

Ejercicio 1.1.2 : Información perfecta, más ejemplos.

¿Se te ocurre otro ejemplo de un juego con información perfecta? ¿Cuál es un ejemplo de un juego que no tiene información perfecta?

Ejercicio 1.1.3 : Finito e Infinito, Más ejemplos.

Da algunos ejemplos de juegos finitos y juegos infinitos.

Definición: Estrategia

Una estrategia para un jugador es una forma completa de jugar el juego independientemente de lo que haga el otro jugador.

La elección de lo que hace un jugador puede depender del oponente, pero esa elección está predeterminada antes del juego. Por ejemplo, en el juego de corte de pasteles, no importa qué pieza escoja el “selector”, el “cortador” siempre cortará de manera uniforme. Del mismo modo, no importa cómo corte el cortador, el selector siempre escogerá la pieza más grande. En Tic Tac Toe, la estrategia del Jugador 2 debe determinar su primer movimiento sin importar qué juegue primero el Jugador 1. Por ejemplo, si el Jugador 1 juega el cuadrado central, ¿dónde debe jugar el Jugador 2? Si el Jugador 1 juega una esquina, ¿dónde debe jugar el Jugador 2?

Ejercicio 1.1.4 : Describe tu juego favorito

¿Cuál es tu juego favorito?

1. Dar una breve descripción del juego, incluyendo lo que significa “ganar” o “perder” el juego.
2. ¿Cuántos jugadores necesitas?
3. ¿Los jugadores tienen la información perfecta para el juego?
4. ¿El juego es finito o puede continuar para siempre?
5. Dar algunas estrategias posibles para el/los jugador (s). Tenga en cuenta que dependiendo del juego, es posible que estas estrategias no siempre den como resultado una victoria definitiva, pero deberían sugerir una forma de aumentar las posibilidades de un jugador de ganar (o no perder).

Hemos establecido algunas suposiciones y analizado cómo describir estrategias en algunos juegos familiares. No todos los juegos encajan fácilmente en el contexto que vamos a utilizar a lo largo de este texto. Pero podrías tener en cuenta algunos de tus juegos favoritos y ver qué tan bien se les pueden aplicar las estrategias y soluciones. En la siguiente sección, desarrollamos alguna notación útil para describir la mayoría de los juegos que estudiaremos.