1.2: Matrices de juego y vectores de pago

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Necesitamos una manera de describir las posibles opciones para los jugadores y los resultados de esas elecciones. Por ahora, nos quedaremos con juegos que tengan sólo dos jugadores. Los llamaremos Jugador 1 y Jugador 2.

1.2.1: Ejemplo—Centavos a juego

Supongamos que cada jugador tiene dos opciones: Cabezas (H) o Tails (T). Si eligen la misma letra, entonces el Jugador 1 gana$$1$ del Jugador 2. Si no coinciden, entonces el Jugador 1 pierde$$1$ ante el Jugador 2. Podemos representar todos los posibles resultados del juego con una matriz.

Las opciones del Jugador 1 siempre corresponderán a las filas de la matriz, y las opciones del Jugador 2 corresponderán a las columnas. Ver Tabla$1.2.1$.

Tabla$1.2.1$: Una matriz de juego que muestra las estrategias para cada jugador
\ (1.2.1\): Una matriz de juego que muestra las estrategias para cada jugador">		Jugador 2
\ (1.2.1\): Una matriz de juego que muestra las estrategias para cada jugador">		Cabezal	Tail
\ (1.2.1\): Una matriz de juego que muestra las estrategias para cada jugador” rowspan="2">Jugador 1	Cabezal
Tail

Definición: Payoff

Un pago es la cantidad que recibe un jugador por un resultado dado del juego.

Ahora podemos rellenar la matriz con el pago de cada jugador. Dado que las recompensas a cada jugador son diferentes, usaremos pares ordenados donde el primer número es el pago del Jugador 1 y el segundo número es el pago del Jugador 2. El par ordenado se llama vector de pago. Por ejemplo, si ambos jugadores eligen H, entonces el pago del Jugador 1 es$$1$ y el pago del Jugador 2 es$-$1$ (ya que pierde ante el Jugador 1). Así, el vector de pago asociado con el resultado H, H es$(1, -1)\text{.}$

Rellenamos la matriz con los vectores de pago apropiados en la Tabla$1.2.2$.

Tabla$1.2.2$: Una matriz de juego que muestra los vectores de pago
\ (1.2.2\): Una matriz de juego que muestra los vectores de pago">		Jugador 2
\ (1.2.2\): Una matriz de juego que muestra los vectores de pago">		Cabezal	Tail
\ (1.2.2\): Una matriz de juego que muestra los vectores de pago” rowspan="2">Jugador 1	Cabezal	$(1, -1)$	$(-1, 1)$
Tail	$(-1, 1)$	$(1, -1)$

Es útil pensar en diferentes formas de cuantificar ganar y perder. ¿Cuáles son algunas posibles medidas de valor? Por ejemplo, podríamos usar dinero, fichas, contadores, votos, puntos, cantidad de pastel, etc.

Recuerda, un jugador siempre prefiere ganar la MAYORÍA de puntos (dinero, fichas, votos, pastel), no sólo más que su oponente. Si quieres estudiar un juego donde los jugadores simplemente ganen o pierdan (como Tic Tac Toe), solo podríamos usar “$1$” para una victoria y “$-1$” para una derrota.

1.2.2: Entendiendo a los Jugadores

Recordemos que dijimos que hay dos grandes suposiciones que debemos hacer sobre nuestros jugadores:

Nuestros jugadores se interesan por sí mismos. Esto significa que siempre preferirán la mayor rentabilidad posible. Elegirán una estrategia que maximice su rentabilidad.
Nuestros jugadores son perfectamente lógicos. Esto significa que usarán toda la información disponible y harán la elección más sabia por sí mismos.

Es importante tener en cuenta que cada jugador también sabe que su oponente también se interesa por sí mismo y ¡perfectamente lógico!

Ejercicio 1.2.1 : Reintegros preferidos

¿Qué pago prefiere el jugador:$0$,$2$, o$-2$?
¿Qué pago prefiere el jugador:$-2$,$-5$, o$-10$?
¿Qué pago prefiere el jugador:$-1$,$-3$, o$0$?

Puede ser sencillo decidir el mejor pago para un jugador de una lista de valores, y sería genial si un jugador pudiera simplemente determinar el mayor valor en la tabla y elegir esa estrategia. Sin embargo, cuando hay dos jugadores un jugador puede tener que elegir una estrategia con más cuidado, ya que el Jugador 1 solo puede elegir la fila, y el Jugador 2 solo puede elegir la columna. Así, el resultado del juego depende de AMBOS jugadores.

Ejemplo 1.2.1 : A$2\times 2$ Game.

Supongamos que dos jugadores están jugando un juego en el que pueden elegir A o B con las recompensas dadas en la matriz de juego en la Tabla$1.2.3$.

Tabla$1.2.3$: Matriz de pago para ejercicio$1.2.2$
\ (1.2.3\): Matriz de pago para ejercicio$1.2.2$ “>		Jugador 2
\ (1.2.3\): Matriz de pago para ejercicio$1.2.2$ “>		A	B
\ (1.2.3\): Matriz de pago para ejercicio$1.2.2$ "rowspan="2">Jugador 1	A	$(100, -100)$	$(-10, 10)$
B	$(0, 0)$	$(-1, 11)$

En el siguiente ejercicio, trataremos de determinar qué debe hacer cada jugador.

Ejercicio 1.2.2 : Encontrar estrategias

Con sólo mirar rápidamente la matriz, ¿qué jugador parece ser capaz de ganar más que el otro jugador? ¿Un jugador parece tener ventaja? Explique.
Determina qué debe hacer cada jugador. Explique su respuesta.
Compara tu respuesta en (b) con la respuesta de (a). ¿El jugador que sugirió en (a) realmente ganó más que el otro jugador?
Según tu respuesta en (b), ¿el Jugador 1 termina con la mayor ganancia posible (para el Jugador 1) en la matriz?
Según tu respuesta en (b), ¿el Jugador 2 termina con la mayor ganancia posible (para el Jugador 2) en la matriz?
¿Sigues pensando que un jugador tiene ventaja en este juego? ¿Es la misma respuesta que en (a)?

Ejemplo 1.2.2 : A$3\times 3$ Game.

Supongamos que hay dos jugadores con la matriz de juego dada en la Tabla$1.2.4$.

Tabla$1.2.4$: Matriz de pago para ejercicio$1.2.3$
\ (1.2.4\): Matriz de pago para ejercicio$1.2.3$ “>		Jugador 2
\ (1.2.4\): Matriz de pago para ejercicio$1.2.3$ “>		X	Y	Z
\ (1.2.4\): Matriz de pago para ejercicio$1.2.3$ "rowspan="3">Jugador 1	A	$(1000, -1000)$	$(-5, 5)$	$(-15,15)$
B	$(200, -200)$	$(0, 0)$	$(-5,5)$
C	$(500, -500)$	$(20, -20)$	$(-25,25)$

En el siguiente ejercicio, trataremos de determinar qué debe hacer cada jugador.

Ejercicio 1.2.3 : Más práctica para encontrar estrategias

Con sólo mirar rápidamente la matriz, ¿qué jugador parece ser capaz de ganar más que el otro jugador? ¿Un jugador parece tener ventaja? Explique.
Determina qué debe hacer cada jugador. Explique su respuesta.
Compara tu respuesta en (b) con la respuesta de (a). ¿El jugador que sugirió en (a) realmente ganó más que el otro jugador?
Según tu respuesta en (b), ¿el Jugador 1 termina con la mayor ganancia posible (para el Jugador 1) en la matriz?
Según tu respuesta en (b), ¿el Jugador 2 termina con la mayor ganancia posible (para el Jugador 2) en la matriz?
¿Sigues pensando que un jugador tiene ventaja en este juego? ¿Es la misma respuesta que en (a)?

Este capítulo te ha introducido quiénes son los jugadores y cómo organizar estrategias y recompensas en una matriz. En el siguiente capítulo estudiaremos algunos métodos de cómo un jugador puede determinar su mejor estrategia.

Tabla\(1.2.3\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.2\)
\ (1.2.3\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.2\) “>		Jugador 2
\ (1.2.3\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.2\) “>		A	B
\ (1.2.3\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.2\) "rowspan="2">Jugador 1	A	\((100, -100)\)	\((-10, 10)\)
B	\((0, 0)\)	\((-1, 11)\)

Tabla\(1.2.4\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.3\)
\ (1.2.4\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.3\) “>		Jugador 2
\ (1.2.4\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.3\) “>		X	Y	Z
\ (1.2.4\): Matriz de pago para ejercicio\(1.2.3\) "rowspan="3">Jugador 1	A	\((1000, -1000)\)	\((-5, 5)\)	\((-15,15)\)
B	\((200, -200)\)	\((0, 0)\)	\((-5,5)\)
C	\((500, -500)\)	\((20, -20)\)	\((-25,25)\)

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