2.1: Introducción a los juegos de suma cero para dos personas
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En todos los ejemplos de la última sección, lo que sea que ganara un jugador, el otro perdió.
Un juego para dos jugadores se llama juego de suma cero si la suma de los beneficios a cada jugador es constante para todos los resultados posibles del juego. Más específicamente, los términos (o coordenadas) en cada vector de pago deben sumar el mismo valor para cada vector de pago. Tales juegos a veces se llaman juegos de suma constante en su lugar.
Siempre podemos pensar en los juegos de suma cero como juegos en los que la victoria de un jugador es la pérdida del otro jugador.
Considera un juego de póquer en el que cada jugador viene al juego con\($100\). Si hay cinco jugadores, entonces la suma de dinero para los cinco jugadores es siempre\($500\). En cualquier momento del juego, un jugador en particular puede tener más de\($100\), pero entonces otro jugador debe tener menos de\($100\). La victoria de un jugador es la pérdida de otro jugador.
Considera el juego de la división de pasteles. Determinar la matriz de pago para este juego. Es importante determinar cuáles son las opciones de cada jugador primero: ¿cómo puede el “cortador” cortar el pastel? ¿Cómo puede el “selector” escoger su pieza? La matriz de pago se da en la Tabla\(2.1.1\).
| Tabla 2.1.1: Matriz de pago para el juego de corte de pasteles | |||
|---|---|---|---|
| Escogedor | |||
| Pieza más grande | Pieza más pequeña | ||
| Cortadora | Cortar de manera uniforme | (mitad, mitad) | (mitad, mitad) |
| Cortar de manera desigual | (pieza pequeña, pieza grande) | (pieza grande, pieza pequeña) | |
Para ver mejor que este juego es de suma cero (o suma constante), podríamos dar valores por la cantidad de pastel que recibe cada jugador. Por ejemplo, la mitad del pastel sería\(50 \%\), un trozo pequeño podría ser\(40 \%\). Entonces podemos reescribir la matriz con los valores porcentuales en Tabla\(2.1.2\).
| Cuadro 2.1.2: Matriz de pago, en Porcentaje de Torta, para Juego de Corte de Tortas. | |||
|---|---|---|---|
| Escogedor | |||
| Pieza más grande | Pieza más pequeña | ||
| Cortadora | Cortar de manera uniforme | \((50, 50)\) | \((50, 50)\) |
| Cortar Uenvenly | \((40, 60)\) | \((60, 40)\) | |
En cada resultado, los beneficios a cada jugador suman\(100\) (o\(100 \%\)). En términos más matemáticos, las coordenadas de cada vector de pago suman\(100\). Así, la suma es la misma, o constante, para cada resultado.
Probablemente sea sencillo ver por la matriz en la Tabla\(2.1.2\) que el Jugador 2 siempre elegirá la pieza grande, así el Jugador 1 hace lo mejor para cortar el pastel de manera uniforme. El resultado del juego es el par de estrategia denotado [Cortar de manera uniforme, pieza más grande], con el vector de pago resultante\((50, 50)\text{.}\)
Pero, ¿por qué vamos a llamar a estos juegos “suma cero” en lugar de “suma constante”? Podemos convertir cualquier juego de suma cero en un juego donde los beneficios realmente sumen a cero.
Considera el juego de póquer anterior donde cada jugador comienza el juego con\($100\). Supongamos que en algún momento del juego los cinco jugadores tienen las siguientes cantidades de dinero:\($50\),,\($200\),\($140\),\($100\),\($10\). Entonces podríamos pensar en su ganancia como\(-$50\),\($100\),\($40\),\($0\),\(-$90\). ¿A qué suman estos cinco números?
Convierta los beneficios de división de pastel para que los vectores de pago sumen a cero (en lugar de\(100\)).
La solución se da en la Tabla\(2.1.3\).
| Cuadro 2.1.3: Matriz de pago de suma cero para el juego de corte de tartas. | |||
|---|---|---|---|
| Escogedor | |||
| Pieza más grande | Pieza más pequeña | ||
| Cortadora | Cortar de manera uniforme | \((0, 0)\) | \((0, 0)\) |
| Cortar Unvenly | \((-10, 10)\) | \((10, -10)\) | |
Pero asegurémonos de entender lo que significan estos números. Por ejemplo, un pago de no\((0,0)\) significa que cada jugador no obtenga pastel, significa que no obtienen más pastel que el otro jugador. En este ejemplo, cada jugador obtiene la mitad del pastel (\(50 \%\)) más el pago.
En la forma de Ejemplo\(2.1.4\), es fácil reconocer un juego de suma cero ya que cada vector de pago tiene la forma\((a, -a)\) (o\((-a, a)\)).
2.1.1: Ejemplo—Un juego de campaña electoral
Dos candidatos, Arnold y Bainbridge, se enfrentan entre sí en una elección estatal. Tienen tres opciones con respecto al tema del límite de velocidad en I-\(5\): Pueden soportar elevar el límite de velocidad a\(70\) MPH, pueden apoyar mantener el límite de velocidad actual, o pueden esquivar el problema por completo. Los siguientes tres ejemplos presentan tres matrices de pago diferentes para Arnold y Bainbridge.
Los candidatos tienen la información que se da en la Tabla\(2.1.4\) sobre cómo les iría probablemente en la elección en función de cómo se sitúan en el límite de velocidad.
| Cuadro 2.1.4: Porcentaje del Voto por Ejemplo\(2.1.5\). | ||||
|---|---|---|---|---|
| \ (2.1.5\).” class="lt-math-82759"> | Bainbridge | |||
| \ (2.1.5\).” class="lt-math-82759"> | Subir límite | Mantener Límite | Dodge | |
| \ (2.1.5\).” rowspan="3" class="LT-MATH-82759">Arnold | Subir límite | \((45, 55)\) | \((50, 50)\) | \((40, 60)\) |
| Mantener Límite | \((60, 40)\) | \((55, 45)\) | \((50, 50)\) | |
| Dodge | \((45, 55)\) | \((55, 45)\) | \((40, 60)\) | |
Para las siguientes preguntas, supongamos que Arnold y Bainbridge tienen la matriz de pago dada en Ejemplo\(2.1.5\).
- Explique por qué Example\(2.1.5\) es un juego de suma cero.
- ¿Qué debería elegir Arnold? ¿Qué debería elegir hacer Bainbridge? Asegúrese de explicar la elección de cada candidato. Y recuerden, un jugador no solo quiere ganar, quiere obtener EL MAYOR VOTO— por ejemplo, se podría suponer que estos son números de sondeo y que hay algún margen de error, ¡así un candidato prefiere tener un margen mayor sobre su oponente!
- ¿Cuál es el resultado de la elección?
- ¿Arnold necesita considerar las estrategias de Bainbridge para decidir sobre su propia estrategia? ¿Bainbridge necesita considerar las estrategias de Arnold es para decidir sobre su propia estrategia? Explica tu respuesta.
La madre de Bainbridge resulta lesionada en un accidente en carretera causado por exceso de velocidad. La nueva matriz de pago se da en la Tabla\(2.1.6\).
| Cuadro 2.1.5: Porcentaje del Voto por Ejemplo\(2.1.6\). | ||||
|---|---|---|---|---|
| \ (2.1.6\).” class="lt-math-82759"> | Bainbridge | |||
| \ (2.1.6\).” class="lt-math-82759"> | Subir límite | Mantener Límite | Dodge | |
| \ (2.1.6\).” rowspan="3" class="LT-MATH-82759">Arnold | Subir límite | \((45, 55)\) | \((10, 90)\) | \((40, 60)\) |
| Mantener Límite | \((60, 40)\) | \((55, 45)\) | \((50, 50)\) | |
| Dodge | \((45, 55)\) | \((10, 90)\) | \((40, 60)\) | |
Para las siguientes preguntas, supongamos que Arnold y Bainbridge tienen la matriz de pago dada en Ejemplo\(2.1.6\).
- Explique por qué Example\(2.1.6\) es un juego de suma cero.
- ¿Qué debería elegir Arnold? ¿Qué debería elegir hacer Bainbridge? Asegúrese de explicar la elección de cada candidato.
- ¿Cuál es el resultado de la elección?
- ¿Arnold necesita considerar las estrategias de Bainbridge para decidir sobre su propia estrategia? ¿Bainbridge necesita considerar las estrategias de Arnold es para decidir sobre su propia estrategia? Explica tu respuesta.
Bainbridge comienza a dar discursos electorales en campus universitarios y mítines de camiones monstruo. La nueva matriz de pago se da en la Tabla\(2.1.6\).
| Cuadro 2.1.6: Porcentaje del Voto por Ejemplo\(2.1.7\). | ||||
|---|---|---|---|---|
| \ (2.1.7\).” class="lt-math-82759"> | Bainbridge | |||
| \ (2.1.7\).” class="lt-math-82759"> | Subir límite | Mantener Límite | Dodge | |
| \ (2.1.7\).” rowspan="3" class="LT-MATH-82759">Arnold | Subir límite | \((35, 65)\) | \((10, 90)\) | \((60, 40)\) |
| Mantener Límite | \((45, 55)\) | \((55, 45)\) | \((50, 50)\) | |
| Dodge | \((40, 60)\) | \((10, 90)\) | \((65, 35)\) | |
Para las siguientes preguntas, supongamos que Arnold y Bainbridge tienen la matriz de pago dada en Ejemplo\(2.1.7\).
- Explique por qué Example\(2.1.7\) es un juego de suma cero.
- ¿Qué debería elegir Arnold? ¿Qué debería elegir hacer Bainbridge? Asegúrese de explicar la elección de cada candidato.
- ¿Cuál es el resultado de la elección?
- ¿Arnold necesita considerar las estrategias de Bainbridge para decidir sobre su propia estrategia? ¿Bainbridge necesita considerar las estrategias de Arnold es para decidir sobre su propia estrategia? Explica tu respuesta.
En cada uno de los escenarios anteriores, ¿hay alguna razón para que Arnold o Bainbridge cambien su estrategia? Si la hay, explique bajo qué circunstancias tiene sentido cambiar de estrategia. Si no, explica por qué nunca tiene sentido cambiar de estrategia.
2.1.2: Pares de Equilibrio
Lo más probable es que, en cada uno de los ejercicios anteriores, hayas podido determinar qué debe hacer cada jugador. En particular, si ambos jugadores juegan tus estrategias sugeridas, no hay razón para que ninguno de los jugadores cambie a una estrategia diferente.
Un par de estrategias es un par de equilibrio si ninguno de los jugadores gana cambiando estrategias.
Por ejemplo, considere la matriz de juego de Example\(1.2.1\), Table\(1.2.3\).
| Tabla\(2.1.7\): Matriz de pago por ejemplo\(1.2.1\) | |||
|---|---|---|---|
| \ (2.1.7\): Matriz de pago por ejemplo\(1.2.1\) “> | Jugador 2 | ||
| \ (2.1.7\): Matriz de pago por ejemplo\(1.2.1\) “> | X | Y | |
| \ (2.1.7\): Matriz de pago por ejemplo\(1.2.1\) "rowspan="2">Jugador 1 | A | \((100, -100)\) | \((-10, 10)\) |
| B | \((0, 0)\) | \((-1, 11)\) | |
Determinaste que el Jugador 2 debería elegir jugar Y, y así, el Jugador 1 debería jugar B (es decir, tenemos el par de estrategia [B, Y]). ¿Por qué es esto un par de equilibrio? Si el Jugador 2 juega Y, ¿el Jugador 1 tiene alguna razón para cambiar a la estrategia A? ¡No, ella perdería\(10\) en vez de\(1\)! Si el Jugador 1 juega B, ¿el Jugador 2 tiene alguna razón para cambiar a la estrategia X? ¡No, ella ganaría\(0\) en vez de\(1\)! Por lo tanto, ninguno de los jugadores se beneficia de cambiar de estrategia, y así decimos que [B, Y] es un par de equilibrio.
Por ahora, podemos usar un método de “adivinar y verificar” para encontrar pares de equilibrio. Toma cada resultado y decide si alguno de los jugadores preferiría cambiar. Recuerda, el Jugador 1 solo puede elegir una fila diferente, y el Jugador 2 solo puede elegir una columna diferente. En nuestro ejemplo anterior hay cuatro resultados a verificar: [A, X], [A, Y], [B, X] y [B, Y]. Ya sabemos que [B, Y] es un par de equilibrio, pero vamos a comprobar el resto. Supongamos que los jugadores juegan [A, X]. ¿El jugador 1 quiere cambiar a B? No, ella preferiría obtener\(100\) que\(0\). ¿El jugador 2 quiere cambiar a Y? ¡Sí! Ella preferiría obtener\(10\) que\(-100\). Entonces [A, X] NO es un par de equilibrio ya que un jugador quiere cambiar. Ahora comprueba que para [A, Y] El jugador 1 querría cambiar, y para [B, X] ambos jugadores querrían cambiar. Así [A, Y] y [B, X] NO son pares de equilibrio. Ahora puedes intentar encontrar pares de equilibrio en cualquier juego de matriz simplemente revisando cada vector de pago para ver si uno de los jugadores hubiera querido cambiar a una estrategia diferente.
¿Los pares de estrategia que determinaste en los tres escenarios electorales son pares de equilibrio? En otras palabras, ¿cualquiera de los jugadores preferiría cambiar de estrategia? (No es necesario verificar si otras estrategias son pares de equilibrio).
Utilice el método “guess and check” para determinar cualquier par de equilibrio para las siguientes matrices de pago.
-
\(\begin{bmatrix}(2,-2) & (2,-2) \\(1,-1) & (3,-3) \end{bmatrix}\)
Después de probar los ejemplos anteriores, ¿crees que cada juego tiene un par de equilibrio? ¿Pueden los juegos tener múltiples pares de equilibrio?
¿Todos los juegos tienen pares de equilibrio?
¿Un juego puede tener más de un par de equilibrio?
Los últimos tres ejercicios te dan algunos juegos más con los que practicar.
Considera el juego ROCA, PAPEL, TIJERAS (Rock beats Scissors, Tijeras beat Papel, Paper beats Rock). Construye la matriz de pago para este juego. ¿Tiene par de equilibrio? Explica tu respuesta.
Dos cadenas de televisión están luchando por los televidentes para la\(7\) tarde del lunes por la noche Cada uno necesita decidir si van a mostrar una comedia de situación o un evento deportivo. Tabla\(2.1.8\) da los beneficios como porcentaje de espectadores.
| Tabla\(2.1.8\): Matriz de pago para Batalla de las Redes | |||
|---|---|---|---|
| \ (2.1.8\): Matriz de pago para Batalla de las Redes"> | Red 2 | ||
| \ (2.1.8\): Matriz de pago para Batalla de las Redes"> | Sitcom | Deportes | |
| \ (2.1.8\): Matriz de pago para Batalla de las Redes” rowspan="2">Red 1 | Sitcom | \((55, 45)\) | \((52, 48)\) |
| Deportes | \((50, 50)\) | \((45, 55)\) | |
- Explica por qué se trata de un juego de suma cero.
- ¿Este juego tiene par de equilibrio? Si es así, encuéntralo y explica qué debe hacer cada red.
- Convierte este juego en uno en el que los beneficios realmente sumen a cero. Pista: si una red gana\(60 \%\) de los espectadores, ¿cuánto más del 50% de los espectadores tiene?
Este juego es un ejemplo de lo que los economistas llaman Ventaja Competitiva. Dos firmas competidoras necesitan decidir si adoptan o no un nuevo tipo de tecnología. La matriz de pago se encuentra en la Tabla\(2.1.9\). La variable\(a\) es un número positivo que representa la ventaja económica que obtendrá una empresa si es la primera en adoptar la nueva tecnología.
| Tabla\(2.1.9\): Matriz de pago para Ventaja Competitve | |||
|---|---|---|---|
| \ (2.1.9\): Matriz de pago para Ventaja Competitve"> | Firma B | ||
| \ (2.1.9\): Matriz de pago para Ventaja Competitve"> | Adoptar nueva tecnología | Quédate en tu lugar | |
| \ (2.1.9\): Matriz de pago para Competitve Advantage” rowspan="2">Firme A | Adoptar nueva tecnología | \((0, 0)\) | \((a, -a)\) |
| Quédate en tu lugar | \((-a, a)\) | \((0, 0)\) | |
- Explicar el vector de pago para cada par de estrategias. Por ejemplo, ¿por qué el par [Adopta Nueva Tecnología, Permanece Puto] tener la paga\((a, -a)\text{?}\)
- Explique qué debe hacer cada firma.
- Dar un ejemplo de la vida real de Ventaja Competitiva.
Hemos visto cómo describir un juego de suma cero y cómo encontrar pares de equilibrio. Hemos tratado de decidir cuál debería ser la estrategia de cada jugador. Cada jugador puede necesitar considerar la estrategia del otro jugador para determinar su mejor estrategia. Pero hay que tener cuidado, aunque nuestra intuición puede ser útil para decidir la mejor estrategia, nos gustaría poder ser más precisos a la hora de encontrar estrategias para cada jugador. Aprenderemos algunas de estas herramientas en la siguiente sección.