3.3: Uso de Sage para graficar líneas y resolver ecuaciones

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En esta sección utilizaremos la tecnología para graficar líneas y resolver para el punto de intersección. En particular, utilizaremos un recurso abierto en línea llamado Sage.

Sigamos considerando el juego dado en Tabla\(3.2.1\) por

Tabla\(3.3.1\): Ejemplo\(3.1.1\) con Estrategias Nombradas
\ (3.3.1\): Ejemplo\(3.1.1\) con Estrategias Nombradas">	C	D
\ (3.3.1\): Ejemplo\(3.1.1\) con Estrategias Nombradas">A	\(1\)	\(0\)
\ (3.3.1\): Ejemplo\(3.1.1\) con Estrategias Nombradas">B	\(-1\)	\(2\)

Recordemos, nuestro objetivo es determinar con qué frecuencia el Jugador 1 debe jugar A y con qué frecuencia debe jugar B.

Seguiremos los mismos pasos que en la Sección 3.2. Deja\(p\) ser la probabilidad de que el Jugador 1 juegue B. Let\(m\) Ser el pago al Jugador 1. Como estamos tratando de encontrar una estrategia mixta para el Jugador 1, elegiremos una estrategia para el Jugador 2 e intentaremos determinar los posibles beneficios para el Jugador 1.

Determinemos algunos pares\((p, m)\text{.}\)

Paso 1: Supongamos que el jugador 2 juega estrategia pura\(C\text{.}\)

Paso 1a: Si el Jugador 1 siempre juega\(A\text{,}\) entonces estamos considerando el par de estrategia\([A, C]\text{.}\) Ya que el Jugador 1 nunca juega\(B\text{,}\)\(p=0\text{.}\) El pago al Jugador 1 por\([A, C]\) es\(m=1\text{.}\) Así, para el par de estrategia\([A, C]\) obtenemos\((p, m)=(0, 1)\text{.}\)

Paso 1b: Si el Jugador 1 siempre juega\(B\text{,}\) entonces estamos considerando el par de estrategia\([B, C]\text{.}\) Ya que el Jugador 1 siempre juega\(B\text{,}\)\(p=1\text{.}\) El pago al Jugador 1 por\([A, C]\) es\(m=-1\text{.}\) Así, para el par de estrategia\([B, C]\) obtenemos\((p, m)=(1, -1)\text{.}\)

Paso 1c: Ahora queremos saber cuál será el pago del Jugador 1 ya que varía la probabilidad,\(p\text{,}\) con la que juega\(B\text{.}\) Podemos dibujar una gráfica donde el\(x\) eje -representa a probabilidad con la que juega B (\(p\)) y el\(y\) eje -representa lo esperado pago (\(m\)). Así, cuando el Jugador 1 juega solo\(A\text{,}\) ella está jugando\(B\) con probabilidad\(0\); cuando el Jugador 1 juega solo B, está jugando B con probabilidad\(1\). Podría ser más fácil de recordar si etiquetas tu gráfica como en la Figura\(3.2.1\).

Paso 1d: Ahora podemos usar Sage para trazar los puntos que determinamos en el Paso 1a y Paso 1b y la línea entre ellos. Esta línea representa la estrategia pura del Jugador 2\(C\text{.}\) Ver Figura\(3.2.2\). Haga clic en el botón “Ejecutar” para trazar la línea entre los puntos\((0, 1)\) y\((1, -1)\text{.}\)

u=(0,1);
v=(1,-1);
show(line([u, v], thickness=2, color=('blue'))+point(u, color=('blue'), pointsize=70)+point(v, color=('blue'), pointsize=70), figsize=4)

Antes de seguir adelante, volvamos a asegurarnos de entender lo que representa esta línea. Cualquier punto en él representa el beneficio esperado para el Jugador 1 ya que varía su estrategia, asumiendo que el Jugador 2 solo juega\(C\). En este caso, podemos ver que a medida que juega con\(B\) más frecuencia, su pago esperado baja. Ahora puedes usar esta celda de Sage para trazar cualquier línea para la estrategia pura del Jugador 2\(C\text{.}\) Solo edita los valores de los puntos\(u\) y ¡Sigue\(v\text{.}\) adelante y pruébalo! (No te preocupes, los valores originales se restablecerán cuando refresques la página).

Ahora hagamos lo mismo, suponiendo que el jugador 2 juegue solo\(D\text{.}\)

Paso 2: Supongamos que el jugador 2 juega estrategia pura\(D\text{.}\)

Paso 2a: Si el Jugador 1 siempre juega\(A\text{,}\) entonces estamos considerando el par de estrategia\([A, D]\text{.}\) Ya que el Jugador 1 nunca juega\(B\text{,}\)\(p=0\text{.}\) El pago al Jugador 1 por\([A, D]\) es\(m=0\text{.}\) Así, para el par de estrategia\([A, D]\) obtenemos\((p, m)=(0, 0)\text{.}\)

Paso 2b: Si el Jugador 1 siempre juega\(B\text{,}\) entonces estamos considerando el par de estrategia\([B, D]\text{.}\) Ya que el Jugador 1 siempre juega\(B\text{,}\)\(p=1\text{.}\) El pago al Jugador 1 por\([B, D]\) es\(m=2\text{.}\) Así, para el par de estrategia\([B, D]\) obtenemos\((p, m)=(1, 2)\text{.}\)

Paso 2c: Ahora, en nuestra misma gráfica del Paso 1, podemos trazar los puntos que determinamos en el Paso 2a y el Paso 2b. Los conectaremos con una línea que representa la estrategia pura del Jugador 2\(D\text{.}\) Ver Figura\(3.2.3\).

u=(0,1);
v=(1,-1);
w=(0,0);
z=(1, 2);
show(line([u, v], thickness=2, color=('blue'))+point(u, color=('blue'), pointsize=70)
  +point(v, color=('blue'), pointsize=70)
  +line([w, z], thickness=2, color=('red'))
  +point(w, color=('red'), pointsize=70)+point(z, color=('red'), pointsize=70), figsize=4)

Ahora podemos ver que si el Jugador 2 juega solo\(D\text{,}\) entonces el Jugador 1 lo hace mejor jugando solo de\(B\text{.}\) nuevo, puedes usar esta celda de Sage para trazar las estrategias puras de ambos jugadores 2. Los puntos\(u\) y\(v\) son para la estrategia\(C\text{,}\) mientras que los puntos\(w\) y\(z\) son para la estrategia\(D\text{.}\)

Como vimos en la Sección 3.2, por cada elección de\(p\text{,}\) la línea superior representa el valor más alto esperado para el Jugador 1; la línea de fondo representa el valor esperado más bajo para el Jugador 1; el área entre las líneas representa los posibles valores esperados para el Jugador 1. Así, la jugadora 1 quiere maximizar el valor mínimo esperado, lo que significa que quiere encontrar la estrategia maximin. Y, como vimos en la Sección 3.2, la estrategia de maximin ocurre en la intersección de las dos líneas.

Paso 3: Encuentra la intersección de las dos líneas.

Paso 3a: Encuentra la ecuación para la Línea C. Esta es la línea que pasa por los puntos\((0, 1)\) y\((1, -1)\text{.}\) tiene pendiente\(-2\) e\(y\) -intercepción\(1\). Así, tiene ecuación\(m=-2p+1\text{.}\) (Recall the\(x\) -axis representa probabilidad\(p\) y el\(y\) -axis representa el pago esperado\(m\text{.}\))

Paso 3b: Encuentra la ecuación para la Línea D. Esta es la línea que pasa por los puntos\((0, 0)\) y\((1, 2)\text{.}\) tiene pendiente\(2\) e\(y\) -intercepción\(0\). Así, tiene ecuación\(m=2p\text{.}\)

Paso 3c: Ahora podemos usar la tecnología para ayudarnos a resolver las ecuaciones.

p, m = var('p, m')
solve([m==-2*p+1, m==2*p], p, m)[0]

La solución para el Jugador 1 es\((p, m)\text{.}\) Dónde\(p\) está la probabilidad El Jugador 1 juega B, y\(m\) es el pago esperado para el Jugador 1.

Podemos usar esta celda de Sage para resolver para\(p\) y\(m\) para cualquier\(2\times 2\) juego editando las ecuaciones\(m==-2*p+1, m==2*p\text{.}\)

Paso 4: Determina la estrategia mixta máxima del jugador 1. Recordando que\(p\) es la probabilidad de que el Jugador 1 juegue\(B\text{,}\) sabemos que el Jugador 1 jugará\(B\) con probabilidad\(\dfrac{1}{4}\), y así, jugará A con probabilidad\(\dfrac{3}{4}\). El pago esperado para el Jugador 1,\(m\text{,}\) es\(\dfrac{1}{2}\). Es importante verificar la solución algebraica con donde aparece el punto de intersección en la gráfica. Aunque estamos utilizando la tecnología para ayudarnos a graficar y resolver el punto de intersección, necesitamos poder detectar cualquier error que cometamos ingresando la información en Sage.

Hemos visto que podemos usar la misma matriz con los beneficios del Jugador 1 para encontrar la estrategia para el Jugador 2. Usando la misma matriz de juego que la anterior:

\(\begin{bmatrix}1 & 0 \\-1 & 2 \end{bmatrix}\)

y continuar etiquetando las estrategias del Jugador 1 por\(A\) y\(B\text{,}\) y las estrategias del Jugador 2 por\(C\) y\(D\text{,}\) podemos graficar líneas para las estrategias puras del Jugador 1\(A\) y ahora\(B\text{.}\) dejamos que el\(x\) eje —represente la probabilidad de que el Jugador 2 juegue\(D\text{.}\) En el Sabio applet abajo, for\(u\) e\(v\) ingresa las coordenadas de dos puntos que determinan la línea para cuando juega el Jugador 1\(A\text{,}\) luego los dos puntos para\(w\) y\(z\) que determinan la línea para cuando juega el Jugador 1\(B\text{.}\) Tendremos entonces que Sage grafique las líneas. Puede introducir nuevos valores para\(u, v, w, z\) si desea dibujar la gráfica para una matriz diferente.

@interact(layout=dict(top=[['u','v'],['w','z']]))
def endpoints(u=vector((0,1.0)), v=vector((1,0.0)), w=vector((0,-1.0)), z=vector((1, 2.0))):
  L1 = line([u, v], thickness=2, color=('blue'))
  L2 = line([w, z], thickness=2, color=('red'))
  P1 = point(u, color=('blue'), pointsize=70)
  P2 = point(v, color=('blue'), pointsize=70)
  P3 = point(w, color=('red'), pointsize=70)
  P4 = point(z, color=('red'), pointsize=70)
  pretty_print(html("Enter the coordinates of the endpoints for the two lines you'd like to graph. Note that u and v are for one line, w and z for the other."))
  show(L1+L2+P1+P2+P3+P4, figsize=4)

Ahora determina e ingresa las ecuaciones de las dos líneas y haz que Sage resuelva para el punto de intersección.

p, m = var('p, m')
@interact
def intersection(Slope1=-1,Intercept1=1,Slope2=3,Intercept2=-1):
  Eq1 = m==Slope1*p+Intercept1
  Eq2 = m==Slope2*p+Intercept2
  S = solve([Eq1, Eq2], p, m)[0]
  pretty_print(html("The intersection point is $%s$, $%s$."%(latex(S[0]),latex(S[1]))))

Ahora puedes usar estas dos últimas celdas de Sage para resolver cualquier\(2 \times 2\) juego con un equilibrio de estrategia mixta. También puedes tomarte un tiempo para experimentar con lo que sucede si el juego tiene un equilibrio de estrategia puro.

¡Ahora usa las celdas Sage para ayudarte a analizar algunos juegos más!

Ejercicio 3.3.1 : Usar Sage para encontrar un equilibrio de estrategia mixta

Considera el juego de suma cero\(\begin{bmatrix}-4 & 4 \\2 & -2 \end{bmatrix}\).

¿Este juego tiene un equilibrio de estrategia puro?
Con sólo mirar la matriz, ¿crees que este juego será justo? (¿Prefieres ser Jugador 1 o Jugador 2?)
Usa Sage para dibujar la gráfica apropiada para este juego. ¿Qué estrategia pura representa la línea azul? ¿Qué estrategia pura representa la línea roja?
Usa tu gráfica para determinar si hay un punto de equilibrio de estrategia mixta. Si la hay, usa Sage para determinar con qué frecuencia el Jugador 1 debe jugar cada estrategia. ¿Cuál es la retribución esperada para cada jugador?
¿Este juego es justo? Explique. Compara tu respuesta con (b).

Ejercicio 3.3.2 : Más práctica con Sage

Considera el juego de suma cero\(\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & -10 \end{bmatrix}\).

¿Este juego tiene un equilibrio de estrategia puro?
Con sólo mirar la matriz, ¿crees que este juego será justo? (¿Prefieres ser Jugador 1 o Jugador 2?)
Usa Sage para dibujar la gráfica apropiada para este juego. ¿Qué estrategia pura representa la línea azul? ¿Qué estrategia pura representa la línea roja?
Usa tu gráfica para determinar si hay un punto de equilibrio de estrategia mixta. Si la hay, usa Sage para determinar con qué frecuencia el Jugador 1 debe jugar cada estrategia. ¿Cuál es la retribución esperada para cada jugador?
¿Este juego es justo? Explique. Compara tu respuesta con (b).