4.1: Introducción a los juegos para dos jugadores que no son de suma cero
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En esta sección, presentamos juegos que no son de suma cero. En un juego que no sea de suma cero, las ganancias de los jugadores ya no necesitan sumar a un valor constante. Ahora es posible que ambos jugadores ganen o ambos jugadores pierdan.
¿Cuáles son algunas propiedades de un juego de suma cero que puede que ya no se mantenga para un juego que no sea de suma cero? Por ejemplo, en un juego de suma cero ¿alguna vez es ventajoso informar a tu oponente de tu estrategia? ¿Es ventajoso comunicarse antes del juego y determinar un plan de acción conjunto? ¿Seguirías queriendo minimizar la rentabilidad de tus oponentes?
Construyamos una comprensión de los juegos que no son de suma cero mirando un ejemplo.
Alice y Bob quieren salir al cine. Bob quiere ver una película de acción, Alice quiere ver una comedia. Ambos prefieren ir al cine juntos en lugar de ir solos. Podemos representar la situación con la matriz de pago en la Tabla\(4.1.1\):
| Tabla\(4.1.1\): Batalla de los Sexos | |||
|---|---|---|---|
| \ (4.1.1\): Batalla de los Sexos"> | Alice | ||
| \ (4.1.1\): Batalla de los Sexos"> | Acción | Comedia | |
| \ (4.1.1\): Batalla de los sexos” rowspan="2">Bob | Acción | \((2, 1)\) | \((-1, -1)\) |
| Comedia | \((-1, -1)\) | \((1, 2)\) | |
Explique por qué esto no es un juego de suma cero.
En los juegos de suma cero, nunca es ventajoso que tu oponente conozca tu estrategia. ¿Esa propiedad todavía aplica para juegos como Batalla de los Sexos?
¿Podría ser ventajoso para un jugador anunciar su estrategia? ¿Podría ser perjudicial anunciar su estrategia? De ser posible, describir un escenario en el que sería ventajoso anunciar una estrategia. De ser posible, describir un escenario en el que sería perjudicial anunciar una estrategia.
Primero podríamos tratar de analizar Battle of the Sexes usando las mismas técnicas que usamos para los juegos de suma cero. Por ejemplo, podríamos comenzar como lo haríamos en los juegos de suma cero buscando cualquier punto de equilibrio.
Dado que nuestro objetivo principal en el análisis de juegos ha sido encontrar puntos de equilibrio, busquemos cualquier punto de equilibrio para Battle of teh Sexes. ¿Hay alguna pareja de estrategia donde los jugadores no quieran cambiar?
- Sugerencia
-
¡Hay dos!
¿Los puntos de equilibrio son los mismos (en otras palabras, cada jugador obtiene el mismo beneficio en cada punto de equilibrio)? Compara esto con lo que debe suceder para los juegos de suma cero.
Ahora que sabemos que Battle of the Sexes tiene dos puntos de equilibrio, deberíamos tratar de encontrar estrategias reales para Alice y Bob. ¿Hay una buena estrategia para cada uno si juegan el juego solo una vez? ¿Y si repiten el juego? Recordemos que con juegos de suma cero, si hubo un equilibrio, los jugadores racionales siempre quieren jugarlo, aunque se repita el juego. ¿Eso todavía parece funcionar aquí? Además, ¿cómo podría cambiar la capacidad de comunicación lo que hacen los jugadores?
Supongamos que el juego se juega repetidamente. Por ejemplo, Alice y Bob tienen noche de cine una vez al mes. Sugerir una estrategia para Alice y para Bob. Siéntete libre de jugar el juego con alguien de clase. Prueba a jugar varias veces sin comunicarte sobre tu estrategia antes de cada juego.
¿Cómo podría afectar la comunicación a la elección de la estrategia? Ahora juega varias veces donde se te permita comunicarte sobre tu estrategia. ¿Esto cambia tu estrategia?
En cualquier caso, comunicándose y no comunicándose, ¿cree que sus estrategias para Alice y Bob representan un equilibrio de estrategia mixta?
En un juego de suma cero, si hay un equilibrio de estrategia puro, entonces ¿qué sucede cuando repites un juego? Si repites Batalla de los Sexos, ¿el juego siempre resulta en un par de equilibrio?
Ojalá estés empezando a ver algunos de los retos para analizar juegos que no sean de suma cero. Sabemos que hay puntos de equilibrio en Batalla de los Sexos, pero incluso el juego racional puede no resultar en un equilibrio. Para lo que resta de esta sección, supongamos que los jugadores no pueden comunicarse sobre la estrategia antes de jugar. Tales juegos se llaman juegos no cooperativos. Antes de seguir adelante, intentemos encontrar las estrategias maximin para nuestros jugadores usando el método gráfico, como hicimos con los juegos de suma cero.
Considera Batalla de los Sexos desde el punto de vista de Bob. Sabemos que Bob quiere maximizar su pago (eso no ha cambiado). Entonces a Bob no le importa cuáles sean los premios de Alice. Anota la matriz de pago de Bob.
Recordemos que el método gráfico representa el pago esperado de Bob dependiendo de la frecuencia con la que toca cada una de sus opciones. Esboce la gráfica asociada con la matriz de pago de Bob.
El área entre las dos líneas todavía representa los posibles valores esperados para Bob, dependiendo de la frecuencia con la que Alice toca cada una de sus estrategias. Entonces, como antes, los resultados representan lo menos que Bob puede esperar a medida que varía su estrategia. Así, el punto de intersección representará el mayor de estos valores más pequeños (la estrategia maximin). Encuentra este punto de intersección. ¿Con qué frecuencia debe tocar Bob cada opción? ¿Cuál es su pago esperado?
Entonces no importa lo que haga Alice, Bob puede esperar que a la larga gane al menos el valor que encontraste en Ejercicio\(4.1.12\). Asegúrate de entender esto antes de seguir adelante.
Ahora considera Batalla de los Sexos desde el punto de vista de Alicia. Anota su matriz de pago y usa el método gráfico para encontrar la probabilidad con la que debe jugar cada opción y su pago esperado.
Ahora, desde Ejercicio\(4.1.12\) y Ejercicio\(4.1.13\) tienes el mínimo beneficio que cada jugador debe esperar. Tenga en cuenta que dado que este no es un juego de suma cero, ambos jugadores pueden esperar un pago positivo. Pero ahora queremos ver cómo este par de estrategias mixtas realmente funciona para los jugadores.
Supongamos que Bob juega la estrategia mixta de Ejercicio\(4.1.12\). Calcula el valor esperado de Alice para cada una de sus estrategias puras\(E_2\) ((Comedia) y\(E_2\) (Acción)).
¿Son iguales los valores esperados de Alice? Si no, ¿qué estrategia prefiere cuando Bob juega la estrategia mixta de Exercise\(4.1.12\)? ¿Alice quiere desviarse de su estrategia mixta?
Ahora bien, si Alice juega una estrategia pura, ¿Bob quiere cambiar su estrategia? Entonces, ¿el par de estrategia mixta para Bob y Alice de Exercise\(4.1.12\) and Exercise\(4.1.13\) es un equilibrio? De hecho, si Bob cambia su estrategia, ¿cómo se compara su valor esperado con el valor esperado para su estrategia mixta?
¿Qué va mal con el método gráfico en el caso de un juego de suma distinta a cero?
- Sugerencia
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¿Es importante que Alice considere la estrategia minimax? ¿Alice tiene alguna razón para minimizar el pago de Bob?
Como podemos ver en el ejemplo anterior, los métodos utilizados para analizar los juegos de suma cero pueden no ser demasiado útiles para los juegos que no son de suma cero. Parte del problema es que al resolver juegos de suma cero tomamos en consideración que un jugador quiere minimizar el pago al otro jugador. Este ya no es el caso. Cambiar las estrategias puede permitir que AMBOS jugadores lo hagan mejor. Un jugador ya no tiene ninguna razón para impedir que el otro jugador le vaya mejor.
Entonces sabemos que la estrategia mixta no nos va a dar un equilibrio. Pero supongamos que empezamos ahí. En otras palabras, supongamos que Bob planea jugar la estrategia mixta de Ejercicio\(4.1.12\). ¿Qué estrategia pura debería jugar Alice? En respuesta, ¿qué estrategia pura debería jugar Bob? ¿Cuál es el resultado? ¿Acabas en un equilibrio?
Ahora supongamos que Alice planea jugar la estrategia mixta de Ejercicio\(4.1.13\). Calcula el valor esperado para Bob para cada una de sus estrategias puras. ¿Qué estrategia pura prefiere jugar Bob? ¿Cómo responderá Alice a la estrategia pura de Bob? ¿Cuál es el resultado? ¿Acabas en un equilibrio?
Supongamos que Bob piensa que Alice probará la estrategia mixta y Alice piensa que Bob probará la estrategia mixta. ¿Cuál estrategia pura jugará cada uno? ¿Cuál es el resultado? ¿Acabas en un equilibrio?
Considerando Ejercicio\(4.1.18\)\(4.1.19\), Ejercicio y Ejercicio\(4.1.20\), ¿es lo mejor para un jugador siquiera considerar jugar la estrategia mixta de Ejercicio\(4.1.12\) o Ejercicio\(4.1.13\)?
Hemos visto las limitaciones del método gráfico, pero ¿qué pasa con el método del valor esperado?
Intenta aplicar el método del valor esperado a Batalla de los Sexos. ¿Qué estrategias mixtas obtienes? Explique por qué este método tampoco resultará en un equilibrio. Es posible que desee considerar si es importante que un jugador minimice el valor esperado para el otro jugador.
Ahora que hemos visto cómo los métodos que nos permitieron resolver juegos de suma cero no funcionan para juegos que no sean de suma cero, necesitaremos encontrar nuevas formas de abordar los juegos que no sean de suma cero.