1.7: Polígonos regulares y poliedros regulares

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Los polígonos regulares ya han aparecido con bastante frecuencia (por ejemplo, en Problemas 3, 12, 19, 27, 28, 29). Esta es una característica general de las matemáticas elementales; por lo que el descuido de la geometría de los polígonos regulares, y sus compañeros 3D, los poliedros regulares, es aún más desafortunado. Terminamos este primer capítulo con una primera breve mirada a polígonos y poliedros.

1.7.1: Los polígonos regulares son cíclicos

Problema 36

Un polígono\(ABCDE...\) consta de\(n\) vértices\(A, B, C, D, E, ...,\) y\(n\) lados\(AB\),,\(BC\)\(CD\),\(DE\)... que son disjuntos excepto que los pares sucesivos se encuentran en su punto final común (como cuando\(AB\), se\(BC\) encuentran en\(B\)). Un polígono es regular si dos lados son congruentes (o iguales), y dos ángulos cualesquiera son congruentes (o iguales). ¿Se puede inscribir\(ABCDE...\) siempre un\(n\) -gon regular en un círculo? En otras palabras, ¿un polígono regular tiene automáticamente un “centro”, que es equidistante de todos los\(n\) vértices?

1.7.2: Poliedros regulares

Problema 37 (Envoltura)

(a) Se le da un tetraedro regular con bordes de longitud\(2\). ¿Es posible elegir números reales positivos\(a\) y de\(b\) manera que una hoja de papel a por\(b\) rectangular pueda usarse para “envolver”, o cubrir, el tetraedro regular sin dejar huecos o superposiciones?

(b) Dado un cubo con bordes de longitud\(2\), ¿cuál es el rectángulo de menor tamaño que se puede utilizar para envolver el cubo de la misma manera sin cortar el papel? (En otras palabras, si queremos cubrir completamente el cubo, ¿cuál es el área más pequeña de superposición necesaria? ¿Qué tan pequeña fracción del papel tenemos que desperdiciar?

Problema 38 (Secciones Transversales)

¿Puede una sección transversal de un cubo ser:

(i) ¿un triángulo equilátero?

ii) ¿un cuadrado?

iii) ¿un polígono con más de seis lados?

(iv) ¿un hexágono regular?

(v) un pentágono regular

Problema 39 (Sombras)

¿Se pueden usar los rayos del Sol para producir una sombra plana de un cubo?

(i) en forma de triángulo equilátero?

ii) en forma de cuadrado?

(iii) en forma de pentágono?

iv) ¿en forma de hexágono regular?

v) ¿en forma de polígono con más de seis lados?

La impartición de conocimientos fácticos es para nosotros una consideración secundaria. Sobre todo pretendemos promover en el lector una actitud correcta, una cierta disciplina del pensamiento, que parecería ser de importancia aún más esencial en las matemáticas que en otras disciplinas científicas....

Las reglas generales que podrían prescribir en detalle la disciplina más útil del pensamiento no son conocidas por nosotros. Aunque se pudieran formular tales reglas, no serían muy útiles. En lugar de conocer teóricamente las reglas correctas del pensamiento, uno debe haberlas asimilado en la carne y la sangre listos para su uso instantáneo e instintivo. Por lo tanto, para la escolarización de los propios poderes del pensamiento solo la práctica del pensamiento es realmente útil.

G. Pólya (1887—1985) y G. Szegö (1895—1985)