1.8: Capítulo 1- Comentarios y Soluciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
1.
a) Suponiendo que se2× conozcan las3×4×,,, y5× tablas, y que se haya entendido que el orden de los factores no importa, todo lo que queda por aprender es6×6,,6×7,6×8,6×9;7×7,7×8,8×8,7×9; 8×9; y9×9.
b) i(4×10−3)×(2×10−2)=8×10−5=0.00008
ii)(8×10−4)×(7×10−2)=56×10−6=0.000056
iii)(7×10−3)×(12×10−2)=84×10−5=0.00084
iv)(7×10−3)×(12×10−2)=84×10−5=0.00084
(v)(8×10−2)2=64×10−4=0.0064
2.
a) i1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144;169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,961
ii)1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331
iii)1=20,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024
b) i31(312=961,322=210=1024)
ii)99(1002=104=10000)
(iii)316(3102=96100<100000<3202; así que mire más cuidadosamente entre310 y320)
c) i9(93=729<103=1000)
ii)21(203=8000,223=10648)
iii)99(1003=106=1000000)
d) i) Aquellas potencias2e de la forma22n para las que el exponentee es un múltiplo de2: es decir,e≡0 (mod2).
(ii) Aquellas potencias2e de la forma23n para las que el exponentee es un múltiplo de3: i.e.e≡0 (mod3).
e)64=26=43=82.729=36=93=272.
3.
a) i)712 ii)2113 iii)14 iv) v vi31 vii1031=31
b) i)2√22√35√2 ii)7√3 iii iv v vi12√221√2
c) i)∠ABC=108∘. △BACes isósceles(BA=BC), entonces∠BAC=∠BCA=36∘.
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=72∘=180∘−∠AED.
AsíAC es paralelo aED (ya que los ángulos correspondientes se suman a180∘).
(ii)AX es paralelo aED; de manera similarDX es paralelo aEA. De ahíAXDE es un paralelogramo, conEA = ED.
(iii) Los dos triángulos son isósceles y\angle AXD = \angle CXB = 108^{\circ} (ángulos verticalmente opuestos). De ahí\angle XAD = \angle XCB = 36^{\circ}, y \angle XDA = \angle XBC = 36^{\circ}.
(iv)AD : CB = DX : BX, asíx : 1 = 1 : (x - 1); por lo tantox^{2} - x - 1 = 0 yx = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \text{the} \ Golden \ Ratio generalmente denotado por la letra griega\tau (tau), con valor aproximado0.6180339887...
(v)BX = x -1 = \frac{\sqrt{5} -1}{2} \ (= \frac{1}{\tau} = \tau -1) con valor aproximado0.6180339887...
(vi) Podemos verificar que los ángulos correspondientes sean iguales en pares(36^{\circ}, 72^{\circ}, 72^{\circ}), o que los lados correspondientes estén en la misma proporciónx : 1 = 1 : (x -1).
vii)\cos{36^{\circ}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}; \cos{72^{\circ}} = \frac{\sqrt{5} -1}{4} (soltar perpendiculares desdeD haciaAB y desdeX haciaBC; o usar la Regla del Coseno).
viii)\sin^{2}{36^{\circ}} + \cos^{2}{36^{\circ}} = 1: \sin{36^{\circ}} = \frac{\sqrt{10 -2\sqrt{5}}}{4}; \ \sin{72^{\circ}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}
Nota: La proporción áurea surge en muchos lugares inesperados (incluyendo el pentágono regular y los números de Fibonacci). Desafortunadamente mucho de lo que se escribe sobre su ubicuidad es pura invención. Uno de los mejores tratamientos populares, que resalta la significación del número, a la vez que toma una visión sobria de las afirmaciones espurias, es el libro La proporción áurea de Mario Livio.
4.
(a)12345 = 5 \times 2469 = 3 \times 5 \times 823. Pero, ¿es823 un número primo? Es fácil verificar que no823 sea divisible por2, o3, o5, o7, o11. La Prueba de Raíz Cuadrada (que se muestra a continuación) nos dice que solo es necesario verificar cuatro factores primos potenciales más.
Prueba de Raíz Cuadrada: SiN = a \times b cona \le b, entoncesa \times a \le a \times b = N, entonces el factor más pequeñoa \le \sqrt{N}.
De ahí que, siN (= 823 digamos) no sea primo, su factor más pequeño\gt 1 es como mucho igual a\sqrt{N} (= \sqrt{823} \lt 29). a = 13, 17, 19, 23La comprobación muestra que la factorización prima requerida es12345 = 3 \times 5 \times 823.
b) Los hay25 \ (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97).
Notas:
(i) Para los primos pequeños, la aritmética mental debería ser suficiente. Pero también hay que estar al tanto del Tamiz general de Eratóstenes (un polímata griego del siglo III a.C.). Comience con los enteros1–100 dispuestos en diez columnas, y proceda de la siguiente manera:
\begin{array}{cccccccccc}{1} & {2} & {3} & {4} & {5} & {6} & {7} & {8} & {9} & {10} \\ {11} & {12} & {13} & {14} & {15} & {16} & {17} & {18} & {19} & {20} \\ {21} & {22} & {23} & {24} & {25} & {26} & {27} & {28} & {29} & {30} \\ {31} & {32} & {33} & {34} & {35} & {36} & {37} & {38} & {39} & {40} \\ {41} & {42} & {43} & {44} & {45} & {46} & {47} & {48} & {49} & {50} \\ {61} & {62} & {63} & {64} & {65} & {66} & {67} & {68} & {69} & {50} \\ {71} & {72} & {73} & {74} & {75} & {76} & {77} & {78} & {79} & {80} \\ {81} & {82} & {83} & {84} & {85} & {86} & {87} & {88} & {89} & {90} \\ {91} & {92} & {93} & {94} & {95} & {96} & {97} & {98} & {99} & {100}\end{array}
Suprímase1 (que no es primo: véase ii) a continuación).
Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos2 de
Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos3 de
Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos5 de
Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos7 de
Todos los enteros restantes sin eliminar\lt 100 deben ser primos (por la Prueba de Raíz Cuadrada (ver parte (a)).
(ii) La estructura multiplicativa de los enteros es sorprendentemente sutil. Lo primero que hay que notar es que1 tiene un papel especial, en que es la identidad multiplicativa: para cada enteron, tenemos1 \times n = n. De ahí1 que sea “multiplicativamente neutral” —no tiene ningún efecto.
Los “bloques de construcción multiplicativos” para los enteros son los números primos: cada entero se\gt 1 puede desglosar, o factorizar como un producto de números primos, exactamente de una manera. El entero no1 tiene factores propios, y no tiene ningún papel que desempeñar en la descomposición de enteros más grandes por factorización. Entonces no1 es un prime. (Si cometíamos el error de contar1 como número primo, entonces tendríamos que hacer todo tipo de excepciones tontas —por ejemplo, para permitir el hecho de que2 = 2 \times 1 = 2 \times 1 \times 1 = ..., entonces2 podría factorizarse de infinitamente muchas maneras.)
(iii) Observe que no91 = 7 \times 13 es primo; entonces hay exactamente uno primo en el90 s — a saber97.
¿Cuántos primos hay en la próxima serie de10 (de100–109)?
¿De cuántos primos hay190–199? ¿Cuántos de200–210?
c) i)3 = 2^{2} \times 1.
(ii) Muchos estudiantes luchan con esto, y pueden sugerir143, o323, o incluso63. El problema oculta un mensaje (muy poco) disfrazado:
No se puede calcular con palabras.
Para hacer uso de las matemáticas, debemos traducir de manera rutinaria las palabras en símbolos. Tan pronto como “uno menos que un cuadrado” se traduzca en símbolos, las campanas deberían comenzar a sonar. Para que sepas esox^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1), así solox^{2} - 1 puede ser primo si el factor menor(x - 1) es igual a1.
5.
(a) (i) Si tratamos de evitar tal “par relativamente primo”, entonces no debemos elegir ninguno de11, 13, 17, 19 (ya que son primos, y no tienen múltiplos en el rango dado). Entonces nos vemos obligados a elegir los otros seis enteros:10, 12, 14, 15, 16, 18 — y entonces hay exactamente dos pares que son relativamente primos, a saber14, 15 y15, 16.
(ii) Si tratamos de evitar tal par, entonces podemos elegir como máximo un entero par. Entonces nos vemos obligados a elegir los cinco enteros impares disponibles, y nuestra lista será: “par desconocido11, 13, 15, 17, 19”,. Si el número entero par se elige para ser14, o16, entonces cada par en mi lista tiene\text{LCM} = 1. Entonces la respuesta es “No”.
(b) (i) Si tratamos de evitar tal par, entonces no debemos elegir97 (el único número primo en los noventa). Y no debemos elegir95 = 5 \times 19 (que es relativamente primo para todos los demás números enteros en el rango dado —excepto para90); y no debemos elegir91 = 7 \times 13 (que es relativamente primo para todos los demás números enteros en el rango dado— a excepción de98). Entonces nos vemos obligados a elegir seis enteros de90, 92, 93, 94, 96, 98, 99. Cualquiera que sea el número entero que luego omitimos deja un par que es relativamente primo.
(ii) Si tratamos de evitar tal par, entonces podemos elegir como máximo un entero par. Entonces nos vemos obligados a elegir los cinco enteros impares disponibles, y nuestra lista será: “par desconocido91, 93, 95, 97, 99”, y así debe incluir el par93, 99 —con factor común—3. Entonces la respuesta es “Sí”.
c) En las partes (a) y (b), los números enteros posibles están limitados (en (a) a los “adolescentes”, y en (b) a los “noventa”); por lo que es natural alcanzar argumentos ad hoc como lo hicimos anteriormente. Pero en la parte (c) no sabes nada de los números elegidos.
Nota: La pregunta dice que “elijo”, y pregunta si “usted” puede estar seguro. Entonces hay que encontrar ya sea un argumento general que funcione para cualquieran, o un contraejemplo. Y el tema de este capítulo indica que no debe requerir ningún cálculo extendido.
La “idea general” relevante es el Principio de Agujero Paloma que podemos encontrar en la segunda parte de esta colección. Por lo que este problema puede ser visto como una introducción suave.
(i) Agrupar los enteros2n consecutivos
a + 1, a + 2, …, a +2n
enn pares de enteros consecutivos
\{a+1, a+2\},\{a+3, a+4\}, \ldots,\{a+(2 n-1), a+2 n\}
- Si elegimos como máximo un entero de cada par, entonces nunca obtenemos más quen enteros.
- Entonces tan pronto como elegimosn + 1 enteros de enteros2n consecutivos, nos vemos obligados a elegir ambos enteros en algún park,k + 1, y este par de enteros consecutivos siempre es relativamente primo (ver Problema 6 (b) (i)).
(ii) Vimos en la parte (a) (ii) que, sin = 5 y2n los enteros comienzan en10, entonces podemos elegir seis enteros (cualquiera11, 13, 14, 15, 17, 19, o11, 13, 15, 16, 17, 19), y en cada caso cada par tiene\text{LCM} = 1. Entonces paran = 5 la respuesta es “No” (porque hay al menos un caso donde uno no puede estar seguro).
No obstante, tan pronto comon es por lo menos6, demostramos que el argumento de la parte (a) (ii) se descompone. Como antes, si tratamos de elegir un subconjunto en el que ningún par tenga un factor común, entonces podemos elegir como máximo un entero par. Entonces nos vemos obligados a elegir todos los enteros impares. Pero cualquier ejecución de al menos seis enteros impares consecutivos incluye dos múltiplos de3. Entonces paran \ge 6, la respuesta es “Sí”.
6.
(a) (i) Supongamos quek es un factorofm yn. Entonces podemos escribirm = kp yn = kq para algunos enterosp, q. De ahím-n = k(p-q), asík es un factor dem-n. Ademásm +n = k(p + q), también lok es un factor dem + n.
(ii) Cualquier factor dem y tambiénn es un factor de su diferenciam + n; por lo que el conjunto de factores comunes dem yn es un subconjunto del conjunto de factores comunes dem-n yn.
Y cualquier factor dem-n y tambiénn es un factor de su sumam; por lo que el conjunto de factores comunes dem - n yn es un subconjunto del conjunto de factores comunes dem yn.
De ahí que los dos conjuntos de factores comunes sean idénticos. En particular, los dos “factores comunes más altos” son iguales.
iii) Restar91 de1001 diez veces para ver que
HCF(1001, 91) = HCF(1001 - 910, 91) = 91.
b) i) Restarm dem + 1 una vez para ver que
HCF( m + 1, m) = HCF(1,m) = 1
ii) Restarm de2m + 1 dos veces para ver que
HCF(2m +1, m) = HCF(m+1, m) = HCF(1,m) = 1
iii) Restarm -1 dem^{2} +1 “m +1tiempos” para ver que
HCF(m^{2}+1, m-1) = HCF((m^2+1) - (m^{2} -1), m -1) = HCF(2, m-1)
De ahí, sim es impar, el\text{HCF} = 2; sim es par, el\text{HCF} = 1.
7. Ellos son iguales. (El primero es
\frac{17}{100} \times 19000000
el segundo es
\frac{19}{100} \times 17000000
que son iguales ya que la multiplicación es conmutativa y asociativa.)
8.
(a)
\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{2} = 3
b)
\sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = 2
c)
10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 \ \text{seconds}
\begin {array} {align} = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60} \ \text{minutes} \\ = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60 \times 60} \ \text{hours} \\ = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60 \times 60 \times 24} \ \text{days} \\ = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60 \times 60 \times 24 \times 7} \ \text{weeks} \\ = 6 \ \text{weeks (after cancelling).} \end {array}
Nota: Estas tres preguntas subrayan lo que entendemos por aritmética estructural. Las fracciones nunca deben manejarse evaluando numeradores y denominadores. En cambio, uno siempre debe estar atento a las características estructurales que simplifiquen el cálculo, como la cancelación.
9.
(a) Supongamos que un rectángulo de la serie “DIN A” tiene dimensionesa porb, cona \lt b. Doblar por la mitad produce un rectángulo de tamaño\frac{b}{2} pora. De ahíb : a = a : \frac{b}{2}, asíb^{2} = 2a^{2}, yb : a = \sqrt{2}:1.
b) i\frac{1}{r}
ii)r
10.
a) “15\%descuento” significa que el precio realmente cobrado es “85\%del precio marcado”. De ahí que cada precio marcado tenga que ser multiplicado por0.85.
La ley distributiva dice que podemos sumar primero los precios marcados y luego multiplicar el total (exactamente£80) por0.85 para obtener
£\left(\frac{85}{100} \times 80\right) = £(17 \times 4) = £68
Nota: El contexto (compras, impuesto a las ventas y descuento) es matemáticamente poco interesante. Lo que importa aquí es la estructura multiplicativa subyacente de la solución, que surge en muchos contextos diferentes.
(b) “Añadir20\% IVA” significa multiplicar el total descontado antes del IVA (£68) por1.2, o\frac{6}{5}. De ahí que el precio final, con IVA añadido, sea£(1.2 \times 0.85 \times 80).
Si el IVA se agregara primero, el precio antes del descuento sería£(1.2 \times 80), y el precio final después de permitir el descuento sería£(0.85 \times 1.2 \times 80). Dado que la multiplicación es conmutativa, los dos cálculos tienen el mismo resultado, por lo que el orden no importa (así como el resultado final en el Problema 9 es el mismo si uno primero agranda A4 a A3 y luego reduce A3 a A4, o primero reduce A4 a A5 y luego agranda A5 a A4).
Nota: Observe que no evaluamos las dos respuestas para ver que dieron la misma salida£81.60. Si lo hubiéramos hecho, entonces la igualdad podría haber sido una casualidad debido a los números particulares elegidos. En cambio dejamos la respuesta sin evaluar, en forma estructurada, lo que demostró que la igualdad se mantendría para cualquier insumo.
(c) Para cancelar multiplicar por\frac{6}{5} necesitamos multiplicar por\frac{5}{6} — un descuento de\frac{1}{6}, o16\frac{2}{3}\%.
Nota: Esta pregunta no tiene nada que ver con las aplicaciones financieras. Se incluye para subrayar el hecho de que aunque las preguntas de cambio porcentual utilizan el lenguaje de suma y resta (“aumentar”, o “disminuir”), las matemáticas sugieren que deben manejarse multiplicativamente.
11.
(a) (i)2 \times 5 \lt 3 \times 4, por lo que
\frac{7}{2 \times 5} \gt \frac{7}{3 \times 4}
De ahí
\frac{1}{2} + \frac{1}{5} \gt \frac{1}{3} + \frac{1}{4}
ii) A primera vista, “10 \lt 12” puede no parecer relacionado con “\frac{1}{2} + \frac{1}{5} \gt \frac{1}{3} + \frac{1}{4}”. Sin embargo, el hecho crucial del que partimos en la parte (i) fue “2 \times 5 = 10 \lt 12 = 3 \times 4”.
b)10 \lt 12 así
(x+ 2)(x + 5) = x^{2} + 7x + 10 \lt x^{2} + 7x + 12 = (x +3)(x+4)
(i) Si los cuatro paréntesis son positivos (es decir, six \gt -2), entonces también tenemos2x + 7 \gt 0, y se deduce que
\begin{array} {align} \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x +5} &= \frac{2x + 7}{(x+2)(x+5)} \\ &\gt \frac{2x + 7}{(x+3)(x+4)} \\ &= \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x+4} \end{array}
(ii) Al calcular con la expresión algebraica dada, los valores
x = -2, -3, -4, -5
son “valores prohibidos”.
Six \gt -2, entonces (como en la parte (i)) tenemos
\begin{array} {align} \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x +5} &= \frac{2x + 7}{(x+2)(x+5)} \\ &\gt \frac{2x + 7}{(x+3)(x+4)} \\ &= \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x+4} \end{array}
Para valores permitidos dex \lt -2, uno o más de los paréntesis(x + 2), (x + 5), (x + 3), (x + 4) serán negativos. Sin embargo, todavía se puede llevar a cabo el álgebra para simplificar
\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x +5} = \frac{2x + 7}{(x+2)(x+5)}y\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x +4} = \frac{2x + 7}{(x+3)(x+4)}
Cuandox = -\frac{7}{2} ambas expresiones son iguales, e iguales a0. Los numeradores simplificados son ambos positivos six \gt -\frac{7}{2}, y ambos negativos six \lt -\frac{7}{2}; y el signo de los denominadores cambia a medida que uno se mueve a través de los cuatro intervalos-3 \lt x \lt -2, -4 \lt x \lt -3, -5 \lt x \lt -4, x \lt -5, con la desigualdad cambiando de
\ (\ begin {array} {align} “\ gt”\ (\ text {for}\ x\ gt -2) &\ text {a}\ “\ lt”\ (\ text {para} -3\ lt x\ lt -2),\\ &\ texto {a}\ “\ gt”\ (\ text {para} -3.5\ lt x\ lt -3),\\ &\ texto {a}\ “\ lt”\ (\ texto {para} -4\ lt x\ lt -3.5),\\ &\ texto {a}\ “\ gt”\ (\ texto {para} -5\ lt x\ lt -4),\\ &\ texto {a}\ “\ lt”\ (\ lt”\ (\ text {for}\ x\ lt -5)
\ end {array}\)
12.
a) i)3 + 2\sqrt{2};
ii)3- 2\sqrt{2};
iii)7+5\sqrt{2}
Nota: Observe que puede anotar la respuesta al (ii) tan pronto como haya terminado (i), sin hacer ningún cálculo adicional.
b) i) 2+ \sqrt{6};
ii)\sqrt{2} + \sqrt{3};
(iii)\frac{1+\sqrt{5}}{2} (la proporción áurea\frac{1+\sqrt{5}}{2} = \tau es la raíz mayor de la ecuación cuadráticax^{2} - x -1 = 0. De ahí\frac{3+\sqrt{5}}{2} = \tau + 1 = \tau^{2};
iv)\sqrt{10-2\sqrt{5}}: esto no simplifica más.
Nota: Algunos lectores pueden pensar que una disculpa está en orden para la parte (iv). La lección aquí es que, si bien siempre se debe tratar de simplificar, no hay forma de saber de antemano si una simplificación es posible. Y no hay forma de salir de este dilema. Entonces uno se reduce a pensar: cualquier simplificación implicaría\sqrt{5}, y si uno intenta resolver (a + b\ sqrt {5}) ^ {2} = 10 -2\ sqrt {5}, entonces las soluciones paraa yb no conducen a nada “más simple”. (Este repetido surd quizás debería haber sonado campanas, ya que era igual a la expresión exacta para4\sin{36^{\circ}} en el Problema 3 c). Se incluyó aquí en parte porque la cuestión de su simplificación ya debería haber surgido cuando figuraba en ese contexto.)
13.
En la reconstrucción de los dígitos faltantes el número de soluciones posibles está determinado por el factor común más alto del multiplicador y 10. En el primer paso (en la columna de unidades):
porqueHCF(6, 10) = 2, \square \times 6 = 8 \ (\text{mod} \ 10) tiene dos soluciones que difieren por5 — a saber,3 y8.
Entonces, la primera posibilidad requiere que resolvamos(\square \times 3) + 1 = 2 \ (\text{mod} \ 10): porque\(HCF(3, 10) = 1\), esto solo tiene una solución, a saber7. Esto da lugar a la solución 76 \times 3 = 228.
La segunda posibilidad requiere que resolvamos(\square \times 8) + 4 = 2 \ (\text{mod} \ 10): porque\(HCF(8, 10) = 2\), esto tiene dos soluciones que difieren por5 — a saber,1 y6. Esto da lugar a dos soluciones más: 16 \times 8 = 128, y 66 \times 8 = 528.
14.
(a) Las soluciones son totalmente elementales, sin artimañas. Pero pueden ser sorprendentemente esquivos. Y como esta elusividad es la única razón para incluir el problema, dudamos en aliviar cualquier frustración dando la solución. Todo el empuje del “24juego” es subrayar las posibilidades de “conocer” las muchas caras de un número como24: por ejemplo, en cuanto a; en cuanto24 = 12 + 12 \ (= 3 \times 4 + 3 \times 4 a3, 3, 4, 4); en24 = 25 - 1 \ (= 5 \times 5 -3 \div 3 cuanto a3, 3, 5, 5); y en24 = 27 -3 \ (= 3 \times 3 \times 3 - 3 cuanto a3, 3, 3, 3). Entonces uno debería estar buscando formas de explotar otros aspectos aritméticos importantes de24 — en particular, como4 \times 6 y como3 \times 8.
b) i
\begin{array} {align} 0 = (4-4) + (4-4); 1 = (4 \div 4) \times (4 \div 4); 2 = (4 \div 4) + (4 \div 4); 3 = (4 + 4 + 4) \div 4; \\ 4 = ((4-4) \times 4) + 4; 5 = (( 4 \times 4) + 4) \div 4); 6 = 4 + ((4 + 4) \div 4); 7 = 4 + 4 - (4 \div 4); \\ 8 = (4 + 4) \times (4 \div 4); 9 = (4+ 4) + (4 \div 4). \end{array}
La salida10 parece imposible con las restricciones dadas.
(ii) Con cuadratura y\sqrt{\ \ \ \ } permitido podemos gestionar10 = 4 + 4 + 4 - \sqrt{4}. En efecto, uno puede inventar todo40 excepto (quizás)39.
15.
a) ia^{2} + 2ab + b^{2}; a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}
ii) Susstitúyaseb por(b):a^{2} - 2ab + b^{2}; a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}
b) i(x +1)^{2}
ii)(x^{2} - 1)^{2}
iii)(x^{2} - 1)^{3}
c) ia^{2} - b^{2}
ii) Susstitúyaseb "" por "b+ c“:a^{2}-(b+c)^{2} = a^{2} - b^{2} - c^{2}- 2bc
Susstitúyaseb "" por "b- c“:a^{2}-(b-c)^{2} = a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc
(d) Una manera es reescribir esta expresión como una diferencia de dos cuadrados:
\ (\ begin {array} {align} (2x) ^ {2} - (x^ {2} - 2x +1) &= (2x) ^ {2} - (x-1) ^ {2}\\ &= (2x - (x-1)) (2x + (x -1))\\ &= (x +1) (3x -1)
\ end {array}\)
Nota: Como tantas veces, los mensajes aquí son en gran parte implícitos. En la parte (a) (ii) resaltamos explícitamente la intención de usar lo que ya sabes (simplemente sustituyendo "-b” en lugar de “b”. En la parte (b), se espera que reconozca (i), y luego vea (ii) y (iii) como variaciones leves en las expansiones de(a - b)^{2} y(a- b)^{3} en parte (a). La parte (c) repite (en silencio) el mensaje de (a) (ii): piensa — no lo saques. Y la parte (d) te anima a estar atento a instancias apenas disfrazadas de “una diferencia de dos cuadrados”.
16.
a) Dígitos finales: “bloque”4,6 de longitud2;
Dígitos iniciales: “bloque”4,1,6,2,1 de longitud5.
b) Reclamación La secuencia de “unidades dígitos” realmente se repite.
Prueba Dada una potencia de4 que tiene unidades dígito4, el algoritmo de multiplicación habitual para multiplicar por4 produce un número con unidades dígito6.
Dada esta nueva potencia de4 con unidades dígito6, el algoritmo de multiplicación habitual para multiplicar por4 produce un número con unidades dígito4.
En esta etapa la secuencia de unidades dígitos inicia un nuevo ciclo.
[Alternativamente: El dígito de unidades es simplemente igual a la potencia relevante de4 \ (\text{mod} \ 10). Multiplicando por4 cambios4 a6 \ (\text{mod} \ 10); multiplicando por4 cambios6 a4 \ (\text{mod} \ 10); — y el ciclo se repite.]
(c) La secuencia de dígitos iniciales parece repetir todos los5 términos, porque4^{5} = 2^{10} = 1024 es casi exactamente igual a1000. Cada vez que avanzamos sobre5 pasos en la secuencia, multiplicamos por4^{5} = 1024. En lo que respecta al dígito principal, esto tiene el mismo efecto que multiplicar el término inicial(4) por un poco más de1.024 (luego agregar cualquier 'acarreo'), lo que es muy parecido a multiplicar por1 — y así no cambia el dígito inicial (todavía).
Sin embargo, cada vez que avanzamos sobre10 pasos en la secuencia, nos multiplicamos por4^{10} = 1024^{2} = 1048576. En lo que respecta al dígito principal, esto tiene el mismo efecto que multiplicar por un poco más de1.048576.
Cuando nos movemos por25 escalones, nos multiplicamos por4^{25} = 1125899906842624. Y en lo que respecta al dígito principal, esto tiene el mismo efecto que multiplicar por un poco más de1.12599906842624. Y así sucesivamente.
Eventualmente, el multiplicador se vuelve lo suficientemente grande como para cambiar uno de los dígitos iniciales.
17. El total es100.
Habiendo encontrado esto por cálculo directo, deberíamos pensar indirectamente y notarlo100 = 10^{2}.
Y entonces deberíamos preguntar: “¿Por qué10? ¿Qué 10tiene que ver con la tabla 4 \timesde multiplicar?”
Una comprobación rápida de la tabla de1 \times multiplicación (total= 1), la tabla de2 \times multiplicación (total= 9), etc. puede sugerir lo que deberíamos haber visto inmediatamente.
\begin{array} {align} \text{The first row has sum:} &&&& \ \ \ \ \ \ \ (1 +2+3+4). \\ \text{The second row has total} &&&& 2 \times (1 +2+3+4). \\ \text{The third row has total} &&&& 3 \times (1 +2+3+4). \\ \text{The fourth row has total} &&&& 4 \times (1 +2+3+4). \end{array}
\therefore \text{The total is} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1+2+3+4) \times (1+2+3+4) = (1+2+3+4)^{2}
19.
(a)\sin{45^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos{45^{\circ}}; \tan{45^{\circ}} = 1
b)AM = \sqrt{3}; \ \sin{30^{\circ}} = \frac{1}{2}, \cos{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan{30^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \ \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos{60^{\circ}} = \frac{1}{2}, \tan{60^{\circ}} = \sqrt{3}
c) iii\cos{315^{\circ}} = \cos{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \sin{225^{\circ}} = -\sin{45^{\circ}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}; \tan{210^{\circ}} = \tan{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \cos{120^{\circ}} = -\cos{60^{\circ}} = -\frac{1}{2}; \sin{960^{\circ}} = \sin{240^{\circ}} = -\sin{60^{\circ}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}; \tan{(-135^{\circ})} = \tan{45^{\circ}} = 1
d) Cortar eln -gon enn “rebanadas de pastel” y usar la fórmula “\frac{1}{2}ab\sin{C}” para cada rebanada.
(i)\frac{3\sqrt{3}}{4}
ii)2
iii)\frac{3\sqrt{3}}{2}
iv)2\sqrt{2}
(v)3
(e) Calcula la longitud lateral deln -gon, luego corta eln -gon enn “rebanadas” y usa la fórmula “\ frac {1} {2} (\ text {base}\ times\ text {height})” para cada rebanada.
(i)3\sqrt{3}
ii)4
iii)2\sqrt{3}
iv)8(\sqrt{2} - 1)
(v)12(2 -\sqrt{3})
Nota: Aquí no hay trigonometría oculta: todo lo que necesitas es el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en la parte (e) (iv) podemos extender lados alternos del octágono regular para formar el circunscrito2 por2 cuadrado. Los cuatro triángulos de esquina son triángulos isósceles en ángulo recto con hipotenusa de longituds (el lado del octágono). De ahí que cada lado de la plaza sea iguals + 2 \cdot \frac{s}{\sqrt{2}} = 2 a dondes = 2(\sqrt{2} -1).
20.
(a)\sqrt{8}
b)\sqrt{2},\sqrt{2}
c)\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}
21. Construya la perpendicular deA aBC (posiblemente extendida); deje que esto se encuentre con la líneaBC enX. Hay cuatro posibilidades:
i) O bienX = C, en cuyo caso\angle{BCA} es un ángulo recto según se requiera; oX = B, en cuyo casob^{2} = a^{2} + c^{2}, contradictoriaa^{2} + b^{2} = c^{2};
ii)X \ne B,C, yC se encuentra entreB yX;
iii)X \ne B,C, yX se encuentra entreB yC;
(iv)X \ne B,C, yB se encuentra entreX yC.
Analizamos el caso (ii) y dejamos los casos (iii) y (iv) al lector.
(ii)\triangle{AXC} y ambos\triangle{AXB} son triángulos rectos; así por Teorema de Pitágoras sabemos que
\ (\ begin {array} {align} AC^ {2} &= AX^ {2} + XC^ {2},\ text {y}\\ AB^ {2} &= AX^ {2} + XB^ {2}\\ &= AX^ {2} + (XC + CB) ^ {2}\ &=AX^ {2} + XC^ {2} + CB^ {2} + 2XC\ cdot CB\\ &= AC^ {2} + CB^ {2} + 2XC\ cdot CB
\ end {array}\)
Ya que se nos dice esoAC^{2} + CB^{2} = AB^{2}, se deduce que2XC \cdot CB = 0, contrario aX \ne C.
Nota: Observe que la prueba de lo contrario del Teorema de Pitágoras hace uso del propio Teorema de Pitágoras.
22.
(a) c = b+1, entoncesa^{2} = c^{2} - b^{2} = 2b + 1. De ahía que sea impar, y podemos escribira = 2m + 1.
(b) Supongamos que tambiénb = 2n-1 es impar. Entoncesc^{2} = 4n^{2} es divisible por4 — lo que contradice el hecho de queb^{2} = 4(n^{2} -n) +1, ya^{2} = 4(m^{2} +m) +1, asía^{2} + b^{2} deja resto2 en división por4.
De ahíb = 2n que sea par yc = 2n+1 es impar. Pero entonces
(2m + 1)^{2} + (2n)^{2} = a^{2} + b^{2} = c^{2} = (2n +1)^{2}
entonces4(m^{2} + m) = 4n, yn = m(m+1).
23.
(a) Sia yb son ambos parejos, entoncesHCF(a,b) \ne 1, así el triple no sería primitivo.
Sia yb son ambos impares, usamos la idea del Problema 22 (b). Supongamosa = 2m +1, \ b = 2n +1; entoncesa^{2} = 4(m^{2} + m) +1, yb^{2} = 4(n^{2} + n) +1, entoncesa^{2} + b^{2} = 2 \times (2(m^{2} + m + n^{2} +n) +1). Pero esto es “dos veces un número impar”, por lo que no puede ser igual ac^{2} (ya quec tendría que ser par, y cualquier cuadrado par debe ser un múltiplo de4).
De ahí que podamos suponer quea es impar yb es par: asíc es impar.
(b) Luegoa^{2} + b^{2} = c^{2} rindeb^{2} = c^{2} - a^{2} = (c - a)(c +a), entonces
\left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \left( \frac{c -a}{2} \right) \left( \frac{c +a}{2} \right)
Cualquier factor común de\frac{c+a}{2} y\frac{c-a}{2} divide su sumac y su diferenciaa, entoncesHCF\left( \frac{c-a}{2}, \frac{c+a}{2}\right) = 1. Dado que la diferencia de estos dos factores esa, lo cual es impar, tienen paridad opuesta.
(c) Si dos enteros son relativamente primos, y su producto es un cuadrado, entonces cada uno de los factores tiene que ser un cuadrado (considere sus factorizaciones primos). De ahí\frac{c+a}{2} = p^2 y\frac{c-a}{2} = q^2, dóndeHCF(p,q) = 1 yp yq tienen paridad opuesta.
Por lo tanto
c = p^{2} + q^{2}, \ \ \ a = p^{2} - q^{2} , \ \ \ b = 2pq
d) Es fácil comprobar que cualquier triple de la forma dada es (i) primitivo, y (ii) satisfacea^{2} + b^{2} = c^{2}.