1.8: Capítulo 1- Comentarios y Soluciones

1.

a) Suponiendo que se\(2 \times\) conozcan las\(3 \times\)\(4 \times\),,, y\(5 \times\) tablas, y que se haya entendido que el orden de los factores no importa, todo lo que queda por aprender es\(6 \times 6\),,\(6 \times 7\),\(6 \times 8\),\(6 \times 9\);\(7 \times 7\),\(7 \times 8\),\(8 \times 8\),\(7 \times 9\); \(8 \times 9\); y\(9 \times 9\).

b) i\((4 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^{-2}) = 8 \times 10^{-5} = 0.00008\)

ii)\((8 \times 10^{-4}) \times (7 \times 10^{-2}) = 56 \times 10^{-6} = 0.000056\)

iii)\((7 \times 10^{-3}) \times (12 \times 10^{-2}) = 84 \times 10^{-5} = 0.00084\)

iv)\((7 \times 10^{-3}) \times (12 \times 10^{-2}) = 84 \times 10^{-5} = 0.00084\)

(v)\((8 \times 10^{-2})^{2} = 64 \times 10^{-4} = 0.0064\)

2.

a) i\(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144; 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961\)

ii)\(1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331\)

iii)\(1 = 2^{0}, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\)

b) i\(31 (31^{2} = 96^{1}, 32^{2} = 21^{0} = 1024)\)

ii)\(99 (100^{2} = 10^{4} = 10000)\)

(iii)\(316 (310^{2} = 96100 \lt 100000 \lt 320^{2}\); así que mire más cuidadosamente entre\(310\) y\(320\))

c) i\(9 (9^{3} = 729 \lt 10^{3} = 1000)\)

ii)\(21 (20^{3} = 8000, 22^{3} = 10648)\)

iii)\(99 (100^{3} = 10^{6} = 1000000)\)

d) i) Aquellas potencias\(2^{e}\) de la forma\(2^{2n}\) para las que el exponente\(e\) es un múltiplo de\(2\): es decir,\(e \equiv 0\) (mod\(2\)).

(ii) Aquellas potencias\(2^{e}\) de la forma\(2^{3n}\) para las que el exponente\(e\) es un múltiplo de\(3\): i.e.\(e \equiv 0\) (mod\(3\)).

e)\(64 = 2^{6} = 4^{3} = 8^{2}. 729 = 3^{6} = 9^{3} = 27^{2}\).

3.

a) i)\(7\)\(12\) ii)\(21\)\(13\) iii)\(14\) iv) v vi\(31\) vii\(10^{31} = 31\)

b) i)\(2\sqrt{2}\)\(2\sqrt{3}\)\(5\sqrt{2}\) ii)\(7\sqrt{3}\) iii iv v vi\(12\sqrt{2}\)\(21\sqrt{2}\)

c) i)\(\angle ABC = 108^{\circ}\). \(\triangle BAC\)es isósceles\((BA = BC)\), entonces\(\angle BAC = \angle BCA = 36^{\circ}\).

\(\therefore \angle{CAE} = \angle{BAE} - \angle{BAC} = 72^{\circ} = 180^{\circ} - \angle{AED}\).

Así\(AC\) es paralelo a\(ED\) (ya que los ángulos correspondientes se suman a\(180^{\circ}\)).

(ii)\(AX\) es paralelo a\(ED\); de manera similar\(DX\) es paralelo a\(EA\). De ahí\(AXDE\) es un paralelogramo, con\(EA = ED\).

(iii) Los dos triángulos son isósceles y\(\angle AXD = \angle CXB = 108^{\circ}\) (ángulos verticalmente opuestos). De ahí\(\angle XAD = \angle XCB = 36^{\circ}\), y\( \angle XDA = \angle XBC = 36^{\circ}\).

(iv)\(AD : CB = DX : BX\), así\(x : 1 = 1 : (x - 1)\); por lo tanto\(x^{2} - x - 1 = 0\) y\(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \text{the} \ Golden \ Ratio\) generalmente denotado por la letra griega\(\tau\) (tau), con valor aproximado\(0.6180339887...\)

(v)\(BX = x -1 = \frac{\sqrt{5} -1}{2} \ (= \frac{1}{\tau} = \tau -1)\) con valor aproximado\(0.6180339887...\)

(vi) Podemos verificar que los ángulos correspondientes sean iguales en pares\((36^{\circ}, 72^{\circ}, 72^{\circ})\), o que los lados correspondientes estén en la misma proporción\(x : 1 = 1 : (x -1)\).

vii)\(\cos{36^{\circ}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}; \cos{72^{\circ}} = \frac{\sqrt{5} -1}{4}\) (soltar perpendiculares desde\(D\) hacia\(AB\) y desde\(X\) hacia\(BC\); o usar la Regla del Coseno).

viii)\(\sin^{2}{36^{\circ}} + \cos^{2}{36^{\circ}} = 1: \sin{36^{\circ}} = \frac{\sqrt{10 -2\sqrt{5}}}{4}; \ \sin{72^{\circ}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}\)

Nota: La proporción áurea surge en muchos lugares inesperados (incluyendo el pentágono regular y los números de Fibonacci). Desafortunadamente mucho de lo que se escribe sobre su ubicuidad es pura invención. Uno de los mejores tratamientos populares, que resalta la significación del número, a la vez que toma una visión sobria de las afirmaciones espurias, es el libro La proporción áurea de Mario Livio.

4.

(a)\(12345 = 5 \times 2469 = 3 \times 5 \times 823\). Pero, ¿es\(823\) un número primo? Es fácil verificar que no\(823\) sea divisible por\(2\), o\(3\), o\(5\), o\(7\), o\(11\). La Prueba de Raíz Cuadrada (que se muestra a continuación) nos dice que solo es necesario verificar cuatro factores primos potenciales más.

Prueba de Raíz Cuadrada: Si\(N = a \times b\) con\(a \le b\), entonces\(a \times a \le a \times b = N\), entonces el factor más pequeño\(a \le \sqrt{N}\).

De ahí que, si\(N (= 823\) digamos) no sea primo, su factor más pequeño\(\gt 1\) es como mucho igual a\(\sqrt{N} (= \sqrt{823} \lt 29)\). \(a = 13, 17, 19, 23\)La comprobación muestra que la factorización prima requerida es\(12345 = 3 \times 5 \times 823\).

b) Los hay\(25 \ (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97)\).

Notas:

(i) Para los primos pequeños, la aritmética mental debería ser suficiente. Pero también hay que estar al tanto del Tamiz general de Eratóstenes (un polímata griego del siglo III a.C.). Comience con los enteros\(1–100\) dispuestos en diez columnas, y proceda de la siguiente manera:

\(\begin{array}{cccccccccc}{1} & {2} & {3} & {4} & {5} & {6} & {7} & {8} & {9} & {10} \\ {11} & {12} & {13} & {14} & {15} & {16} & {17} & {18} & {19} & {20} \\ {21} & {22} & {23} & {24} & {25} & {26} & {27} & {28} & {29} & {30} \\ {31} & {32} & {33} & {34} & {35} & {36} & {37} & {38} & {39} & {40} \\ {41} & {42} & {43} & {44} & {45} & {46} & {47} & {48} & {49} & {50} \\ {61} & {62} & {63} & {64} & {65} & {66} & {67} & {68} & {69} & {50} \\ {71} & {72} & {73} & {74} & {75} & {76} & {77} & {78} & {79} & {80} \\ {81} & {82} & {83} & {84} & {85} & {86} & {87} & {88} & {89} & {90} \\ {91} & {92} & {93} & {94} & {95} & {96} & {97} & {98} & {99} & {100}\end{array}\)

Suprímase\(1\) (que no es primo: véase ii) a continuación).

Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos\(2\) de

Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos\(3\) de

Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos\(5\) de

Encierra en un círculo el primer entero sin eliminar; eliminar todos los demás múltiplos\(7\) de

Todos los enteros restantes sin eliminar\(\lt 100\) deben ser primos (por la Prueba de Raíz Cuadrada (ver parte (a)).

(ii) La estructura multiplicativa de los enteros es sorprendentemente sutil. Lo primero que hay que notar es que\(1\) tiene un papel especial, en que es la identidad multiplicativa: para cada entero\(n\), tenemos\(1 \times n = n\). De ahí\(1\) que sea “multiplicativamente neutral” —no tiene ningún efecto.

Los “bloques de construcción multiplicativos” para los enteros son los números primos: cada entero se\(\gt 1\) puede desglosar, o factorizar como un producto de números primos, exactamente de una manera. El entero no\(1\) tiene factores propios, y no tiene ningún papel que desempeñar en la descomposición de enteros más grandes por factorización. Entonces no\(1\) es un prime. (Si cometíamos el error de contar\(1\) como número primo, entonces tendríamos que hacer todo tipo de excepciones tontas —por ejemplo, para permitir el hecho de que\(2 = 2 \times 1 = 2 \times 1 \times 1 = ...\), entonces\(2\) podría factorizarse de infinitamente muchas maneras.)

(iii) Observe que no\(91 = 7 \times 13\) es primo; entonces hay exactamente uno primo en el\(90\) s — a saber\(97\).

¿Cuántos primos hay en la próxima serie de\(10\) (de\(100–109\))?

¿De cuántos primos hay\(190–199\)? ¿Cuántos de\(200–210\)?

c) i)\(3 = 2^{2} \times 1\).

(ii) Muchos estudiantes luchan con esto, y pueden sugerir\(143\), o\(323\), o incluso\(63\). El problema oculta un mensaje (muy poco) disfrazado:

No se puede calcular con palabras.

Para hacer uso de las matemáticas, debemos traducir de manera rutinaria las palabras en símbolos. Tan pronto como “uno menos que un cuadrado” se traduzca en símbolos, las campanas deberían comenzar a sonar. Para que sepas eso\(x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)\), así solo\(x^{2} - 1\) puede ser primo si el factor menor\((x - 1)\) es igual a\(1\).

5.

(a) (i) Si tratamos de evitar tal “par relativamente primo”, entonces no debemos elegir ninguno de\(11, 13, 17, 19\) (ya que son primos, y no tienen múltiplos en el rango dado). Entonces nos vemos obligados a elegir los otros seis enteros:\(10, 12, 14, 15, 16, 18\) — y entonces hay exactamente dos pares que son relativamente primos, a saber\(14, 15\) y\(15, 16\).

(ii) Si tratamos de evitar tal par, entonces podemos elegir como máximo un entero par. Entonces nos vemos obligados a elegir los cinco enteros impares disponibles, y nuestra lista será: “par desconocido\(11, 13, 15, 17, 19\)”,. Si el número entero par se elige para ser\(14\), o\(16\), entonces cada par en mi lista tiene\(\text{LCM} = 1\). Entonces la respuesta es “No”.

(b) (i) Si tratamos de evitar tal par, entonces no debemos elegir\(97\) (el único número primo en los noventa). Y no debemos elegir\(95 = 5 \times 19\) (que es relativamente primo para todos los demás números enteros en el rango dado —excepto para\(90\)); y no debemos elegir\(91 = 7 \times 13\) (que es relativamente primo para todos los demás números enteros en el rango dado— a excepción de\(98\)). Entonces nos vemos obligados a elegir seis enteros de\(90, 92, 93, 94, 96, 98, 99\). Cualquiera que sea el número entero que luego omitimos deja un par que es relativamente primo.

(ii) Si tratamos de evitar tal par, entonces podemos elegir como máximo un entero par. Entonces nos vemos obligados a elegir los cinco enteros impares disponibles, y nuestra lista será: “par desconocido\(91, 93, 95, 97, 99\)”, y así debe incluir el par\(93, 99\) —con factor común—\(3\). Entonces la respuesta es “Sí”.

c) En las partes (a) y (b), los números enteros posibles están limitados (en (a) a los “adolescentes”, y en (b) a los “noventa”); por lo que es natural alcanzar argumentos ad hoc como lo hicimos anteriormente. Pero en la parte (c) no sabes nada de los números elegidos.

Nota: La pregunta dice que “elijo”, y pregunta si “usted” puede estar seguro. Entonces hay que encontrar ya sea un argumento general que funcione para cualquiera\(n\), o un contraejemplo. Y el tema de este capítulo indica que no debe requerir ningún cálculo extendido.

La “idea general” relevante es el Principio de Agujero Paloma que podemos encontrar en la segunda parte de esta colección. Por lo que este problema puede ser visto como una introducción suave.

(i) Agrupar los enteros\(2n\) consecutivos

\(a + 1, a + 2, …, a +2n\)

en\(n\) pares de enteros consecutivos

\(\{a+1, a+2\},\{a+3, a+4\}, \ldots,\{a+(2 n-1), a+2 n\}\)

• Si elegimos como máximo un entero de cada par, entonces nunca obtenemos más que\(n\) enteros.
• Entonces tan pronto como elegimos\(n + 1\) enteros de enteros\(2n\) consecutivos, nos vemos obligados a elegir ambos enteros en algún par\(k\),\(k + 1\), y este par de enteros consecutivos siempre es relativamente primo (ver Problema 6 (b) (i)).

(ii) Vimos en la parte (a) (ii) que, si\(n = 5\) y\(2n\) los enteros comienzan en\(10\), entonces podemos elegir seis enteros (cualquiera\(11, 13, 14, 15, 17, 19\), o\(11, 13, 15, 16, 17, 19\)), y en cada caso cada par tiene\(\text{LCM} = 1\). Entonces para\(n = 5\) la respuesta es “No” (porque hay al menos un caso donde uno no puede estar seguro).

No obstante, tan pronto como\(n\) es por lo menos\(6\), demostramos que el argumento de la parte (a) (ii) se descompone. Como antes, si tratamos de elegir un subconjunto en el que ningún par tenga un factor común, entonces podemos elegir como máximo un entero par. Entonces nos vemos obligados a elegir todos los enteros impares. Pero cualquier ejecución de al menos seis enteros impares consecutivos incluye dos múltiplos de\(3\). Entonces para\(n \ge 6\), la respuesta es “Sí”.

6.

(a) (i) Supongamos que\(k\) es un factor\(of\)\(m\) y\(n\). Entonces podemos escribir\(m = kp\) y\(n = kq\) para algunos enteros\(p, q\). De ahí\(m-n = k(p-q)\), así\(k\) es un factor de\(m-n\). Además\(m +n = k(p + q)\), también lo\(k\) es un factor de\(m + n\).

(ii) Cualquier factor de\(m\) y también\(n\) es un factor de su diferencia\(m + n\); por lo que el conjunto de factores comunes de\(m\) y\(n\) es un subconjunto del conjunto de factores comunes de\(m-n\) y\(n\).

Y cualquier factor de\(m-n\) y también\(n\) es un factor de su suma\(m\); por lo que el conjunto de factores comunes de\(m - n\) y\(n\) es un subconjunto del conjunto de factores comunes de\(m\) y\(n\).

De ahí que los dos conjuntos de factores comunes sean idénticos. En particular, los dos “factores comunes más altos” son iguales.

iii) Restar\(91\) de\(1001\) diez veces para ver que

\(HCF(1001, 91) = HCF(1001 - 910, 91) = 91\).

b) i) Restar\(m\) de\(m + 1\) una vez para ver que

\(HCF( m + 1, m) = HCF(1,m) = 1\)

ii) Restar\(m\) de\(2m + 1\) dos veces para ver que

\(HCF(2m +1, m) = HCF(m+1, m) = HCF(1,m) = 1\)

iii) Restar\(m -1\) de\(m^{2} +1\) “\(m +1\)tiempos” para ver que

\(HCF(m^{2}+1, m-1) = HCF((m^2+1) - (m^{2} -1), m -1) = HCF(2, m-1)\)

De ahí, si\(m\) es impar, el\(\text{HCF} = 2\); si\(m\) es par, el\(\text{HCF} = 1\).

7. Ellos son iguales. (El primero es

\(\frac{17}{100} \times 19000000\)

el segundo es

\(\frac{19}{100} \times 17000000\)

que son iguales ya que la multiplicación es conmutativa y asociativa.)

8.

(a)

\(\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{2} = 3\)

b)

\(\sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = 2\)

c)

\(10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 \ \text{seconds}\)

\(\begin {array} {align} = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60} \ \text{minutes} \\ = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60 \times 60} \ \text{hours} \\ = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60 \times 60 \times 24} \ \text{days} \\ = \frac{10 \times 9 \times8 \times7 \times6 \times5 \times4 \times3 \times2 \times1 }{60 \times 60 \times 24 \times 7} \ \text{weeks} \\ = 6 \ \text{weeks (after cancelling).} \end {array}\)

Nota: Estas tres preguntas subrayan lo que entendemos por aritmética estructural. Las fracciones nunca deben manejarse evaluando numeradores y denominadores. En cambio, uno siempre debe estar atento a las características estructurales que simplifiquen el cálculo, como la cancelación.

9.

(a) Supongamos que un rectángulo de la serie “DIN A” tiene dimensiones\(a\) por\(b\), con\(a \lt b\). Doblar por la mitad produce un rectángulo de tamaño\(\frac{b}{2}\) por\(a\). De ahí\(b : a = a : \frac{b}{2}\), así\(b^{2} = 2a^{2}\), y\(b : a = \sqrt{2}:1\).

b) i\(\frac{1}{r}\)

ii)\(r\)

10.

a) “\(15\%\)descuento” significa que el precio realmente cobrado es “\(85\%\)del precio marcado”. De ahí que cada precio marcado tenga que ser multiplicado por\(0.85\).

La ley distributiva dice que podemos sumar primero los precios marcados y luego multiplicar el total (exactamente\(£80\)) por\(0.85\) para obtener

\(£\left(\frac{85}{100} \times 80\right) = £(17 \times 4) = £68\)

Nota: El contexto (compras, impuesto a las ventas y descuento) es matemáticamente poco interesante. Lo que importa aquí es la estructura multiplicativa subyacente de la solución, que surge en muchos contextos diferentes.

(b) “Añadir\(20\%\) IVA” significa multiplicar el total descontado antes del IVA (\(£68\)) por\(1.2\), o\(\frac{6}{5}\). De ahí que el precio final, con IVA añadido, sea\(£(1.2 \times 0.85 \times 80)\).

Si el IVA se agregara primero, el precio antes del descuento sería\(£(1.2 \times 80)\), y el precio final después de permitir el descuento sería\(£(0.85 \times 1.2 \times 80)\). Dado que la multiplicación es conmutativa, los dos cálculos tienen el mismo resultado, por lo que el orden no importa (así como el resultado final en el Problema 9 es el mismo si uno primero agranda A4 a A3 y luego reduce A3 a A4, o primero reduce A4 a A5 y luego agranda A5 a A4).

Nota: Observe que no evaluamos las dos respuestas para ver que dieron la misma salida\(£81.60\). Si lo hubiéramos hecho, entonces la igualdad podría haber sido una casualidad debido a los números particulares elegidos. En cambio dejamos la respuesta sin evaluar, en forma estructurada, lo que demostró que la igualdad se mantendría para cualquier insumo.

(c) Para cancelar multiplicar por\(\frac{6}{5}\) necesitamos multiplicar por\(\frac{5}{6}\) — un descuento de\(\frac{1}{6}\), o\(16\frac{2}{3}\%\).

Nota: Esta pregunta no tiene nada que ver con las aplicaciones financieras. Se incluye para subrayar el hecho de que aunque las preguntas de cambio porcentual utilizan el lenguaje de suma y resta (“aumentar”, o “disminuir”), las matemáticas sugieren que deben manejarse multiplicativamente.

11.

(a) (i)\(2 \times 5 \lt 3 \times 4\), por lo que

\(\frac{7}{2 \times 5} \gt \frac{7}{3 \times 4}\)

De ahí

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} \gt \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\)

ii) A primera vista, “\(10 \lt 12\)” puede no parecer relacionado con “\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} \gt \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\)”. Sin embargo, el hecho crucial del que partimos en la parte (i) fue “\(2 \times 5 = 10 \lt 12 = 3 \times 4\)”.

b)\(10 \lt 12\) así

\((x+ 2)(x + 5) = x^{2} + 7x + 10 \lt x^{2} + 7x + 12 = (x +3)(x+4)\)

(i) Si los cuatro paréntesis son positivos (es decir, si\(x \gt -2\)), entonces también tenemos\(2x + 7 \gt 0\), y se deduce que

\(\begin{array} {align} \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x +5} &= \frac{2x + 7}{(x+2)(x+5)} \\ &\gt \frac{2x + 7}{(x+3)(x+4)} \\ &= \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x+4} \end{array}\)

(ii) Al calcular con la expresión algebraica dada, los valores

\(x = -2, -3, -4, -5\)

son “valores prohibidos”.

Si\(x \gt -2\), entonces (como en la parte (i)) tenemos

\(\begin{array} {align} \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x +5} &= \frac{2x + 7}{(x+2)(x+5)} \\ &\gt \frac{2x + 7}{(x+3)(x+4)} \\ &= \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x+4} \end{array}\)

Para valores permitidos de\(x \lt -2\), uno o más de los paréntesis\((x + 2), (x + 5), (x + 3), (x + 4)\) serán negativos. Sin embargo, todavía se puede llevar a cabo el álgebra para simplificar

\(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x +5} = \frac{2x + 7}{(x+2)(x+5)}\)y\(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x +4} = \frac{2x + 7}{(x+3)(x+4)}\)

Cuando\(x = -\frac{7}{2}\) ambas expresiones son iguales, e iguales a\(0\). Los numeradores simplificados son ambos positivos si\(x \gt -\frac{7}{2}\), y ambos negativos si\(x \lt -\frac{7}{2}\); y el signo de los denominadores cambia a medida que uno se mueve a través de los cuatro intervalos\(-3 \lt x \lt -2, -4 \lt x \lt -3, -5 \lt x \lt -4, x \lt -5\), con la desigualdad cambiando de

\ (\ begin {array} {align} “\ gt”\ (\ text {for}\ x\ gt -2) &\ text {a}\ “\ lt”\ (\ text {para} -3\ lt x\ lt -2),\\ &\ texto {a}\ “\ gt”\ (\ text {para} -3.5\ lt x\ lt -3),\\ &\ texto {a}\ “\ lt”\ (\ texto {para} -4\ lt x\ lt -3.5),\\ &\ texto {a}\ “\ gt”\ (\ texto {para} -5\ lt x\ lt -4),\\ &\ texto {a}\ “\ lt”\ (\ lt”\ (\ text {for}\ x\ lt -5)
\ end {array}\)

12.

a) i)\(3 + 2\sqrt{2}\);

ii)\(3- 2\sqrt{2}\);

iii)\(7+5\sqrt{2}\)

Nota: Observe que puede anotar la respuesta al (ii) tan pronto como haya terminado (i), sin hacer ningún cálculo adicional.

b) i)\( 2+ \sqrt{6}\);

ii)\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\);

(iii)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (la proporción áurea\(\frac{1+\sqrt{5}}{2} = \tau \) es la raíz mayor de la ecuación cuadrática\(x^{2} - x -1 = 0\). De ahí\(\frac{3+\sqrt{5}}{2} = \tau + 1 = \tau^{2}\);

iv)\(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\): esto no simplifica más.

Nota: Algunos lectores pueden pensar que una disculpa está en orden para la parte (iv). La lección aquí es que, si bien siempre se debe tratar de simplificar, no hay forma de saber de antemano si una simplificación es posible. Y no hay forma de salir de este dilema. Entonces uno se reduce a pensar: cualquier simplificación implicaría\(\sqrt{5}\), y si uno intenta resolver (a + b\ sqrt {5}) ^ {2} = 10 -2\ sqrt {5}, entonces las soluciones para\(a\) y\(b\) no conducen a nada “más simple”. (Este repetido surd quizás debería haber sonado campanas, ya que era igual a la expresión exacta para\(4\sin{36^{\circ}}\) en el Problema 3 c). Se incluyó aquí en parte porque la cuestión de su simplificación ya debería haber surgido cuando figuraba en ese contexto.)

13.

En la reconstrucción de los dígitos faltantes el número de soluciones posibles está determinado por el factor común más alto del multiplicador y 10. En el primer paso (en la columna de unidades):

porque\(HCF(6, 10) = 2, \square \times 6 = 8 \ (\text{mod} \ 10)\) tiene dos soluciones que difieren por\(5\) — a saber,\(3\) y\(8\).

Entonces, la primera posibilidad requiere que resolvamos\((\square \times 3) + 1 = 2 \ (\text{mod} \ 10)\): porque\(HCF(3, 10) = 1\), esto solo tiene una solución, a saber\(7\). Esto da lugar a la solución \(76 \times 3 = 228\).

La segunda posibilidad requiere que resolvamos\((\square \times 8) + 4 = 2 \ (\text{mod} \ 10)\): porque\(HCF(8, 10) = 2\), esto tiene dos soluciones que difieren por\(5\) — a saber,\(1\) y\(6\). Esto da lugar a dos soluciones más: \(16 \times 8 = 128\), y \(66 \times 8 = 528\).

14.

(a) Las soluciones son totalmente elementales, sin artimañas. Pero pueden ser sorprendentemente esquivos. Y como esta elusividad es la única razón para incluir el problema, dudamos en aliviar cualquier frustración dando la solución. Todo el empuje del “\(24\)juego” es subrayar las posibilidades de “conocer” las muchas caras de un número como\(24\): por ejemplo, en cuanto a; en cuanto\(24 = 12 + 12 \ (= 3 \times 4 + 3 \times 4\) a\(3, 3, 4, 4)\); en\(24 = 25 - 1 \ (= 5 \times 5 -3 \div 3\) cuanto a\(3, 3, 5, 5)\); y en\(24 = 27 -3 \ (= 3 \times 3 \times 3 - 3\) cuanto a\(3, 3, 3, 3)\). Entonces uno debería estar buscando formas de explotar otros aspectos aritméticos importantes de\(24\) — en particular, como\(4 \times 6\) y como\(3 \times 8\).

b) i

\(\begin{array} {align} 0 = (4-4) + (4-4); 1 = (4 \div 4) \times (4 \div 4); 2 = (4 \div 4) + (4 \div 4); 3 = (4 + 4 + 4) \div 4; \\ 4 = ((4-4) \times 4) + 4; 5 = (( 4 \times 4) + 4) \div 4); 6 = 4 + ((4 + 4) \div 4); 7 = 4 + 4 - (4 \div 4); \\ 8 = (4 + 4) \times (4 \div 4); 9 = (4+ 4) + (4 \div 4). \end{array}\)

La salida\(10\) parece imposible con las restricciones dadas.

(ii) Con cuadratura y\(\sqrt{\ \ \ \ }\) permitido podemos gestionar\(10 = 4 + 4 + 4 - \sqrt{4}\). En efecto, uno puede inventar todo\(40\) excepto (quizás)\(39\).

15.

a) i\(a^{2} + 2ab + b^{2}; a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)

ii) Susstitúyase\(b\) por\((b)\):\(a^{2} - 2ab + b^{2}; a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\)

b) i\((x +1)^{2}\)

ii)\((x^{2} - 1)^{2}\)

iii)\((x^{2} - 1)^{3}\)

c) i\(a^{2} - b^{2}\)

ii) Susstitúyase\(b\) "" por "\(b+ c\)“:\(a^{2}-(b+c)^{2} = a^{2} - b^{2} - c^{2}- 2bc\)

Susstitúyase\(b\) "" por "\(b- c\)“:\(a^{2}-(b-c)^{2} = a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc\)

(d) Una manera es reescribir esta expresión como una diferencia de dos cuadrados:

\ (\ begin {array} {align} (2x) ^ {2} - (x^ {2} - 2x +1) &= (2x) ^ {2} - (x-1) ^ {2}\\ &= (2x - (x-1)) (2x + (x -1))\\ &= (x +1) (3x -1)
\ end {array}\)

Nota: Como tantas veces, los mensajes aquí son en gran parte implícitos. En la parte (a) (ii) resaltamos explícitamente la intención de usar lo que ya sabes (simplemente sustituyendo "\(-b\)” en lugar de “\(b\)”. En la parte (b), se espera que reconozca (i), y luego vea (ii) y (iii) como variaciones leves en las expansiones de\((a - b)^{2}\) y\((a- b)^{3}\) en parte (a). La parte (c) repite (en silencio) el mensaje de (a) (ii): piensa — no lo saques. Y la parte (d) te anima a estar atento a instancias apenas disfrazadas de “una diferencia de dos cuadrados”.

16.

a) Dígitos finales: “bloque”\(4\),\(6\) de longitud\(2\);

Dígitos iniciales: “bloque”\(4\),\(1\),\(6\),\(2\),\(1\) de longitud\(5\).

b) Reclamación La secuencia de “unidades dígitos” realmente se repite.

Prueba Dada una potencia de\(4\) que tiene unidades dígito\(4\), el algoritmo de multiplicación habitual para multiplicar por\(4\) produce un número con unidades dígito\(6\).

Dada esta nueva potencia de\(4\) con unidades dígito\(6\), el algoritmo de multiplicación habitual para multiplicar por\(4\) produce un número con unidades dígito\(4\).

En esta etapa la secuencia de unidades dígitos inicia un nuevo ciclo.

[Alternativamente: El dígito de unidades es simplemente igual a la potencia relevante de\(4 \ (\text{mod} \ 10)\). Multiplicando por\(4\) cambios\(4\) a\(6 \ (\text{mod} \ 10)\); multiplicando por\(4\) cambios\(6\) a\(4 \ (\text{mod} \ 10)\); — y el ciclo se repite.]

(c) La secuencia de dígitos iniciales parece repetir todos los\(5\) términos, porque\(4^{5} = 2^{10} = 1024\) es casi exactamente igual a\(1000\). Cada vez que avanzamos sobre\(5\) pasos en la secuencia, multiplicamos por\(4^{5} = 1024\). En lo que respecta al dígito principal, esto tiene el mismo efecto que multiplicar el término inicial\((4)\) por un poco más de\(1.024\) (luego agregar cualquier 'acarreo'), lo que es muy parecido a multiplicar por\(1\) — y así no cambia el dígito inicial (todavía).

Sin embargo, cada vez que avanzamos sobre\(10\) pasos en la secuencia, nos multiplicamos por\(4^{10} = 1024^{2} = 1048576\). En lo que respecta al dígito principal, esto tiene el mismo efecto que multiplicar por un poco más de\(1.048576\).

Cuando nos movemos por\(25\) escalones, nos multiplicamos por\(4^{25} = 1125899906842624\). Y en lo que respecta al dígito principal, esto tiene el mismo efecto que multiplicar por un poco más de\(1.12599906842624\). Y así sucesivamente.

Eventualmente, el multiplicador se vuelve lo suficientemente grande como para cambiar uno de los dígitos iniciales.

17. El total es\(100\).

Habiendo encontrado esto por cálculo directo, deberíamos pensar indirectamente y notarlo\(100 = 10^{2}\).

Y entonces deberíamos preguntar: “¿Por qué\(10\)? ¿Qué \(10\)tiene que ver con la tabla \(4 \times\)de multiplicar?”

Una comprobación rápida de la tabla de\(1 \times\) multiplicación (total\(= 1\)), la tabla de\(2 \times\) multiplicación (total\(= 9\)), etc. puede sugerir lo que deberíamos haber visto inmediatamente.

\(\begin{array} {align} \text{The first row has sum:} &&&& \ \ \ \ \ \ \ (1 +2+3+4). \\ \text{The second row has total} &&&& 2 \times (1 +2+3+4). \\ \text{The third row has total} &&&& 3 \times (1 +2+3+4). \\ \text{The fourth row has total} &&&& 4 \times (1 +2+3+4). \end{array} \)

\(\therefore \text{The total is} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1+2+3+4) \times (1+2+3+4) = (1+2+3+4)^{2}\)

19.

(a)\(\sin{45^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos{45^{\circ}}; \tan{45^{\circ}} = 1\)

b)\(AM = \sqrt{3}; \ \sin{30^{\circ}} = \frac{1}{2}, \cos{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan{30^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \ \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos{60^{\circ}} = \frac{1}{2}, \tan{60^{\circ}} = \sqrt{3}\)

c) iii\(\cos{315^{\circ}} = \cos{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \sin{225^{\circ}} = -\sin{45^{\circ}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}; \tan{210^{\circ}} = \tan{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \cos{120^{\circ}} = -\cos{60^{\circ}} = -\frac{1}{2}; \sin{960^{\circ}} = \sin{240^{\circ}} = -\sin{60^{\circ}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}; \tan{(-135^{\circ})} = \tan{45^{\circ}} = 1\)

d) Cortar el\(n\) -gon en\(n\) “rebanadas de pastel” y usar la fórmula “\(\frac{1}{2}ab\sin{C}\)” para cada rebanada.

(i)\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

ii)\(2\)

iii)\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

iv)\(2\sqrt{2}\)

(v)\(3\)

(e) Calcula la longitud lateral del\(n\) -gon, luego corta el\(n\) -gon en\(n\) “rebanadas” y usa la fórmula “\ frac {1} {2} (\ text {base}\ times\ text {height})” para cada rebanada.

(i)\(3\sqrt{3}\)

ii)\(4\)

iii)\(2\sqrt{3}\)

iv)\(8(\sqrt{2} - 1)\)

(v)\(12(2 -\sqrt{3})\)

Nota: Aquí no hay trigonometría oculta: todo lo que necesitas es el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en la parte (e) (iv) podemos extender lados alternos del octágono regular para formar el circunscrito\(2\) por\(2\) cuadrado. Los cuatro triángulos de esquina son triángulos isósceles en ángulo recto con hipotenusa de longitud\(s\) (el lado del octágono). De ahí que cada lado de la plaza sea igual\(s + 2 \cdot \frac{s}{\sqrt{2}} = 2\) a donde\(s = 2(\sqrt{2} -1)\).

20.

(a)\(\sqrt{8}\)

b)\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{2}\)

c)\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\)

21. Construya la perpendicular de\(A\) a\(BC\) (posiblemente extendida); deje que esto se encuentre con la línea\(BC\) en\(X\). Hay cuatro posibilidades:

i) O bien\(X = C\), en cuyo caso\(\angle{BCA}\) es un ángulo recto según se requiera; o\(X = B\), en cuyo caso\(b^{2} = a^{2} + c^{2}\), contradictoria\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\);

ii)\(X \ne B,C\), y\(C\) se encuentra entre\(B\) y\(X\);

iii)\(X \ne B,C\), y\(X\) se encuentra entre\(B\) y\(C\);

(iv)\(X \ne B,C\), y\(B\) se encuentra entre\(X\) y\(C\).

Analizamos el caso (ii) y dejamos los casos (iii) y (iv) al lector.

(ii)\(\triangle{AXC}\) y ambos\(\triangle{AXB}\) son triángulos rectos; así por Teorema de Pitágoras sabemos que

\ (\ begin {array} {align} AC^ {2} &= AX^ {2} + XC^ {2},\ text {y}\\ AB^ {2} &= AX^ {2} + XB^ {2}\\ &= AX^ {2} + (XC + CB) ^ {2}\ &=AX^ {2} + XC^ {2} + CB^ {2} + 2XC\ cdot CB\\ &= AC^ {2} + CB^ {2} + 2XC\ cdot CB
\ end {array}\)

Ya que se nos dice eso\(AC^{2} + CB^{2} = AB^{2}\), se deduce que\(2XC \cdot CB = 0\), contrario a\(X \ne C\).

Nota: Observe que la prueba de lo contrario del Teorema de Pitágoras hace uso del propio Teorema de Pitágoras.

22.

(a)\( c = b+1\), entonces\(a^{2} = c^{2} - b^{2} = 2b + 1\). De ahí\(a\) que sea impar, y podemos escribir\(a = 2m + 1\).

(b) Supongamos que también\(b = 2n-1\) es impar. Entonces\(c^{2} = 4n^{2}\) es divisible por\(4\) — lo que contradice el hecho de que\(b^{2} = 4(n^{2} -n) +1\), y\(a^{2} = 4(m^{2} +m) +1\), así\(a^{2} + b^{2}\) deja resto\(2\) en división por\(4\).

De ahí\(b = 2n\) que sea par y\(c = 2n+1\) es impar. Pero entonces

\((2m + 1)^{2} + (2n)^{2} = a^{2} + b^{2} = c^{2} = (2n +1)^{2}\)

entonces\(4(m^{2} + m) = 4n\), y\(n = m(m+1)\).

23.

(a) Si\(a\) y\(b\) son ambos parejos, entonces\(HCF(a,b) \ne 1\), así el triple no sería primitivo.

Si\(a\) y\(b\) son ambos impares, usamos la idea del Problema 22 (b). Supongamos\(a = 2m +1, \ b = 2n +1\); entonces\(a^{2} = 4(m^{2} + m) +1\), y\(b^{2} = 4(n^{2} + n) +1\), entonces\(a^{2} + b^{2} = 2 \times (2(m^{2} + m + n^{2} +n) +1)\). Pero esto es “dos veces un número impar”, por lo que no puede ser igual a\(c^{2}\) (ya que\(c\) tendría que ser par, y cualquier cuadrado par debe ser un múltiplo de\(4\)).

De ahí que podamos suponer que\(a\) es impar y\(b\) es par: así\(c\) es impar.

(b) Luego\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) rinde\(b^{2} = c^{2} - a^{2} = (c - a)(c +a)\), entonces

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \left( \frac{c -a}{2} \right) \left( \frac{c +a}{2} \right)\)

Cualquier factor común de\(\frac{c+a}{2}\) y\(\frac{c-a}{2}\) divide su suma\(c\) y su diferencia\(a\), entonces\(HCF\left( \frac{c-a}{2}, \frac{c+a}{2}\right) = 1\). Dado que la diferencia de estos dos factores es\(a\), lo cual es impar, tienen paridad opuesta.

(c) Si dos enteros son relativamente primos, y su producto es un cuadrado, entonces cada uno de los factores tiene que ser un cuadrado (considere sus factorizaciones primos). De ahí\(\frac{c+a}{2} = p^2\) y\(\frac{c-a}{2} = q^2\), dónde\(HCF(p,q) = 1\) y\(p\) y\(q\) tienen paridad opuesta.

Por lo tanto

\(c = p^{2} + q^{2}, \ \ \ a = p^{2} - q^{2} , \ \ \ b = 2pq\)

d) Es fácil comprobar que cualquier triple de la forma dada es (i) primitivo, y (ii) satisface\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).