2.4: Pruebas de Divisibilidad
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Un entero escrito en base 10:
- es divisible por 10 precisamente cuando el dígito de las unidades es 0.
Debido a que 10 = 2 × 5, se deduce que un entero (en base 10):
- es divisible por 5 precisamente cuando los dígitos de las unidades son 0 o 5 (es decir, un múltiplo de 5); y
- es divisible por 2 precisamente cuando el dígito de unidades es 0, 2, 4, 6 o 8 (es decir, un múltiplo de 2).
Debido a que 100 = 4 × 25, se deduce que un entero:
- es divisible por 4 precisamente cuando el entero formado por sus dos últimos dígitos es un múltiplo de 4; y
- es divisible por 25 precisamente cuando sus dos últimos dígitos son 00, 25, 50 o 75 (es decir, un múltiplo de 25).
Debido a que 1000 = 8 × 125, se deduce que un entero:
- es divisible por 8 precisamente cuando el entero formado por sus últimos tres dígitos es un múltiplo de 8.
De ahí que las pruebas simples para la divisibilidad por 2, por 4, por 5, por 8 y por 10, todas siguen fácilmente de la forma en que escribimos números en la base 10.
- Demostrar que, cuando se escribe un entero en base 10, el resto cuando se divide por 9 es igual al resto cuando su “suma digital” se divide por 9. Concluir que el resto cuando un entero se divide por 3 es igual al resto cuando su “suma digital” se divide por 3.
- Explica por qué un entero es divisible por 6 precisamente cuando es divisible tanto por 2 como por 3.
- ¿Qué se puede decir de un número entero N que es divisible por tres veces la suma de sus 10 dígitos base?
- Encuentra todos los enteros que son iguales a tres veces la suma de sus 10 dígitos base.
- Encuentra el múltiplo positivo más pequeño de 9 sin dígitos impares.
Demostrar que un entero escrito en base 11 es divisible por diez precisamente cuando su suma digital es divisible por diez.