2.5: Secuencias

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Ya nos hemos reunido

la secuencia de números naturales (1, 2, 3, 4, 5 ... ),
la secuencia de cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, ... ),
la secuencia de cubos (1, 8, 27, 64, 125, ... ),
la secuencia de números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... ),
la secuencia de poderes de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), y la secuencia de poderes de 4 (1, 4, 16, 64, 256,...).

También hemos considerado

la secuencia de unidades dígitos de las potencias de 4 (1, 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, 6, 6) ... ),
la secuencia de dígitos iniciales de las potencias de 4 (1, 4, 1, 6, 2, 1, 4,...).

2.5.1 Números triangulares

Problema 54

a) Evaluar los primeros doce términos de la secuencia de números triangulares:

$\begin{matrix} 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, ..., 1 + 2 + 3 + \dots + 10 + 11 + 12. \end{matrix}$

b) Encontrar y probar una fórmula para el n ^º número triangular

$\begin{matrix} T_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n . \end{matrix}$

c) ¿Qué números triangulares son también (i) poderes de 2? ii) ¿primo? (iii) cuadrados? iv) ¿cubos?

2.5.2 Números de Fibonacci

El sistema numeral hindu-árabe surgió en el Medio Oriente en los ^{^siglos} X y XI. A Fibonacci, también conocido como Leonardo de Pisa, generalmente se le atribuye la introducción de este sistema en Europa alrededor de 1200, especialmente a través de su libro Liber Abaci (1202). Uno de los problemas en ese libro introdujo la secuencia que ahora lleva su nombre.

La secuencia de números de Fibonacci comienza con los términos F _{0 = 0}, F _{1 = 1}, y continúa a través de la relación de recurrencia de Fibonacci:

$\begin{matrix} F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1} . \end{matrix}$

La secuencia se introdujo a través de un curioso problema sobre la cría de conejos; pero hasta el día de hoy sigue apareciendo en muchos rincones inesperados de las matemáticas y sus aplicaciones.

Problema 55

(a) (i) Generar los primeros doce términos de la secuencia de Fibonacci:

$\begin{matrix} F_{0}, F_{1}, ..., F_{11} . \end{matrix}$

(ii) Utilizar esto para generar los primeros once términos de la secuencia de “diferencias” entre números sucesivos de Fibonacci. Luego generar los primeros diez términos de la secuencia de “diferencias entre diferencias sucesivas”.

(iii) Encontrar una expresión para el término m ^º de la k ^ésima secuencia de diferencias.

b) i) Generar los primeros doce términos de la secuencia de poderes de 2:

$\begin{matrix} 2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, ..., 2^{11} . \end{matrix}$

(ii) Utilizar esto para generar los primeros once términos de la secuencia de “diferencias” entre potencias sucesivas de 2. Luego generar los primeros diez términos de la secuencia de “diferencias entre diferencias sucesivas”.

(iii) Encontrar una expresión para el término m ^º de la k ^ésima secuencia de diferencias.

La secuencia de diferencias entre términos sucesivos en la secuencia de números triangulares es solo la secuencia de números naturales (comenzando con 2):

$\begin{matrix} 2, 3, 4, 5, 6, ...; \end{matrix}$ y la secuencia de “segundas diferencias” es entonces constante: $\begin{matrix} 1, 1, 1, 1, 1, ... . \end{matrix}$

Las secuencias de potencias de 2 y los números de Fibonacci se comportan de manera muy diferente a esto, en que tomar diferencias reproduce algo muy parecido a la secuencia inicial. En particular, tomar diferencias nunca puede conducir a una secuencia constante.

Lógicamente los siguientes cuatro problemas deben esperar hasta el Capítulo 6, donde abordamos el delicado asunto de la “prueba por inducción matemática”. Sin embargo, eso nos privaría de la oportunidad de probar el tipo de sorpresas que se encuentran justo debajo de la superficie de la secuencia de Fibonacci, y de experimentar el proceso de entallar nuestro camino hacia una comprensión estructural de los patrones aparentes que emergen. Por supuesto, cada vez que pensamos que hemos logrado adivinar lo que parece ser cierto, nos enfrentamos al reto de la prueba. A quienes aún no han dominado la “prueba por inducción” se les anima a obtener lo que puedan de las soluciones, y a verlo como una introducción informal a las ideas que serán abordadas de lleno en el Capítulo 6.

Problema 56

a) i) Generar la secuencia de sumas parciales de la secuencia de poderes de 2:

$\begin{matrix} 2^{0}, 2^{0} + 2^{1}, 2^{0} + 2^{1} + 2^{2}, 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3}, ... \end{matrix}$

(ii) Demostrar que cada suma parcial es 1 menos que la siguiente potencia de 2.

(b) (i) Generar la secuencia de sumas parciales de la secuencia de Fibonacci:

$\begin{matrix} F_{0}, F_{0} + F_{1}, F_{0} + F_{1} + F_{2}, F_{0} + F_{1} + F_{2} + F_{3}, ... \end{matrix}$

(ii) Demostrar que cada suma parcial es 1 menos que la siguiente pero un número Fibonacci.

El problema 56 b) comienza con la observación de que

$F_{0} + F_{1} = F_{3} - 1$

que es consecuencia de las dos primeras instancias de la relación fundamental de recurrencia

$\begin{matrix} F_{n - 1} + F_{n} = F_{n + 1} \end{matrix}$ y deriva un valor sorprendente para la n ^ésima suma parcial: $\begin{matrix} F_{0} + F_{1} + F_{2} + \dots + F_{n - 1} . \end{matrix}$

Los números de Fibonacci hacen sentir su presencia matemática de una manera tranquila, en parte a través del rango casi espeluznante de relaciones internas inesperadas que satisfacen, como se ilustra en el Problema 56 (b) y en los siguientes problemas.

Problema 57

a) Obsérvese que

$\begin{matrix} F_{n}^{2} = F_{n - 0} F_{n + 0} = F_{n}^{2} + {(- 1)}^{n - 1} F_{0} . \end{matrix}$

i) Evaluar la sucesión de términos:

$\begin{matrix} F_{1 - 1} F_{1 + 1}, F_{2 - 1} F_{2 + 1}, F_{3 - 1} F_{3 + 1}, F_{4 - 1} F_{4 + 1}, ... . \end{matrix}$

(ii) Adivina una expresión más simple para el producto $F_{n - 1} F_{n + 1}$ . Demuestra que tu conjetura es correcta.

b) Dejar $a, b, c, d \geq 0$ .

(i) Demostrar que el paralelogramo OABC abarcado por el origen O, y los puntos $A = (a, b), C = (c, d)$ y su suma $B = (a + c, b + d)$ cuenta con área $| a d - b c |$ .

(ii) Encontrar el área del primer paralelogramo en la secuencia de “paralelogramos de Fibonacci”, abarcada por el origen O, y los puntos $A = (F_{0}, F_{1}) = (0,1)$ , $C = (F_{1}, F_{2}) = (1,1)$ .

(iii) Mostrar que el ^enésimo paralelogramo OACB en esta secuencia, abarcado por el origen O, y los puntos $A = (F_{n - 1}, F_{n})$ y $B = (F_{n}, F_{n + 1})$ , y el ${(n + 1)}^{th}$ paralelogramo OBDC abarcado por el origen O, y los puntos $B = (F_{n}, F_{n + 1})$ y $C = (F_{n + 1}, F_{n + 2})$ se superponen en el triángulo OBC, que es exactamente la mitad de cada paralelogramo.

Concluir que cada paralelogramo de este tipo tiene área 1. Relacionar esto con la conclusión de (a) (ii).

La relación de recurrencia básica para los números de Fibonacci especifica el siguiente término como la suma de dos términos sucesivos. Consideramos ahora lo que esto implica sobre la suma de los cuadrados de dos términos sucesivos.

Problema 58

a) Evaluar los primeros términos de la secuencia

$\begin{matrix} F_{0}^{2} + F_{1}^{2}, F_{1}^{2} + F_{2}^{2}, F_{2}^{2} + F_{3}^{2}, ... . \end{matrix}$

(b) Adivina una expresión más simple para la suma $F_{n - 1}^{2} + F_{n}^{2}$ . Demuestra que tu conjetura es correcta.

Problema 59

a) Obsérvese que

$F_{0} F_{4} = 0 = F_{2}^{2} - 1, F_{1} F_{5} = 5 = F_{3}^{2} + 1.$

i) Evaluar la sucesión de términos:

$\begin{matrix} F_{2 - 2} F_{2 + 2}, F_{3 - 2} F_{3 + 2}, F_{4 - 2} F_{4 + 2}, F_{5 - 2} F_{5 + 2}, F_{6 - 2} F_{6 + 2}, ... . \end{matrix}$

(ii) Adivina una expresión más simple para el producto $F_{n - 2} F_{n + 2}$ . Demuestra que tu conjetura es correcta.

b) i) Evaluar la sucesión de términos:

$\begin{matrix} F_{3 - 3} F_{3 + 3}, F_{4 - 3} F_{4 + 3}, F_{5 - 3} F_{5 + 3}, F_{6 - 3} F_{6 + 3}, ... . \end{matrix}$

(ii) Adivina una expresión más simple para el producto $F_{n - 3} F_{n + 3}$ . Demuestra que tu conjetura es correcta.