2.7: Expansiones decimales infinitas

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Los algoritmos escritos estándar para calcular con números enteros se extienden naturalmente a los decimales de terminación. Pero, ¿cómo se supone que se debe calcular exactamente con decimales que suceden para siempre?

Problema 64 Los decimales enumerados aquí continúan todos para siempre, recurrentes de la manera esperada. Calcular:

(a) $0.55555 \dots + 0.66666 \dots =$

b) $0.99999 \dots + 0.11111 \dots =$

c) $1.11111 \dots - 0.22222 \dots =$

d) $0.33333 \dots \times 0.66666 \dots =$

e) $1.22222 \dots \times 0.818181 \dots =$

Problema 65

(a) Demostrar que cualquier decimalb n b n- 1 ⋯ b 0 . b -1 b -2 ⋯ b - k que termina se puede escribir como una fracción con denominador una potencia de 10.

(b) Demostrar que cualquier fracción que sea equivalente a una fracción con denominador una potencia de 10 tiene un decimal que termina.

c) Concluir que una fracción $\frac{p}{q}$ , para lo cual HCF (p, q) = 1, tiene un decimal que termina precisamente cuando q divide alguna potencia de 10 (es decir, cuando $q = 2^{a} \times 5^{b}$ para algunos números enteros no negativos a, b).

d) Demostrar que cualquier fracción $\frac{p}{q}$ , para lo cual HCF (p, q) = 1, y donde q no es de la forma $q = 2^{a} \times 5^{b}$ , tiene un decimal que se repite, con un bloque recurrente de longitud como máximo q — 1.

e) Demostrar que cualquier decimal que recurra es el decimal de alguna fracción.

Problema 66

(a) Encontrar la fracción equivalente a cada uno de estos decimales recurrentes:

(i) 0.037037037···

(ii) 0.370370370 ···

(iii) 0.703703703 ···

b) Que a, b, c sean dígitos ( $0 \leq a, b, c \leq 9$ ).

(i) Escribir el decimal recurrente “0 .aaaaa · · · “como fracción.

(ii) Escribir el decimal recurrente “0 .ababababab · · · “como fracción.

(iii) Escribir el decimal recurrente “0 .abcabcabcabcabc · · · “como fracción.

Problema 67 Encuentra las longitudes de los bloques recurrentes para:

(a) $\frac{1}{6}, \frac{5}{6}$

b) $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$

c) $\frac{1}{11}, \frac{2}{11}, \frac{3}{11}, \frac{4}{11}, \frac{5}{11}, \frac{6}{11}, \frac{7}{11}, \frac{8}{11}, \frac{9}{11}, \frac{10}{11}$

d) $\frac{1}{13}, \frac{2}{13}, \frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}, \frac{9}{13}, \frac{10}{13}, \frac{11}{13}, \frac{12}{13}$

Problema 68 Decidir si cada uno de estos números tiene un decimal que se repite. Demostrar cada reclamo.

(a) $0.12345678910111213141516171819202122232425262728293031 \dots$

b) $0.100100010000100000100000010000000100000000100000000010 \dots$

c) $\sqrt{2}$

Problema 69 ¿Para qué números reales x es única la representación decimal de x?

El problema 68 plantea la cuestión de si una persona, que tiene el control total, puede especificar los dígitos de un decimal para asegurarse de que no termina ni se repite: es decir, para que represente un número irracional. El siguiente problema se pregunta si una persona puede lograr el mismo resultado con menos control sobre la elección de los dígitos.

Problema 70 Los jugadores A y B especifican un número real entre 0 y 1. El primer jugador A intenta asegurarse de que el número resultante sea racional; el segundo jugador B intenta asegurarse de que el número resultante sea irracional. En cada uno de los siguientes escenarios, decidir si alguno de los jugadores tiene una estrategia que garantice el éxito.

(a) ¿Puede alguno de los jugadores garantizar una “victoria” si los dos jugadores se turnan para especificar dígitos sucesivos: primero A elige la entrada en el primer decimal, luego B elige la entrada en el segundo decimal, luego A elige la entrada en el tercer decimal, y así sucesivamente?

(b) ¿Puede alguno de los jugadores garantizar una victoria si A elige los dígitos para ir en los lugares impares y (completamente por separado) B elige los dígitos para ir en los lugares pares?

(c) ¿Y si A elige los dígitos que van en casi todos los lugares, pero permite que B elija los dígitos que van a ir en una colección infinita dispersa de decimales (por ejemplo, las posiciones numeradas en primer orden; o las posiciones numeradas por las potencias de 2; o...)?

d) ¿Qué pasa si A controla la elección de todos menos un número finito de dígitos decimales?