2.6: Leyes conmutativas, asociativas y distributivas

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En esta breve sección volvemos a hacer hincapié en el desplazamiento del cálculo ciego, y hacia la consideración de la estructura de la aritmética, que ya estaba implícita en los Problemas 7 — 10, y Problemas 16 — 17 en el Capítulo 1.

Problema 60 Cada uno de los dos números positivos a y b se incrementa en 10%.

(i) Cuál es el cambio de su suma $a + b$ ?

(ii) Cuál es el cambio porcentual de su producto $a \times b$ ?

iii) Cuál es el cambio porcentual en su cociente $\frac{a}{b}$ ?

Problema 61 Los números a, b, c, d, e, f son positivos. ¿Cómo será el valor de la expresión

$\begin{matrix} a \div (b \div (c \div (d \div (e \div f)))) \end{matrix}$

cambiar si el valor de f se duplica?

Problema 62 En el Problema 17 vimos que no es casualidad que la suma de entradas en la 'tabla de multiplicación' 4 por 4 sea igual a 100.

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{matrix} \end{matrix}$

a) Volver a la prueba de que el total es igual a ${(1 + 2 + 3 + 4)}^{2}$ y ver cómo esto depende de la ley distributiva.

(b) El total de todas las entradas en el cuadrado de multiplicación se puede dividir en una sucesión de “formas en L inversas”, como la formada por la fila inferior y la columna derecha (mostrada arriba en negrita).

(i) Trabajar el subtotal en cada una de las cuatro formas de L inversas en la tabla de multiplicación de 4 por 4. ¿Qué nota de estos cuatro subtotales?

ii) Utilizar las fórmulas para los k ^th y (k — 1) ^th números triangulares T _k y T _k - ₁ para probar que, en la tabla de multiplicación n por n, el k ^th reverso en forma de L siempre da lugar a un subtotal k ³.

Concluir que

$\begin{matrix} T_{n}^{2} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} . \end{matrix}$

De ahí encontrar una fórmula simple para la suma C _n de los primeros n cubos.

Ahora que tenemos una fórmula compacta

para la suma T _n de los primeros n enteros positivos, y
para la suma C n de los primeros n cubos positivos,

naturalmente, nos gustaría encontrar una fórmula similar

(es decir, la suma de las entradas en la diagonal inicial del cuadrado de multiplicación n por n).

Esto puede ser sorprendentemente esquivo. Pero una forma de obtenerlo es buscar en cambio la suma de las entradas en la diagonal inclinada 2, 6, 12, 20,... justo por encima de la diagonal principal en el cuadrado de multiplicación n por n.

Problema 63 Considera el cuadrado de multiplicación n por n.

(a) Expresar el término r ^ésimo en la diagonal inclinada justo por encima de la diagonal principal en términos de r. De ahí mostrar que la suma de entradas en esta diagonal inclinada es igual a $S_{n - 1} + T_{n - 1}$ .

(b) Multiplicar por 3 cada uno de los términos en la diagonal inclinada justo por encima de la diagonal principal.

(i) Adivina una fórmula para las sumas sucesivas de estos términos (6, 6 + 18, 6 + 18 + 36,...), y demostrar que tu fórmula es correcta.

ii) De ahí derivar una fórmula para la suma $S_{n}$ de los primeros n cuadrados.