4.1: Ecuaciones lineales simultáneas y simetría

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Problema 92 Papá llevó a nuestro nuevo bebé a la clínica para que lo pesaran. Pero el bebé no se quedaría quieto y provocó que la aguja en la balanza se tambaleara. Por lo que papá sostuvo al bebé quieto y se paró en la balanza, mientras que la enfermera leyó su peso combinado: 78kg. Entonces la enfermera sostuvo al bebé, mientras papá leía su peso combinado: 69kg. Por último papá sostuvo a la enfermera, mientras el bebé leía su peso combinado: 137kg. ¿Qué tan pesado era el bebé?

La situación descrita en el Problema 92 es representativa de toda una clase de problemas, donde la información dada incorpora una cierta simetría, que sería prudente respetar el solucionador. De ahí que uno deba dudar antes de aplicar la fuerza bruta sistemática (como cuando se usa la información de un pesaje para sustituir a uno de los tres pesos desconocidos, movimiento que efectivamente reduce el número de incógnitas, pero que no respeta la simetría en los datos).

Una situación similar surge en ciertos acertijos como los siguientes.

Problema 93 Los números son asignados (secretamente) a los vértices de un polígono. A continuación, cada borde del polígono se etiqueta con la suma de los números en sus dos vértices finales.

(a) Si el polígono es un triángulo ABC, y las etiquetas en los tres lados son c (en AB), b (en AC) y a (en BC), ¿cuáles fueron los números escritos en cada uno de los tres vértices?

(b) Si el polígono es un cuadrilátero ABCD, y las etiquetas en los cuatro lados son w (en AB), x (en BC), y (en CD) y z (en DA), ¿qué números se escribieron en cada uno de los cuatro vértices?

(c) el polígono es un pentágono ABCDE, y las etiquetas en los cinco lados son d (en AB), e (en BC), a (en CD), b (en DE) y c (en EA), qué números se escribieron en cada uno de los cinco vértices?

En caso de que algún lector se incline a descartar problemas como los “acertijos artificiales”, puede ayudar recordar dos instancias familiares (Problemas 94 y 96) que dan lugar precisamente a la situación anterior.

Problema 94 En el triángulo ABC con lados de longitudes a (opuesto A), b (opuesto B) y c (opuesto a C), queremos ubicar los tres puntos donde el círculo toca los tres lados - en punto P (en BC), Q (en CA) y R (en AB). Para ello, dejemos que las dos tangentes al círculo de A (a saber, AQ y AR) tengan longitud x, las dos tangentes de B (es decir BP y BR) tengan longitud y, y las dos tangentes de C (concretamente CP y CQ) tienen longitud z. Encuentra los valores de x, y, z en términos de a, b, c.

La segunda instancia nos obliga primero a revisar las propiedades básicas de los puntos medios en términos de vectores.

Problema 95

(a) Anote las coordenadas del punto medio M del segmento de línea uniendo Y = (a, b) y Z = (c, d). Justifica tu respuesta.

(b) Posicionar un triángulo general XYZ de manera que el vértice X se encuentre en el origen (0,0). Supongamos que Y entonces tiene coordenadas (a, b) y Z tiene coordenadas (c, d). Sea M el punto medio de XY y N sea el punto medio de XZ. Demostrar el teorema del punto medio, es decir que

“MN es paralelo a YZ y la mitad de su longitud”.

(c) Dado cualquier ABCD cuadrilátero, que P sea el punto medio de AB, que Q sea el punto medio de BC, que R sea el punto medio de CD y que S sea el punto medio de DA. Demostrar que PQRS es siempre un paralelogramo.

Problema 96

(a) Supongamos que conoce los vectores de posición p, q, r correspondientes a los puntos medios de los tres lados de un triángulo. ¿Se pueden reconstruir los vectores x, y, z correspondientes a los tres vértices?

(b) Supongamos que conoce los vectores p, q, r, s correspondientes a los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrilátero. ¿Se pueden reconstruir los vectores w, x, y, z correspondientes a los cuatro vértices?

(c) Supongamos que conoce los vectores p, q, r, s, t correspondientes a los puntos medios de los cinco lados de un pentágono. ¿Se pueden reconstruir los vectores v, w, x, y, z correspondientes a los cinco vértices?

Los cinco problemas anteriores exploran un tema estructural común, a saber, el vínculo entre ciertas sumas (o promedios) y los datos originales, posiblemente desconocidos. Sin embargo, este vínculo algebraico estaba en todos los casos incrustado en algún contexto práctico o geométrico. Los siguientes problemas han sido despojados de cualquier contexto, dejándonos libres para enfocarnos en la estructura subyacente en un espíritu puramente algebraico, o aritmético.

Problema 97 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas.

(a) (i) x + y = 1, y + z = 2, x + z = 3

(ii) uv = 2, vw = 4, uw = 8

(b) (i) x + y = 2, y + z = 3, x + z = 4

(ii) uv = 6, vw = 10, uw = 15

(iii) uv = 6, vw = 10, uw = 30

(iv) uv = 4, vw = 8, uw = 16

Problema 98 Usa lo que sabes sobre resolver dos ecuaciones lineales simultáneas en dos incógnitas para construir la solución positiva general al sistema de ecuaciones:

$u^{a} v^{b} = m, u^{c} v^{d} = n .$

Interpreta tu resultado en el lenguaje de la Regla de Cramer. (Gabriel Cramer (1704—1752)).

Problema 99

(a) ¿Para qué valores b, c tiene una solución única el siguiente sistema de ecuaciones?

$x + y + z = 3, x y + y z + z x = b, x^{2} + y^{2} + z^{2} = c$

(b) ¿Para qué valores a, b, c tiene una solución única el siguiente sistema de ecuaciones?

$x + y + z = a, x y + y z + z x = b, x^{2} + y^{2} + z^{2} = c$