4: Álgebra

La primera regla del retoque inteligente es guardar todas las partes.

Paul R. Ehrlich (1932—)

Muchos aspectos importantes de las matemáticas serias tienen sus raíces en el mundo de la aritmética. Sin embargo, cuando implementamos un procedimiento aritmético combinando números con significados muy diferentes para producir una sola salida numérica, se vuelve casi imposible ver cómo los ingredientes separados contribuyen a la respuesta final. Es decir, calcular exclusivamente con números contraviene la “primera regla de retoques inteligentes” de Paul Ehrlich. Es por ello que en los Capítulos 1 y 2 destacamos la necesidad de ir más allá del cálculo ciego, y de comenzar a pensar estructuralmente -incluso al calcular puramente con números. El álgebra puede verse como una forma notable de “juguetear con los números”, para que no sólo “mantengamos todas las partes”, sino que logremos mantenerlas separadas (dándoles diferentes nombres), y de ahí podemos ver claramente qué contribución hace cada variable de ingrediente a la salida final. Para beneficiarnos de esta característica del álgebra, necesitamos aprender a “leer” expresiones algebraicas, y a interpretar lo que nos están diciendo -de la misma manera que aprendemos a leer números (para que, en su caso, 100 se vea como 10 ², y 10 se vea como 1 + 2 + 3 + 4).

Antes de que se inventara el álgebra propiamente dicha (alrededor de 1600), la capacidad de extraer el cuadro general que yacía oculto dentro de cada cálculo estaba restringida a especialistas. Los antiguos babilonios (1700—1500 a.C.) describieron sus procedimientos generales como recetas, presentadas en el contexto de problemas que involucran números particulares. Pero lo hicieron de tal manera que demostraran de manera convincente que quien formulara el procedimiento había logrado ver “lo general en lo particular”. Los antiguos griegos utilizaron un entorno geométrico para revelar generalidad, y codificaron lo que veríamos como métodos “algebraicos” en el lenguaje geométrico. En el ^{siglo IX} d.C., árabes como Al-Khwarizmi (c.780—c.850), lograron encapsular la generalidad utilizando un tipo de álgebra muy limitado, sin el lenguaje simbólico completo que surgiría después. Los abacistas, como Paolo dell'Abbaco (1282—1374) que figuraba en el Capítulo 3, vieron claramente que el poder y el espíritu de las matemáticas estaban enraizados en esta generalidad. Pero el simbolismo algebraico moderno -en particular, la idea de que para expresar generalidad necesitamos usar letras para representar no solo variables, sino también parámetros importantes (como los coeficientes a, b, c en un hacha cuadrática general ² + bx + c) - tuvo que esperar los inescrutables escritos de Viète (1540—1603), y especialmente a Fermat (1601—1665) y Descartes (1596—1650) que simplificaron y ampliaron las ideas de Viète en la década de 1630.

Dentro de una generación, el enorme potencial de este uso sistemático de los símbolos fue revelado por los triunfos de Newton (1642—1727), Leibniz (1646—1716), y otros en los años anteriores a 1700. Posteriormente, los refinamientos propuestos por Euler (1707—1783) en sus numerosos escritos a lo largo del ^siglo XVIII, hicieron que este nuevo lenguaje y sus descubrimientos fueran accesibles para todos nosotros, al igual que la versión de Stevin (1548—1620) del valor posicional para números hizo que el cálculo fuera accesible para Everyman.

Nuestra cobertura del álgebra es necesariamente selectiva. Nos enfocamos en algunas ideas que se necesitan en lo que sigue, y que idealmente deberían ser familiares, pero con un énfasis que puede ser menos familiar. Cuando se trabaja algebraicamente, los mensajes matemáticos clave están en su mayoría implícitos en las propias manipulaciones. De ahí que muchos de los comentarios adicionales de este capítulo se encuentren como parte de las soluciones, más que dentro del texto principal.