4.2: Desigualdades y módulo

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La transición de la matemática escolar a la universitaria está marcada en muchos sentidos por un cambio de variables simples, ecuaciones y funciones, a condiciones y análisis que involucran desigualdades y módulo.

Problema 100 ¿Qué es | − x | igual a: x o − x? (¿Y si x es negativo?)

4.2.1 Interpretación geométrica del módulo, de las desigualdades y de las desigualdades de módulo

Problema 101

a) Marcar en la línea de coordenadas todos aquellos puntos x en el intervalo [0,1) que tengan el dígito “1” inmediatamente después del punto decimal en su expansión decimal. ¿Qué fracción del intervalo [0,1) has marcado?

Nota: “[0,1)” denota el conjunto de todos los puntos entre 0 y 1, junto con 0, pero sin incluir 1. [0,1] denota el intervalo incluyendo ambos puntos finales; y (0,1) denota el intervalo excluyendo ambos extremos.

b) Marcar en el intervalo [0,1) todos aquellos puntos x que tengan el dígito “1” en al menos un decimal. ¿Qué fracción del intervalo [0,1) has marcado?

c) Marcar en el intervalo [0,1) todos aquellos puntos x que tengan un dígito “1” en al menos una posición de su expansión base 2. ¿Qué fracción del intervalo [0,1) has marcado?

d) Marcar en el intervalo [0,1) todos aquellos puntos x que tengan un dígito “1” en al menos una posición de su expansión base 3. ¿Qué fracción del intervalo [0,1) has marcado?

Problema 102 Marcar en la línea de coordenadas todos aquellos puntos x para los cuales dos de las siguientes desigualdades son verdaderas, y cinco son falsas:

$x > 1, x > 2, x > 3, x > 4, x > 5, x > 6, x > 7 .$

Problema 103 Marcar en la línea de coordenadas todos esos puntos x para los cuales

$| x - 5 | = 3.$

Problema 104

a) Marcar en la línea de coordenadas todos aquellos puntos x para los cuales dos de las siguientes desigualdades son verdaderas, y cinco son falsas:

$| x | > 1, | x | > 2, | x | > 3, | x | > 4, | x | > 5, | x | > 6, | x | > 7.$

b) Marcar en la línea de coordenadas todos aquellos puntos x para los cuales dos de las siguientes desigualdades son verdaderas y cinco son falsas:

$| x - 1 | > 1, | x - 2 | > 2, | x - 3 | > 3, | x - 4 | > 4, | x - 5 | > 5, | x - 6 | > 6, | x - 7 | > 7.$

Problema 105 Marcar en la línea de coordenadas todos esos puntos x para los cuales

$| x + 1 | + | x + 2 | = 2.$

Problema 106 Encuentra los números a y b con la propiedad que el conjunto de soluciones de la desigualdad

$| x - a | < b$

consiste en el intervalo (−1, 2).

Problema 107

(a) Marcar en el plano de coordenadas todos los puntos (x, y) que satisfagan la desigualdad

$| x - y | < 3.$

(b) Marcar en el plano de coordenadas todos los puntos (x, y) que satisfagan la desigualdad

$| x - y + 5 | < 3.$

$| x - y | < | x + y | .$

4.2.2 Desigualdades

Problema 108 Supongamos que los números reales a, b, c, d satisfacen $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ .

i) Demostrar que

$\frac{a}{b} < \frac{(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})}{2} < \frac{c}{d} .$

ii) Si b, d > 0, demostrar que

$\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d} .$

Problema 109 (Serie Farey) Cuando las fracciones totalmente canceladas en [0,1] con denominador ≤ n están dispuestas en orden creciente, el resultado se denomina serie Farey (o secuencia Farey) de orden n.

Orden 1: $\frac{0}{1} < \frac{1}{1}$

Orden 2: $\frac{0}{1} < \frac{1}{2} < \frac{1}{1}$

Orden 3: $\frac{0}{1} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{1}{1}$

Orden 4: $\frac{0}{1} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{1}{1}$

a) Anote la serie (o secuencia) completa de Farey del orden 7.

b) i) Imagínese los puntos 0.1, 0.2,0.3,..., 0.9 dividiendo el intervalo [0,1] en diez subintervalos de longitud $\frac{1}{10}$ . Ahora inserte los ocho puntos correspondientes a

$\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, ..., \frac{8}{9} .$

¿En cuál de los diez subintervalos caen?

(ii) Imagínese los n puntos

$\frac{1}{n + 1}, \frac{2}{n + 1}, \frac{3}{n + 1}, ..., \frac{n}{n + 1}$

dividiendo el intervalo [0,1] en n + 1 subintervalos de longitud $\frac{1}{n + 1}$ . Ahora inserte el n − 1 puntos

$\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, ..., \frac{n - 1}{n} .$

¿En cuál de los subintervalos n + 1 caen?

(iii) Al pasar de la serie Farey de orden n a la serie Farey de orden n + 1, insertamos fracciones de la forma $\frac{k}{n + 1}$ entre ciertos pares de fracciones adyacentes en la serie Farey de orden n. Si $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ son fracciones adyacentes en la serie Farey de orden n, prueban que, al sumar fracciones para la serie Farey de orden n + 1, a lo sumo se inserta una fracción entre $\frac{a}{b} a n d \frac{c}{d}$ .

c) Nota: Vale la pena luchar para probar los dos resultados en la parte c). Pero no se sorprenda si demuestran ser esquivos —en cuyo caso, estar preparados para simplemente usar el resultado de la parte c) ii) para resolver la parte d).

(i) En la serie Farey de orden n las dos primeras fracciones son $\frac{0}{1} < \frac{1}{n}$ , y las dos últimas fracciones son $\frac{n - 1}{n} < \frac{1}{1}$ . Demostrar que todos los demás pares adyacentes de fracciones $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ en la serie Farey de orden n satisface bd > n.

ii) Dejar $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ ser fracciones adyacentes en la serie Farey de orden n. Demostrar (por inducción en n) que bc − ad = 1.

d) Demostrar que si

$\frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{e}{f}$

son tres términos sucesivos en cualquier serie de Farey, entonces

$\frac{c}{d} = \frac{a + e}{b + f} .$

Problema 110 Resuelve las siguientes desigualdades.

(a) $x + \frac{1}{x} < 2$

b) $x ⩽ 1 + \frac{2}{x}$

c) $\sqrt{x} < x + \frac{1}{4}$

Problema 111

a) La suma de dos números positivos equivale a 5. ¿Su producto puede ser igual a 7?

(b) (Media aritmética, Media geométrica, media armónica, media cuadrática) Demostrar que, si a, b > 0, entonces

$\begin{array}{l} \frac{2}{[\frac{1}{a} + \frac{1}{b}]} = \frac{2 a b}{a + b} ⩽ \sqrt{a b} ⩽ \frac{a + b}{2} ⩽ \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \\ (HM ⩽ GM ⩽ AM ⩽ QM) \end{array}$

Problema 112 Los doscientos números

$1, 2, 3, 4, 5, ..., 200$

están escritos en la pizarra. Alumnos se turnan para sustituir dos números a, b de la lista actual por su suma dividida por $\sqrt{2}$ . Eventualmente queda un número en el tablero. Demostrar que el número final debe ser menor a 2000.