4.7: Comentarios y soluciones

92. Respuesta: Dejando de lado el humor, esta es una situación común.

Sabemos$d+b$,$n+b$,$d+n$, en lugar de los valores de d, b, n.

La clave es explotar la simetría en los datos dados, en lugar de resolverlos ciegamente. Agregar los tres totales bidireccionales da$2(d+b+n)=284$de donde$d+b+n=142$. Entonces podemos restar el valor dado de$d+n=137$para obtener el valor de$b=5$.

93.

(a) Que los números en los tres vértices sean A, B, C. Agregar muestra que

a + b + c = 2 (A + B + C)

por lo

$$\begin{array}{c}A=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{a+b+c}{2}-(B+C)=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{b+c-a}{2}\hfill \end{array}$$

etc.

(c) Nota: Posponemos la “solución” de la parte (b), y abordamos primero la parte (c). Que los números en los cinco vértices sean A, B, C, D, E. Agregar muestra que

$$\begin{array}{c}d+e+a+b+c=2(A+B+C+D+E)\hfill \end{array}$$

por lo

$$\begin{array}{c}\mathit{A}=\frac{\mathit{d}+\mathit{e}+\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}-(\mathit{B}+\mathit{C})-(\mathit{D}+\mathit{E})\hfill \\ =\frac{\mathit{d}-\mathit{e}-\mathit{a}-\mathit{b}-\mathit{c}}{2}\hfill \end{array}$$

etc.

b) La segunda parte es diferente. Los cuatro valores de borde dados no determinan los cuatro valores de vértice desconocidos. Puede parecer que cuatro piezas de información deberían bastar para encontrar cuatro incógnitas; pero hay una captura: la suma de los números en los dos bordes opuestos AB y CD es solo la suma de los números en los cuatro vértices, y así es igual a la suma de los números en los bordes BC y DA. De ahí que uno de los valores de borde dados sea determinado por los otros tres.

Nota: Esta distinción entre polígonos con un número impar y par de vértices surgiría exactamente de la misma manera si cada arista estuviera etiquetada con el promedio (“la mitad de la suma”) de los números en sus dos vértices finales.

94. $a=BC=BP+PC=y+z$;$b=x+z$;$c=x+y$. De ahí

$$a+b+c=2(x+y+z)$$

por lo

$$\mathit{x}+\mathit{y}+\mathit{z}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}.$$

Entonces

$$\begin{array}{c}\mathit{x}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}-(\mathit{y}+\mathit{z})\hfill \\ =\frac{\mathit{b}+\mathit{c}-\mathit{a}}{2}\hfill \end{array}$$

etc.

95.

(a) Dejar

$$\mathit{M}=\left(\frac{\mathit{a}+\mathit{c}}{2},\frac{\mathit{b}+\mathit{d}}{2}\right).$$

El desplazamiento, o vector, de (a, b) a (c, d) va

“a lo largo de c — a en la dirección x” y “arriba d — b en la dirección y”.

Dibuja la ordenada a través de Y y la abscisa a través de Z, para encontrarse en P, creando así un triángulo en ángulo recto con patas Y P de longitud$|c-a|$y PZ de longitud$|d-b|$. El punto medio de Y P claramente se encuentra a mitad de camino a lo largo de Y P en

$$\mathit{S}=\left(\mathit{a}+\frac{\mathit{c}-\mathit{a}}{2},\mathit{b}\right)$$

y el punto medio de PZ claramente se encuentra a mitad de camino hacia arriba de PZ en

$$\mathit{T}=\left(\mathit{c},\mathit{d}-\frac{\mathit{d}-\mathit{b}}{2}\right).$$

Entonces$\mathrm{∆}\mathit{YSM}$y$\mathit{D\; MTZ}$son ambos triángulos en ángulo recto y son congruentes (por congruencia RHS). De ahí$YM=MZ$, por lo que M es el punto medio de Y Z.

b)

$$\mathit{M}=\left(\frac{\mathit{a}}{2},\frac{\mathit{b}}{2}\right),\mathit{N}=\left(\frac{\mathit{c}}{2},\frac{\mathit{d}}{2}\right)$$

vector

$$\mathit{MN}=\left(\frac{\mathit{c}-\mathit{a}}{2},\frac{\mathit{d}-\mathit{b}}{2}\right)=\frac{1}{2}\mathit{BC}.$$

(c) Nota: Utilizamos el resultado de la parte (b), pero no el método de la parte (b). Por parte (b) aplicada a$\mathit{D\; BAC}$, PQ es la mitad de la longitud de CA y paralelo a CA. Por parte (b) aplicada a$\mathit{D\; DAC}$, SR es la mitad de la longitud de CA y paralelo a CA. De ahí que PQ sea paralelo a SR.

Del mismo modo, se puede probar (aplicando la parte b) dos veces, primero a$\mathit{D}$, y luego$\mathit{D\; CBD}$) que PS es paralelo a QR.

De ahí que el PQRS sea un paralelogramo.

96.

(a)$\mathrm{p}=\frac{1}{2}(\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{),}\mathrm{q}=\frac{1}{2}(\mathrm{y}+\mathrm{z}\mathrm{),}\mathrm{r}=\frac{1}{2}(\mathrm{z}+\mathrm{x})$, entonces

$$\begin{array}{c}\mathrm{p\; +\; q\; +\; r\; =\; x\; +\; y\; +\; z.}\hfill \end{array}$$

De ahí

$$\begin{array}{c}\mathrm{x}=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})-(\mathrm{y}+\mathrm{z})=\mathrm{p}-\mathrm{q}+\mathrm{r}\hfill \\ \mathrm{y}=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})-(\mathrm{x}+\mathrm{z})=\mathrm{p}+\mathrm{q}-\mathrm{r}\hfill \\ \mathrm{z}=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})-(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{q}+\mathrm{r}-\mathrm{p}.\hfill \end{array}$$

b)

$$\mathrm{p}=\frac{1}{2}(\mathrm{w}+\mathrm{x}\mathrm{),}\mathrm{q}=\frac{1}{2}(\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{),}\mathrm{r}=\frac{1}{2}(\mathrm{y}+\mathrm{z}\mathrm{),}\mathrm{s}=\frac{1}{2}(\mathrm{z}+\mathrm{w})$$

por lo

$$\begin{array}{c}\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}+\mathrm{s}=\mathrm{w}+\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}.\hfill \end{array}$$

De ahí

$$\mathrm{w}=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}+\mathrm{s})-(\mathit{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\mathrm{);}$$

pero no hay manera obvia de precisar (x + y + z).

De hecho, diferentes cuadriláteros pueden dar lugar a los mismos cuatro “puntos medios”. (Es un ejercicio interesante para identificar la familia de cuadriláteros correspondientes a un conjunto dado de cuatro medios puntos.)

c) Como en las partes a) y b),

$$p=\frac{1}{2}(v+w),q=\frac{1}{2}(w+x),r=\frac{1}{2}(x+y),s=\frac{1}{2}(y+z),t=\frac{1}{2}(z+v)$$

De ahí

$$p+q+r+s+t=v+w+x+y+z$$

por lo

$$\begin{array}{l}v=(p+q+r+s+t)-(w+x)-(y+z)=p-q+r-s+t\\ w=(p+q+r+s+t)-(x+y)-(z+v)=p+q-r+s-t\\ x=(p+q+r+s+t)-(v+w)-(y+z)=-p+q+r-s+t\\ y=(p+q+r+s+t)-(w+x)-(z+v)=p-q+r+s-t\\ z=(p+q+r+s+t)-(v+w)-(x+y)=-p+q-r+s+t\end{array}$$.

97.

(a) (i) Como en Problemas 93 - 95 añadimos instintivamente para obtener

$$2(x+y+z)=6$$

por lo

$$x+y+z=3.$$

De ahí

$$\begin{array}{l}x=3-(y+z)=1\\ y=3-(x+z)=0\\ z=3-(x+y)=2.\end{array}$$

(ii) La misma idea (sustituir la suma por la multiplicación) lleva a

$$2\times 4\times 8=64=uv\cdot vw\cdot wu={(}^{}$$uvw) 2

por lo$$uvw=±8. De ahí

$$\begin{array}{l}u=\end{array}$$uvw vw = ±8 4 =±2 v= uvw uw = ±8 8 =±1 w= uvw uv = ±8 2 =±4.

$\therefore (u,v,w)=(2,1,4)or(-2,-1,-4).$

Nota: Alternativamente, podemos notar que u, v, w son todos positivos o todos negativos. Si restringimos en primera instancia a soluciones puramente positivas, entonces podemos establecer u = 2 ^x, v = 2 ^y, w = 2 ^z, traducir (ii) en (i), y concluir que (x, y, z) = (1, 0, 2), de modo que (u, v, w) = (2, 1, 4 ). Debemos entonces recordar la solución negativa (u, v, w) = (−2, −1, −4).

(b) (i) Como en (a) (i) agregamos para obtener 2 (x + y + z) = 9, entonces$x+y+z=\frac{9}{2}$. De ahí

$$\begin{array}{l}x=\frac{9}{2}-(y+z)=\frac{3}{2}\\ y=\frac{9}{2}-(x+z)=\frac{1}{2}\\ z=\frac{9}{2}-(x+y)=\frac{5}{2}.\end{array}$$

ii) La misma idea lleva a

$$6\times 10\times 15=900=uv\cdot vw\cdot wu={(}^{}$$uvw) 2,

por lo$$uvw=±30.

De ahí

$$\begin{array}{l}u=\end{array}$$uvw vw = ±30 10 =±3 v= uvw uw = ±30 15 =±2 w= uvw uv = ±30 6 =±5.

O u, v, w son todos positivos, o todos negativos.

$\therefore (u,v,w)=(3,2,5)or(-3,-2,-5).$

iii) La misma idea lleva a

$$6\times 10\times 30=2\times 900=vw\cdot wu={(}^{}$$uvw) 2 ,

por lo$$uvw=±30 2 .De ahí

$$\begin{array}{l}u=\end{array}$$uvw vw = ±30 2 10 =±3 2 v= uvw uw = ±30 2 15 =±2 2 w= uvw uv = ±30 2 6 =±5 2 .

O u, v, w son todos positivos, o todos negativos.

$\therefore (u,v,w)=(3\sqrt{2},2\sqrt{2},5\sqrt{2})or(-3\sqrt{2},-2\sqrt{2},-5\sqrt{2}).$

(iv) Por supuesto podríamos repetir el mismo método.

O podríamos volver a buscar en primera instancia soluciones positivas, notar que 4 = 2 ², 8 = 2 ³, 16 = 2 ⁴, y tomar troncos (a la base 2). Entonces

$$\begin{array}{l}{\mathrm{registro}}_{2}u+{\mathrm{registro}}_{2}v=2\\ {\mathrm{registro}}_{2}v+{\mathrm{registro}}_{2}w=3\\ {\mathrm{registro}}_{2}u+{\mathrm{registro}}_{2}w=\mathrm{4,}\end{array}$$

así (de la parte (i)) cualquier solución positiva satisface

$${\mathrm{registro}}_{2}u=\frac{3}{2},{\mathrm{registro}}_{2}v=\frac{1}{2},{\mathrm{registro}}_{2}w=\frac{5}{2},$$

por lo

$$(u,v,w)=(2\sqrt{2},\sqrt{2},4\sqrt{2}).$$

Debemos entonces recordar incluir

$$(u,v,w)=(-2\sqrt{2},-\sqrt{2},-4\sqrt{2}).$$

98. La idea más simple es tomar troncos y reducir el sistema a un sistema lineal familiar:

$$\begin{array}{ll}a\cdot \mathrm{registro}u+b\cdot \mathrm{registro}v\hfill & =\hfill \end{array}$$registrom c⋅registrou+d⋅registrov =registron.

Multiplicar la primera ecuación por c y restarla de la segunda ecuación multiplicada por a da:

$$$$registrov= a⋅registron−c⋅registrom ad−bc .

Multiplicando la primera ecuación por d y restando b por la segunda ecuación da:

$$$$registrou= d⋅registrom−b⋅registron ad−bc .

Si los numeradores y denominadores se expresan en forma determinante, obtenemos la versión 2 × 2 de la Regla de Cramer. Las incógnitas originales u, v se pueden obtener entonces tomando los poderes adecuados.

Lo que emerge parece interesante:

$$\begin{array}{l}u=m^{\frac{d}{ad-bc}}\cdot n^{-\frac{b}{ad-bc}}\\ v=m^{-\frac{c}{ad-bc}}\cdot n^{\frac{a}{ad-bc}}\end{array}$$

pero no está claro cómo generaliza.

99.

(a) x + y + z = 3 es la ecuación de un plano a través de los tres puntos (3, 0, 0), (0, 3, 0), (0,0, 3).

x ² + y ² + z ² = c es la ecuación de una esfera, centrada en el origen, con radio$\sqrt{c}.$. La esfera pierde completamente el plano cuando c < 3, se encuentra con el plano en un solo punto cuando c = 3, y corta el plano en un círculo C cuando c > 3 (el círculo que se encuentra en el octante positivo proporcionó c < 9).

Si xy + yz + zx = b cumple con esta intersección en absoluto, entonces cualquier permutación de las tres coordenadas x, y, z produce otro punto que también satisface las otras dos ecuaciones (ya que ambas son simétricas). De ahí que para que el sistema tenga una solución única, el círculo C debe contener un punto con x = y = z. De ahí que c = 3, y b = 3, y la solución única es

$$(x,y,z)=(1,1,1).$$

(b) Debemos tener$$c⩾0para cualquier solución. Si c = 0, entonces para una solución única, debemos tener x = y = z = 0, entonces a = b = 0. Si excluimos este caso, entonces podemos suponer que c > 0.

$$x+y+z=a$$

es la ecuación de un plano a través de los tres puntos (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a).

$$x^2+y^2+z^2=c$$

es la ecuación de una esfera, centro el origen, con radio$\sqrt{c}$, que pierde completamente el avión 2 2 cuando$c<\frac{a^2}{3}$, se encuentra con el plano en un solo punto cuando$c=\frac{a^2}{3}$, y corta el plano en un círculo C cuando$c>\frac{a^2}{3}$(el círculo que se encuentra en el octante positivo proporcionó c < a ²).

Si

$$xy+yz+zx=b$$

cumple con esta intersección en absoluto, entonces cualquier permutación de las tres coordenadas x, y, z produce otro punto que también satisface las otras dos ecuaciones (ya que ambas son simétricas). De ahí que para que el sistema tenga una solución única, el círculo C debe contener un punto con x = y = z. De ahí que ese punto sea$x=y=z=\frac{a}{3}$, entonces$c=\frac{a^2}{3}=b$, y la solución única es

$$(x,y,z)=\left(\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3}\right).$$

100. $|-x|$nunca es negativo. Si$$x⩾0, luego$|-x|=x$; si x es negativo, entonces − x es positivo, entonces$|-x|=-x$.

Nota: Necesitamos aprender a ver tanto x como − x como entidades algebraicas, con x como marcador de posición (que bien puede ser negativo, en cuyo caso − x sería positivo).

101.

a) El intervalo [0.1, 0.2). Hemos marcado exactamente$\frac{1}{10}$del intervalo [0,1).

b) Esto necesita un poco de reflexión. Primero marcamos el intervalo [0.1, 0.2), de longitud$\frac{1}{10}$. Luego marcamos 9 intervalos más pequeños

$$[0.01,0.02),[0.21,0.22),...,[0.91,0.92)$$

de longitud total$9\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^2$. Luego 9 ² intervalos más pequeños

$$[0.001,0.002),[0.021,0.022),...,[0.991,0.992)$$

de longitud total$9^2\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^3$. Y así sucesivamente.

$$\begin{array}{ccc}\left[0.1\mathrm{,0}.2\right)\hfill & \hfill & \hfill \\ \hfill & \cup \hfill & \left[0.01\mathrm{,0}.02\right)\cup \left[0.21\mathrm{,0}.22\right)\cup \left[0.31\mathrm{,0}.32\right)\cup \left[0.41\mathrm{,0}.42\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & \cup \left[0.51\mathrm{,0}.52\right)\cup \left[0.61\mathrm{,0}.62\right)\cup \left[0.71\mathrm{,0}.72\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & \cup \left[0.81\mathrm{,0}.82\right)\cup \left[0.91\mathrm{,0}.92\right)\hfill \\ \hfill & \cup \hfill & \left[0.001\mathrm{,0}.002\right)\cup \left[0.021\mathrm{,0}.022\right)\cup \left[0.031\mathrm{,0}.032\right)\cup \cdots \hfill \\ \hfill & \cup \hfill & \cdots \hfill \end{array}$$

Parecería que quedan una gran cantidad de puntos unm, a, rked, es decir, cada punto cuya representación decimal utiliza solo 0s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 7s, 8s y 9s. Sin embargo, la longitud total de los intervalos marcados se da agregando:

$$\frac{1}{10}+9\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^2+9^2\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^3+9^3\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^4+9^4\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^5+9^5\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^6+\cdots$$

Esa es una serie geométrica infinita con primer término$a=\frac{1}{10}$y relación común$r=\frac{9}{10}$, y de ahí con suma = 1. Es decir, la longitud total de lo que queda sin marcar es cero.

(c) (0, 1): cada número real excepto 0 tiene una expansión en la base 2 con un “1” en alguna posición. Por lo que esta vez no queda nada sin marcar, (excepto 0). De ahí que el complemento del conjunto de puntos marcados consiste simplemente en un punto, a saber {0}. Por lo que no es de extrañar que el total de todos los intervalos marcados tenga longitud 1.

(d) Primero marcamos el intervalo [0.1,0.2), de longitud$\frac{1}{3}$. Luego marcamos 2 intervalos más pequeños

$$[0.01,0.02),[0.21,0.22)$$

de longitud total$2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2$. Luego 2 ² intervalos más pequeños

$$[0.001,0.002),[0.021,0.022),[0.201,0.202),[0.2211,0.222)$$

de longitud total$2^2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3$. Y así sucesivamente.

$$\begin{array}{l}[0.1,0.2)\\ \cup [0.01,0.02)\cup [0.21,0.22)\\ \cup [0.001,0.002)\cup [0.021,0.022))\cup [0.201,0.202)\cup [0.2201,0.02202)\\ \cup \cdots \end{array}$$

El conjunto de puntos marcados es el complemento del famoso conjunto Cantor (Georg Cantor (1845—1918)) y tiene una longitud total

$$\frac{1}{3}+2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2^2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+2^3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^4+2^4\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^5+2^5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^6+\cdots$$

Se trata de una serie geométrica infinita con primer término$a=\frac{1}{3}$y relación común$r=\frac{2}{3}$, y así lo ha hecho sum = 1.

De ahí que la longitud total de lo que queda sin marcar es cero.

Nota: El conjunto descrito en (d) deja como complemento una colección de puntos —el conjunto Cantor — que consiste en los “puntos finales” de los intervalos que se han eliminado; estos son puntos cuya expansión base 3 involucra solo 0s y 2s. Este complemento:

(i) es “del mismo tamaño” que todo el intervalo [0,1] (ya que si interpretamos los 2s en la expansión base 3 como 1s, obtenemos una correspondencia entre el conjunto de “puntos finales” y el conjunto de todas las expansiones de base 2 posibles para números reales en [0,1]);

(ii) es “en ninguna parte densa” (ya que cada par de puntos en el complemento está separado por algún intervalo)

(iii) tiene longitud total = 0.

102. (2, 3]. Cada desigualdad implica a todas las anteriores. De ahí que los dos que son verdaderos deben ser los dos primeros. De ahí$$x⩽3, y x > 2.

103. Si$x-5⩾0$, entonces debemos resolver$x-5=3$; entonces$x=8$; si$x-5<0$, debemos resolver$x-5=-3$, entonces$x=2$.

Nota: El hecho de que$\left|x\right|$denota el valor positivo del par {x, − x} puede reformularse como:$\left|x\right|$es igual a la distancia de x a 0.

De la misma manera,$|x-5|$denota el miembro positivo del par

$$\{x-5,-(x-5)\}$$

por lo$|x-5|$es igual a la distancia de$x-5$a 0 (es decir, la distancia de x a 5). Esta es una forma muy importante de pensar en expresiones como$|x-5|$.

104.

(a)$[-3,-2)\cup (2,3]$. (Cada desigualdad implica a todas las que van antes de ella. Así que necesitamos soluciones para$\left|x\right|>1$y$\left|x\right|>2$, que satisfacen$\left|x\right|⩽3$

b) 4, 6]. (Cada desigualdad implica la anterior. Para ver esto, piensa en términos de distancias: queremos puntos x cuya distancia desde 1 es > 1, cuya distancia desde 2 es > 2, etc. Entonces necesitamos encontrar puntos x que resuelvan las dos primeras desigualdades, pero no la tercera. Puntos en la media línea$(-\infty ,0)$satisfacer las siete desigualdades, así que nos quedamos con (4, 6].)

105. \left\{-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right\}. (Necesitamos todos los puntos x para los cuales

“la distancia de x a −1" más “la distancia de x a −2"

es igual a 2. Esto excluye todos los puntos entre −2 y −1, para los cuales la suma es igual a 1; para los puntos entre$-\frac{5}{2}$y$-\frac{1}{2}$la suma es < 2; para puntos en$\left(-\infty ,-\frac{5}{2}\right)$o$\left(-\frac{1}{2},\infty \right)$la suma es > 2.)

106. $a=\frac{1}{2}$,$b=\frac{3}{2}$. (Para que existan soluciones, debemos tener b > 0. Las soluciones de la desigualdad dada consisten entonces en todo x tal que

“la distancia de x a a es menor que b”

es decir, todas las x en el intervalo (a − b, a + b). De ahí que a − b = −1, a + b = 2.)

107.

(a) “La diferencia entre las coordenadas x - e y es < 3”, significa que el punto (x, y) se encuentra en la franja infinita entre las líneas x − y = −3 y x − y = 3.

(b) Al desplazar el origen de las coordenadas a (−5, 0) se cambia la coordenada x a “X = x + 5” y deja la coordenada y no afectada (entonces Y = y). En este nuevo marco queremos “| X − Y | < 3”, por lo que los puntos requeridos se encuentran en la franja infinita entre las líneas X − Y = −3 y X − Y = 3; es decir, entre las líneas$x-y+5=-3$y$x-y+5=3$.

(b) x > 0 e y > 0, o x < 0 e y < 0. (Para cualquier solución, debemos tener$|x+y|>0$, que excluye los puntos en la línea x + y = 0. Divide ambos lados por$|x+y|$y simplifique para obtener

$$\left|1-\frac{2y}{x+y}\right|<1$$

En otras palabras:

$$0<\frac{2y}{x+y}<2$$.

Si y > 0, entonces x + y > 0, entonces 2 x + 2 y > 2 y, de donde x > 0 (así “x > 0 e y > 0”).

Si y < 0, entonces x + y < 0, entonces 2 x + 2 y < 2 y, de donde x < 0 (así “x < 0 e y < 0”).

Si x > 0 e y > 0, o x < 0 e y < 0, entonces claramente$|x-y|$<$|x+y|$.)

108. Let

$$x=\frac{a}{b}<\frac{c}{d}=y.$$

i) Dado que x < y, se deduce que

$$x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}<\frac{y}{2},$$

por lo$x<\frac{x+y}{2}$; además$\frac{x}{2}<y-\frac{y}{2}$, entonces$\frac{x+y}{2}<y$.

ii) Desde$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$y$b,d>0$, podemos multiplicar ambos lados por bd para obtener ad < bc. Por lo tanto

$$a(b+d)=ab+ad<ba+bc=b(a+c),$$

y

$$(a+c)d=ad+cd<bc+dc=(b+d)c.$$

$\therefore \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}$, y$\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$(ya que b, d y b + d son todos > 0, así podemos dividir la primera desigualdad por b (b + d) y la segunda por d (b + d)).

109.

(a)

$$\frac{0}{1}<\frac{1}{7}<\frac{1}{6}<\frac{1}{5}<\frac{1}{4}<\frac{2}{7}<\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\frac{3}{7}<\frac{1}{2}<\frac{4}{7}<\frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{5}{7}<\frac{3}{4}<\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<\frac{6}{7}<\frac{1}{1}$$

b) i) Es tentador simplemente considerar los decimales

$$\frac{1}{9}=0.111...,\frac{2}{9}=0.222...,\frac{3}{9}=0.333...,...,\frac{8}{9}=0.888...$$

con el fin de concluir que estas fracciones pierden el primer y último subintervalo, y luego caen uno en cada uno de los subintervalos restantes. En preparación para la parte ii), es mejor observar que

*$\frac{1}{10}<\frac{1}{9}$y$\frac{8}{9}<\frac{9}{10}$, por lo que ninguno de los 9 ^th s aterriza en el primer o último subintervalo;

* luego reescribir

$$\frac{1}{9}=\frac{1}{10}+\frac{1}{90},\frac{2}{9}=\frac{2}{10}+\frac{2}{90},\frac{3}{9}=\frac{3}{10}+\frac{3}{90},...,\frac{8}{9}=\frac{8}{10}+\frac{8}{90}$$

y fíjate que

$$\frac{0}{10}<\frac{1}{90}<\cdots <\frac{8}{90}<\frac{1}{10},$$

de manera que, para$$1⩽m⩽9,

$$\frac{m}{10}<\frac{m}{9}<\frac{m+1}{10};$$

de ahí exactamente una ^9ª va en cada uno de los otros ocho subintervalos.

ii) Obsérvese que

*$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$y$\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n+1}$, por lo que ninguno de los n ^º s aterriza en el primer o último subintervalo;

* luego reescribir

$$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)},\frac{2}{n}=\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n(n+1)},...,\frac{n-1}{n}=\frac{n-1}{n+1}+\frac{n-1}{n(n+1)}$$

y fíjate que

$$\frac{0}{n+1}<\frac{1}{n(n+1)}<\cdots <\frac{n-1}{n(n+1)}<\frac{1}{n+1},$$

entonces, para$$1⩽m⩽n,

$$\frac{m}{n+1}<\frac{m}{n}<\frac{m+1}{n+1};$$

por lo tanto, exactamente un n ^th va en cada uno de los otros n − 1 subintervalos.

(iii) Supongamos que se insertan dos (o más) fracciones entre$\frac{a}{b}$y$\frac{c}{d}$. Entonces estas dos fracciones tendrían que ser múltiplos sucesivos de$\frac{1}{n+1}$; pero entonces tendrían un múltiplo de$\frac{1}{n}$entre ellos (por la parte (ii)), y este sería un término de la serie Farey de orden n sentado entre$\frac{a}{b}$y$\frac{c}{d}$. Como no existe tal término, a lo sumo se puede insertar una fracción entre$\frac{a}{b}$y$\frac{c}{d}$.

(c) Nota 1: Se incluyó este problema porque la idea de la serie Farey parece tan simple, y sus curiosas propiedades son tan intrigantes. Si bien esto sigue siendo cierto, resulta que las series de Farey también tienen algo diferente, y un poco inesperado, para enseñarnos sobre “la esencia de las matemáticas”. Parte de nosotros espera que los resultados simples tengan pruebas cortas y accesibles, aunque sabemos que el último teorema de Fermat muestra lo contrario. En el caso de la serie Farey, las propiedades relevantes pueden probarse de formas que deben ser accesibles (en principio); pero las pruebas no son fáciles. Así que no te molestes si, después de todos tus esfuerzos, aterrizas tratando de absorber la solución que aquí se da - y la idea subyacente de que

los objetos simples y las pruebas “elementales” a veces pueden ser más intrincados de lo que uno anticipa.

Nota 2: Si

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$$

son términos consecutivos en una serie de Farey, entonces “bc − ad” debe ser un entero > 0. El hecho de que esta diferencia siempre sea igual a 1 se verifica fácilmente en cualquier caso en particular, pero no está claro exactamente por qué esto es necesariamente cierto (en lugar de un accidente) -o incluso cómo se haría para demostrarlo. Cada tratamiento de la serie Farey tiene que encontrar su propio camino alrededor de esta dificultad. Damos la prueba más sencilla que podemos (en el sentido de que asume no más de lo que ya hemos usado: un poco sobre números y algo de álgebra). Pero no es para nada “fácil”. Indicamos un enfoque diferente en las “Notas” al final de la parte d).

(i) [El hecho de que, a excepción de los dos intervalos finales, tengamos bd > n será necesario en la prueba de la parte (c) (ii).]

Se procede por inducción matemática sobre n (el “orden” de la serie Farey) -una técnica que ya conocimos en el Capítulo 2 (Problemas 54 - 59, 76) y que se abordará de manera más completa en el Capítulo 6.

* Cuando n = 1, la serie Farey de orden n es solo:

$$\frac{0}{1}<\frac{1}{1}$$

y este subintervalo es tanto el primero como el último, por lo que el reclamo es “vacuamente cierto” (porque no hay “nada que verificar”). Cuando n = 2, la serie Farey de orden n es:

$$\frac{0}{1}<\frac{1}{2}<\frac{1}{1},$$

y nuevamente los únicos subintervalos son el primero y el último, así que nuevamente no hay nada que verificar.

* Ahora suponemos que sabemos que el reclamo es cierto para la serie Farey de orden k, para algunos k > 1, y demostrar que entonces también debe ser cierto para la serie Farey de orden k + 1. (Como sabemos que es cierto para n = 2, entonces será cierto para n = 3; y una vez que sepamos que es cierto para n = 3, entonces debe ser cierto para n = 4; y así sucesivamente).

Para demostrar que la afirmación es cierta para la serie Farey de orden k + 1, consideramos cualquier par de fracciones adyacentes

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$$

(aparte del primer par y el último par) en la serie Farey de orden k + 1.

Reclamar bd > k + 1.

Prueba Tenga en cuenta primero que, dado que estamos evitando los dos subintervalos finales, tanto b como d son > 1.

Supongamos primero que el par$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$no son adyacentes en la serie anterior de Farey de orden k. Entonces al menos una de las dos fracciones se ha insertado en la creación de la serie Farey de orden k + 1, y así lo ha hecho denominador = k + 1. (Las fracciones insertadas son precisamente aquellas con denominador “k + 1” que no se pueden reducir cancelando.) De ahí el producto

$$$$bd⩾2(k+1)>k+1.

Así podemos suponer que el par un$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ya estaban adyacentes en la serie Farey del orden k. Pero entonces por nuestra “hipótesis de inducción” (es decir, que ya se sabe que el resultado deseado es cierto para la serie Farey de orden k), sabemos que bd > k. Si bd > k + 1, entonces el par$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$satisface la condición requerida. De ahí que solo tengamos que preocuparnos por la posibilidad de que bd = k + 1. Supongamos que bd = k + 1. Luego el intervalo$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$tiene longitud

$$\frac{bc-ad}{bd}=\frac{r}{k+1}$$

para algún entero positivo r = bc − ad.

Si r > 1, entonces el intervalo tendría longitud >$\frac{1}{k+1}$, entonces$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$no serían términos sucesivos en la serie (pues habríamos insertado algún término adicional al pasar de la serie Farey de orden k a la serie Farey de orden k + 1).

De ahí que podamos estar seguros de que r = 1, que el subintervalo$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$tiene longitud exactamente$\frac{1}{k+1}$. Ahora las fracciones sucesivas con denominador k + 1 difieren exactamente$\frac{1}{k+1}$, por lo que alguna fracción con denominador k + 1 debe estar en este subintervalo. Dado que no se inserta ninguna fracción adicional entre ellos al pasar de la serie de orden k a la serie de orden k + 1, y$\frac{a}{b}and\frac{c}{d}$ambas deben ser “versiones canceladas” de dos fracciones sucesivas con denominador k + 1. Pero entonces, por la parte (b) (ii), tendría que haber una fracción con denominador k en el intervalo$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$- lo cual no es el caso.

Por lo tanto la posibilidad bd = k + 1 de hecho no ocurre.

Entonces podemos estar seguros de que en cada caso, bd > k + 1.

De ahí que siempre que el resultado sea cierto para la serie Farey de orden k, entonces también debe ser cierto para la serie Farey de orden k + 1.

De ello se deduce que el resultado es cierto para la serie Farey de orden n, para todos$$n⩾1.

(ii) Se procede por inducción en n.

* Si$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$son fracciones adyacentes en la serie Farey del orden 1, luego$\frac{a}{b}=\frac{0}{1}$y$\frac{c}{d}=\frac{1}{1}$, entonces bc − ad = 1.

* Ahora supongamos que, para algunos$$k⩾1, ya sabemos que el resultado se mantiene para cualquier par adyacente de la serie Farey de orden k.

Let$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ser fracciones adyacentes en la serie Farey de orden k + 1.

Si$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ya eran fracciones adyacentes en la serie Farey de orden k (es decir, si no se ha insertado ninguna fracción entre$\frac{a}{b}$y$\frac{c}{d}$al pasar de la serie de orden k a la serie de orden k + 1), entonces ya sabemos (por la hipótesis de inducción) que bc − ad = 1.

Así podemos concentrarnos en el caso donde$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$no son fracciones adyacentes en la serie Farey de orden k. Por (b) (iii), a lo sumo una fracción con denominador k + 1 se inserta entre dos fracciones adyacentes cualesquiera en la serie Farey de orden k, por lo que tenemos cualquiera de las dos fracciones adyacentes

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}<\frac{e}{f},$$

con$\frac{a}{b}<\frac{e}{f},$siendo fracciones adyacentes en la serie Farey de orden k (así sea − af = 1), o

$$\frac{e}{f}<\frac{a}{b}<\frac{c}{d},$$

con$\frac{e}{f}<\frac{c}{d}$siendo fracciones adyacentes en la serie Farey de orden k (so fc − ed = 1). Consideramos la primera de estas posibilidades (la segunda es totalmente similar).

Supongamos

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}<\frac{e}{f},$$

con$\frac{a}{b}<\frac{e}{f}$siendo fracciones adyacentes en la serie Farey de orden k. Por la parte (i) sabemos que$$bf⩾k+1; y por inducción sabemos que ser − af = 1. De ahí el intervalo$\frac{a}{b}<\frac{e}{f}$tiene longitud como máximo$\frac{1}{k+1}.$Tenemos que demostrar que bc − ad = 1.

Let bc − ad = r > 0, y ed − fc = s > 0.

Entonces sa + re = c, y sb + rf = d.

En particular, HCF (r, s) = 1 (ya que HCF (c, d) = 1).

De ahí$\frac{c}{d}$pertenece a la familia

$\begin{array}{cc}& S=\{\genfrac{}{}{0.1ex}{}{xa+ye}{xb+yf}:\text{donde}x,y\text{son números enteros positivos con}HCF(x,y)=1\}.\hfill \end{array}$

Como todo es positivo, el álgebra fácil demuestra que

$$\frac{a}{b}<\frac{xa+ye}{xb+yf}<\frac{e}{f},$$

por lo que cada elemento de S se encuentra entre$\frac{a}{b}$y$\frac{e}{f}$.

Siempre y cuando elegimos x, y tal que HCF _{(x, y)} = 1, cualquier factor común de xa + ye y xb + yf también dividiría ambos

$$b(xa+ye)-a(xb+yf)=(be-af)y=y,$$

y

$$e(xb+yf)-f(xa+ye)=(be-af)x=x.$$

De ahí

$$$$

HCF(xa+ye,xb+yf)=1

por lo que cada elemento de S está en términos más bajos (es decir, no es posible cancelar más).

Hemos demostrado que”$\frac{c}{d}$pertenece a la familia S”, y que todos los elementos de S encajan entre$\frac{a}{b}$y$\frac{e}{f}$; que son fracciones adyacentes en la serie Farey de orden k. Por lo que ninguno de los elementos de S puede haber surgido antes de la serie de orden k + 1. Pero cada fracción en S surge en alguna etapa de una serie de Farey.

Y el primero en surgir (porque tiene el mínimo denominador) es”$\frac{a+e}{b+f}$“

De ahí

$$\frac{c}{d}=\frac{a+e}{b+f},$$

así que r = s = 1, y bc − ad = 1 según sea necesario. QED

d) Dejar

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}<\frac{e}{f}$$

ser tres términos sucesivos en cualquier secuencia de Farey. Por (c) sabemos que bc−ad = 1, y que de − cf = 1. En particular, bc - ad = de - cf, entonces

$$\frac{c}{d}=\frac{a+e}{b+f}.$$

Nota 1: Puede que no quede claro por qué estamos probando este resultado “de nuevo” - ya que apareció en la línea final de la solución a la parte (c). No obstante, en la parte c) la afirmación de que

$$\frac{c}{d}=\frac{a+e}{b+f}$$

se llegó dentro de la etapa de inducción, y así estuvo sujeto a otros supuestos. En contraste, ahora que el resultado en la parte (c) ha sido claramente establecido, podemos utilizarlo para probar la parte (d) sin ningún supuesto oculto.

Nota 2: Si representamos cada fracción$\frac{a}{b}$en la serie Farey de orden n por el punto (b, a), entonces cada punto se encuentra en el triángulo recto uniendo (0, 0), (n, 0) y (n, n), y cada fracción de la serie Farey es igual al gradiente de la línea, o vector, uniendo el origen al entero punto de celosía (b, a). El orden de las fracciones en la serie Farey corresponde a la secuencia de gradientes crecientes, desde$\frac{0}{1}$hasta$\frac{1}{1}$. Si$\frac{a}{b}$y$\frac{e}{f}$son fracciones adyacentes en algunas series de Farey, entonces el resultado en (d) dice que la siguiente fracción a insertar entre ellas es$\frac{a+e}{b+f}$correspondiente a la suma vectorial de (b, a) y (f, e). Y el resultado en (c) dice que el área del paralelogramo con vértices (0, 0), (b, a), (f, e), (b + f, a + e) es igual a 1 (ver Problema 57 (b)). De ahí que el resultado en (c) se reduzca al hecho de que

Teorema Cualquier paralelogramo, cuyos vértices son puntos enteros de celosía (es decir, puntos (b, a) donde ambas coordenadas son números enteros), y sin puntos de celosía adicionales dentro del paralelogramo o en los cuatro lados, tiene área 1.

110.

(a) Supongamos que x satisface$x+\frac{1}{x}<2$. Entonces$x\ne 0$(o$\frac{1}{x}$no está definido).

$\propto \frac{x^2+1}{x}<2.$

Si x > 0, entonces x ² − 2 x + 1 = (x − 1) ² que no tiene soluciones.

$\propto x<0$en cuyo caso x satisface$x+\frac{1}{x}<0<2$, por lo que cada x < 0 es una solución de la desigualdad original

(b) Supongamos que x satisface$$x⩽1+ 2 x . Nuevamente$x\ne 0$(o$\frac{1}{x}$no está definido).

(i) Si x > 0, entonces x ² − x − 2 = (x − 2) (x + 1) < 0.

$\therefore -1⩽x⩽2$(y x > 0); por lo tanto$0<$x⩽2, y todas esas x satisfacen la desigualdad original.

(ii) Si x < 0, entonces$x^2-x-2⩾0$, entonces$(x-2)(x+1)⩾0$.
$\therefore eitherx⩽-1$, o$$x⩾2(y x < 0); por lo tanto$x⩽-1$, y todas esas x satisfacen la desigualdad original.

(c) Supongamos que x satisface$\sqrt{x}<x+\frac{1}{4}$.

$\therefore 4{(\sqrt{x})}^2-4\sqrt{x}+1>0$

$\therefore {(2\sqrt{x}-1)}^2>0$, entonces$x\ne \frac{1}{4}$y todas esas x satisfacen la desigualdad original.

111.

(a) Si a + b = 5 y ab = 7, entonces a, b son soluciones de

$$(x-a)(x-b)=x^2-5x+7=0.$$

Pero las raíces de esta ecuación cuadrática son

$$\frac{5\pm \sqrt{25-28}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{-3}}{2},$$

por lo que a y b no pueden ser “reales positivos”.

(b) Abreviamos la “media aritmética” por AM, la “media geométrica” por GM, la “media armónica” por HM y la “media cuadrática” por QM.

$${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2⩾0$$

por lo

$$a+$$b⩾2 ab

por lo tanto

$$\sqrt{ab}⩾$$2ab a+b  (GM⩾HM)

y

$$\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}($$GM⩽AM).

También

$${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2⩾0,$$

por lo

$$\frac{a^2+b^2}{4}⩾$$2ab 4

de donde

$$\frac{a^2+b^2}{2}⩾\frac{a^2+b^2+}{}$$2ab 4 = ( a+b 2 ) 2 .

Por lo tanto

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}⩾\frac{a+b}{2}($$QM⩾AM).QED

112. [Este delicioso problema fue ideado por Oleksiy Yevdokimov.] Tenemos que encontrar algo que se mantenga constante, o que no aumente, cuando sustituimos dos términos a, b por$\frac{a+b}{\sqrt{2}}$.

Idea: Si los dos términos a, b fueran reemplazados cada vez por su suma a + b, entonces la suma de todos los números de la lista quedaría sin cambios, por lo que podríamos estar seguros de que el número final después de 199 movimientos de este tipo tendría que ser

$$1+2+3+\cdots +200=\frac{200\times 201}{2}.$$

Esto no funciona aquí. Sin embargo, en el espíritu de esta sección sobre desigualdades, se puede preguntar:

¿Qué sucede con la suma de los cuadrados de los términos en la lista después de cada movimiento?

Cuando pasamos de una lista a la siguiente, solo se ven afectados dos términos, y para estos dos términos, la suma de cuadrados anterior se sustituye por${\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)}^2$. ¿Cómo afecta esto a la suma de todos los cuadrados de la lista?

Sabemos que$a^2+b^2$⩾2abpara todos a, b. Y es fácil ver que esto equivale a:

$$a^2+b^2⩾{\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)}^2$$

Entonces, cuando reemplazamos dos términos a, b por$\frac{a+b}{\sqrt{2}}$, la suma de los cuadrados de todos los términos de la lista nunca aumenta. De ahí que el término final sea menor o igual a la raíz cuadrada de la suma inicial de cuadrados

$$\begin{array}{ccc}{1}^2+2^2+3^2+\cdots +200^2\hfill & =\hfill & \genfrac{}{}{0.1ex}{}{200\times 201\times 401}{6}\left(\text{por Problem<mstyle mathvariant="bold"><mn>62</mn></mstyle>}\right)\hfill \\ \hfill & <\hfill & \genfrac{}{}{0.1ex}{}{200\times 300\times 400}{6}\hfill \\ \hfill & =\hfill & 4\times 10^6.\hfill \end{array}$$

$\propto$thefinaltermis < 4× 10 6 =2000.

113.

(a) (i) 3 = 2 ² - 1.

(ii) Parece difícil encontrar otro.

b) i) 2 = 1 ² + 1.

(ii) 5 = 2 ² + 1 (o 17 = 4 ² + 1; o 37 = 6 ² + 1; o 101 = 10 ² + 1; o...). En otras palabras, parece que hay muchos.

Nota: A primera vista los primos de esta forma “siguen viniendo”. Dado que ahora sabemos (ver Problema 76) que la lista de todos los números primos “continúa para siempre”, es natural preguntarse: ¿Hay infinitamente muchos números primos “uno más que un cuadrado”? ¿O se agota la lista?

¡Esta es una de las preguntas más simples que uno puede hacer a la que aún no se conoce la respuesta!

c) i) 7 = 2 ³ - 1.

(ii) Parece difícil encontrar otro.

d) i) 2 = 1 ³ + 1.

(ii) Parece difícil encontrar otro.

Nota: Las partes (a), (c) y (d) deben hacer que una sea sospechosa - siempre que una notifique que:

a) 63 = 7 × 9, 143 = 11 × 13, 323 = 17 × 19;

c) 511 = 7 × 73, 1727 = 11 × 157;

(d) 217 = 7 × 31, 513 = 9 × 57, 1001 = 7 × 143.

Este problema es tan instructivo que su solución se discute en el texto principal que sigue al Problema 115.

114.

$$x^4+1=\left(x^2+\sqrt{2}\cdot x+1\right)\left(x^2-\sqrt{2}\cdot x+1\right).$$

(Supongamos

$$x^4+1=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right).$$

Es natural probar b = d = 1 para hacer el término constante bd = 1, y luego intentar c = −a (para que los coeficientes de x ³ y de x sean ambos 0). Queda entonces elegir el valor de a para que el coeficiente total “2 − a ²” de todos los términos en x ² sea igual a 0: es decir,$a=\sqrt{2}$).

115.

a) i

$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right).$$

ii)

$$\begin{array}{ccc}{a}^4-b^4\hfill & =\hfill & (a-b)(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)\hfill \\ \hfill & =\hfill & (a^2-b^2)(a^2+b^2)\hfill \\ \hfill & =\hfill & (a-b)(a+b)(a^2+b^2).\hfill \end{array}$$

iii)

$$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right).$$

Nota: La factorización general

$$x^n-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x^2+x+1\right)$$

proporciona una nueva inclinación en la prueba para la divisibilidad por 9 en la base 10, o en general para la divisibilidad por b − 1 en la base b (ver Problema 51):

“un entero escrito en base b es divisible por b − 1 precisamente cuando su suma de dígitos es divisible por b − 1”.

b) i

$$a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right).$$

ii)

$$a^5+b^5=(a+b)\left(a^4-a^{3}b+a^2{b}^2-a{b}^3+b^4\right).$$

iii)

$$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\left(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}{b}^2-a^{2n-3}{b}^3+\cdots -a{b}^{2n-1}+b^{2n}\right).$$

116.

a) Sustitúyase a por 1, b por r, y n por n + 1 en la respuesta a 115 a) iii), para ver que:

$$1+r+r^2+r^3+\cdots +r^n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$$

b) Multiplique la fórmula cerrada en (a) por “a” para ver que:

$$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n=a\cdot \frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$$

117. Cuando x = 40,

$$f(x)=x^2+(x+40)+1={40}^2+2\times 40+1={41}^2$$

no es primo. Por lo que la secuencia de salidas prime debe detenerse algún tiempo antes de f (40). Pero, de hecho, continúa todo el tiempo que pueda, de modo que

$$f(0),f(1),f(2),...,f(39)$$

son todos primos. (Esto puede explicar el deleite de Euler.)

Nota: Los vínculos entre polinomios con coeficientes enteros (incluso cuadráticos bajos) y números primos aún no se entienden completamente. Por ejemplo, tal vez te gustaría mirar hacia arriba la espiral de Ulam. (Ulam (1909—1984) trazó los enteros positivos en una espiral cuadrada y encontró a los primos ordenándose en patrones curiosos que todavía no entendemos completamente.)

El interés por las conexiones entre polinomios y primos se revivió en la segunda mitad del ^siglo XX. Finalmente se demostró que existe un polinomio en 10 variables, con coeficientes enteros, que toma valores tanto positivos como negativos cuando las variables recorren todos los valores enteros no negativos posibles, pero que lo hace de tal manera que genera todos los primos como el conjunto de salidas positivas.

118.

a) i) Para

$$a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots +a+1\right)$$

para ser primo, el factor menor debe ser = 1, entonces a = 2.

Si n no es primo, podemos factorizar n = rs, con r, s > 1. Entonces

$$2^n-1=2^{rs}-1={\left(2^r\right)}^s-1=\left(2^r-1\right)\left(2^{r(s1)}+2^{r(s2)}+\cdots +2+1\right);$$

De ahí que 2 ⁿ 1 también factoriza, por lo que no podría ser primo. De ahí que n debe ser primo.

(ii) 2 ² − 1 = 3, 2 ³ − 1 = 7, 2 ⁵ − 1 = 31, 2 ⁷ − 1 = 127 son todos primos; 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 no lo es.

Nota: Este es un ejemplo sencillo de la necesidad de distinguir cuidadosamente entre la declaración

“si 2 ⁿ − 1 es primo, entonces n es primo” (que es verdadero),

y su converse

“si n es primo, entonces 2 ⁿ − 1 es primo” (que es falso).

b) i) Supongamos que a > 1. Entonces un ⁿ + 1 > 2; así que para que un ⁿ + 1 sea primo, debe ser impar, por lo que a debe ser par.

Si n tiene un factor impar m > 1, podemos escribir n = km. Entonces

$$\begin{array}{cccc}{a}^n+1\hfill & =\hfill & & a^{km}+1\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\left(a^k\right)}^m+1\hfill \\ \hfill & =\hfill & (a^k+1)(a^{k(m-1)}-a^{k(m-2)}+\cdots -a^k+1).\hfill \end{array}$$

Como m es impar y > 1, tenemos$$m⩾3. Entonces es fácil demostrar que

$$a^k+1⩽a^{k(m-1)}-a^{k(m-2)}+\cdots -a^k+1.$$

Y como a > 1, ninguno de los factores = 1, por lo que un ⁿ + 1 nunca puede ser primo. De ahí que n no pueda tener factor impar > 1, que es lo mismo que decir que n = 2 ^r debe ser una potencia de 2.

(ii) 2 ¹ + 1 = 3, 2 ² + 1 = 5, 2 ⁴ + 1 = 17, 2 ⁸ + 1 = 257, 2 ¹⁶ + 1 = 65 537 son todos primos. (La siguiente expresión

$$2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417$$

no es primo.)

Nota: ¡La triste historia de la afirmación de Fermat de que “todos los números de Fermat son primos” demuestra que los matemáticos no están exentos de la obligación de distinguir cuidadosamente entre una declaración y su contrario!

119.

(a) x ² − 3 x + 2 = (x − 2) (x − 1) = 0 precisamente cuando uno de los corchetes = 0; es decir, x = 2, o x = 1.

(b) x ² − 1 = (x − 1) (x + 1) = 0 precisamente cuando x = 1 o x = −1.

(c) x ² − 2 x + 1 = (x − 1) ² = 0 precisamente cuando x = 1 (una raíz repetida).

d)$x^2+\sqrt{2}x-1=0$nos requiere

− para completar el cuadrado

$$x^2+\sqrt{2}x-1={\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-1-\frac{1}{2}.$$

por lo

$$x+\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm \sqrt{\frac{3}{2}},$$

− o utilizar la fórmula cuadrática:

$$x=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{2+4}}{2}.$$

(e)$x^2+x-\sqrt{2}=0$nos requiere

− para completar el cuadrado

$$x^2+x-\sqrt{2}={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\sqrt{2}-\frac{1}{4},$$

por lo

$$x+\frac{1}{2}=\pm \sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{4}}$$

− o utilizar la fórmula cuadrática:

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{1+4\sqrt{2}}}{2}.$$

(f) x ² + 1 = 0 rendimientos$x=\pm \sqrt{-1}.$

g)$x^2+\sqrt{2}x+1=0$rendimientos

$$x=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{2-4}}{2}=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{-2}}{2}.$$

120. $q(x)=x^2-\sqrt{2}\cdot x+1$. (Aquí no hay un método mágico obvio. Sin embargo, debería ser natural tratar de insertar un término$\sqrt{2}$en q (x) para “resolver” el término$\sqrt{2}$en p (x); y la cancelación familiar de términos cruzados en (a + b) (a − b) debería entonces sugerir el posible beneficio de intentar$q(x)=x^2-\sqrt{2}\cdot x+1.$)

Nota: p (x) q (x) = x ⁴ + 1 (ver Problema 114).

121.

(a) Que los dos números desconocidos sean α y β Entonces$s=\alpha +\beta$, y$p=\alpha \beta$. “El cuadrado de la mitad de la suma”${\left(\frac{s}{2}\right)}^2={\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}^2$.

Restar$p=\alpha \beta$produce${\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}^2$cuya “raíz cuadrada” será$\frac{\alpha -\beta }{2}$, o$-\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$− lo que sea positivo

Agregar esto a “la mitad de la suma” da una raíz; restar da la otra raíz.

(b) Que la longitud de un lado sea x. Se nos dice que x ² + bx = c.

“Toma la mitad de b, cuadrácala y agrega el resultado a c”

se traduce como:

“Reescribe la ecuación como:${\left(x+\frac{b}{2}\right)}^2=c+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$.”

Es decir, hemos “completado la plaza”${\left(x+\frac{b}{2}\right)}^2$. Si ahora tomamos la raíz cuadrada (positiva) y restamos$\frac{b}{2}$, obtenemos un único valor para x, que determina la longitud lateral de mi cuadrado según sea necesario.

Si se aplica el mismo método a la ecuación cuadrática general

$$a{x}^2+bx+c=0.$$

con el paso inicial extra de “multiplicar por$\frac{1}{a}$”, producimos primero

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0,$$

entonces

$${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\left(\frac{c}{a}-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)=0,$$

entonces

$$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$$

lo que lleva a la fórmula cuadrática familiar.

c) Ver Problema 3 c) iv). AD: CB = DX: BX, así x: 1 = 1: (x − 1). De ahí x ² − x − 1 = 0. Si usamos la fórmula cuadrática derivada en la respuesta a la parte (b) anterior, y nos damos cuenta de que x > 1, entonces obtenemos$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Nota: El procedimiento dado en (a) se remonta a los antiguos babilonios (~ 1700 a.C.) y posteriormente a los antiguos griegos (~ 300 a.C.). Ambas culturas trabajaron sin álgebra. Los babilonios dieron sus procedimientos verbales como recetas en palabras, en el contexto de ejemplos particulares. Los griegos expresaron todo geométricamente. En el lenguaje moderno, si denotamos los números desconocidos por α y β, entonces

$$(x-\alpha )(x-\beta )=x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta .$$

Que se le diga la suma y el producto es por lo tanto lo mismo que recibir los coeficientes de una ecuación cuadrática, y que se le pida encontrar las dos raíces.

Nuestro método para factorizar una cuadrática implica un proceso mental de 'aritmética inversa', donde hacemos malabarismos con las posibilidades en busca de α y β, cuando lo único que sabemos son los coeficientes (es decir, la suma α + β, y el producto αβ).

El procedimiento en (b) también se remonta a los antiguos babilonios, y es esencialmente nuestro proceso de completar la plaza. Se dio como procedimiento, sin nuestra notación algebraica. Parece que los babilonios no se han visto obstaculizados (como lo fueron los griegos) por el hecho de que no tiene sentido agregar una longitud y un área! Ellos redactaron las cosas geométricamente, pero parecen haber entendido que realmente estaban jugando juegos numéricos (una idea que los matemáticos europeos encontraron esquiva hasta la época de Descartes (1590—1656)).

Del mismo modo, el uso moderno de los símbolos -permitiendo representar cantidades positivas o negativas- fue ampliamente resistido justo en el siglo XIX. Lo que escribiríamos como una sola familia de ecuaciones cuadráticas, ax ² + bx + c = 0, tuvo que dividirse en casos separados donde se equipararon dos cantidades positivas. Por ejemplo, el innovador libro Ars Magna en el que Cardano (1501—1576) explicó cómo resolver ecuaciones cúbicas y cuarticas comienza con cuadráticas -donde su procedimiento distingue cuatro casos diferentes: “cuadrados iguales a números”, “cuadrados iguales a cosas”, “cuadrados y cosas iguales a números” , “cuadrados y números iguales a las cosas”.

122.

a) i${\alpha }^2+{\beta }^2={(\alpha +\beta )}^2-2\alpha \beta =b^2-2c$.

ii)${\alpha }^2\beta +{\beta }^2\alpha =\alpha \beta (\alpha +\beta )=c·(-b)=-bc$.

(iii) Reorganizamos

$$\begin{array}{ccc}{\alpha }^3+{\beta }^3-3\alpha \beta \hfill & =\hfill & (\alpha +\beta )({\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2)-3\alpha \beta \hfill \\ \hfill & =\hfill & (-b)\cdot (b^2-3c)-3c\hfill \\ \hfill & =\hfill & -b^3+3bc-3c.\hfill \end{array}$$

[Alternativamente:${\alpha }^3+{\beta }^3={(\alpha +\beta )}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )$, etc.]

b) i) [Cf 121 a).]${(\alpha -\beta )}^2={(\alpha +\beta )}^2-4\alpha \beta$.

Por lo tanto

$$\alpha -\beta =\sqrt{b^2-4c}if\alpha ⩾\beta ,$$

y

$$\alpha -\beta =-\sqrt{b^2-4c}if\alpha <\beta .$$

ii)

$${\alpha }^2\beta -{\beta }^2\alpha =-\alpha \beta (\alpha -\beta )=-c\sqrt{b^2-4c}if\alpha ⩾\beta ,$$

y

$$\alpha -\beta =-\sqrt{b^2-4c}if\alpha <\beta .$$

iii)${\alpha }^3-{\beta }^3=(\alpha -\beta )\left({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2\right)$.

Por lo tanto

$${\alpha }^3-{\beta }^3=\left[\sqrt{b^2-4c}\right]\left(b^2-c\right)if\alpha ⩾\beta ,$$

y

$${\alpha }^3-{\beta }^3=\left[-\sqrt{b^2-4c}\right]\left(b^2-c\right)if\alpha <\beta .$$

123.

a) i$\sqrt{a}+\sqrt{b}$y$\sqrt{a+b+\sqrt{}}$4abambos son positivos. Y es fácil comprobar que tienen el mismo cuadrado:

$${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2=a+b+2\sqrt{ab},$$

y

$${(\sqrt{a+b+}}^{}$$4ab ) 2 =a+b+ 4ab .

De ahí

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+}$$4ab .

ii) 5 = 2 + 3 y 24 = 4 × 2 × 3;

Por lo tanto

$$\sqrt{2+3+\sqrt{4\times 2\times 3}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

(que es fácil de verificar).

b) i) Reclamación Si$$a⩾b(≠0), luego

$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a+b-}4ab.$$

Prueba$\sqrt{a}-\sqrt{b}$y$\sqrt{a+b-\sqrt{}}$4abson$both⩾0$(¿Por qué?). Y es fácil comprobarlo

$${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2=a+b-2\sqrt{ab},$$

y

$${(\sqrt{a+b-}}^{}4ab)2=a+b-\sqrt{}$$4ab .QED

ii) Simplificar$\sqrt{5-\sqrt{16}}$y$\sqrt{6-\sqrt{20}}$.

5 = 4 + 1 y 16 = 4 × 4 × 1, entonces$\sqrt{5-\sqrt{16}}=\sqrt{4}-\sqrt{1}=1$.

En realidad, hay una solución más simple

$$\sqrt{5-\sqrt{16}}=\sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1.$$

6 = 5 + 1 y 20 = 4 × 5 × 1, entonces$\sqrt{6-\sqrt{20}}=\sqrt{5}-\sqrt{1}=\sqrt{5}-1$.

124.

(a) Dejar$\alpha =1+\sqrt{2}.$. Entonces${\alpha }^2=3+2\sqrt{2}$. De ahí${\alpha }^2-2\alpha =1$, por lo que α satisface la ecuación polinómica cuadrática x ² − 2x − 1 = 0.

Nota: Observe que el polinomio resultante es igual a

$$(x-(1+\sqrt{2}))(x-(1-\sqrt{2})).$$

Es decir, para racionalizar los coeficientes, necesitamos un polinomio que tenga tanto$\alpha =1+\sqrt{2}$y su “conjugado”$1-\sqrt{2}$como raíces.

b) Dejar$\alpha =1+\sqrt{3}$. Entonces${\alpha }^2=4+2\sqrt{3}$. De ahí${\alpha }^2-2\alpha =2$, por lo que α satisface la ecuación polinómica cuadrática$x^2-2x-2=0$.

Nota: Observe que el polinomio resultante es igual a

$$(x-(1+\sqrt{3}))(x-(1-\sqrt{3})).$$

Es decir, para racionalizar los coeficientes, necesitamos un polinomio que tenga tanto$\alpha =1+\sqrt{3}$y su “conjugado”$1-\sqrt{3}$como raíces.

c) Dejar$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Entonces${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$, entonces${\alpha }^2-5=2\sqrt{6}$, y${\left({\alpha }^2-5\right)}^2=24$. De ahí que α satisfaga la ecuación polinómica cuártica$x^4-10x^2+1=0$.

Nota: Observe que el polinomio resultante es igual a

$$(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3})).$$

En otras palabras, las raíces son:$\sqrt{2}+\sqrt{3}$(según sea necesario), y también$\sqrt{2}-\sqrt{3},-\sqrt{2}-\sqrt{3}$, y$-\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

d) Dejar$\alpha =\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}$. Entonces

$${\alpha }^2=\frac{7}{3}+2\sqrt{\frac{2}{3}},$$

por lo

$${\left({\alpha }^2-\frac{7}{3}\right)}^2=\frac{8}{3},$$

y α satisface la ecuación polinómica cuártica

$$x^4-\frac{14}{3}·x^2+\frac{25}{9}=0.$$

Nota:

$$\begin{array}{l}{x}^4-\frac{14}{3}·x^2+\frac{25}{9}=\left(x-\left[\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right]\right)\left(x-\left[\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right]\right)\\ ·\left(x+\left[\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right]\right)\left(x+\left[\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right]\right),\end{array}$$

por lo que las raíces son:

$$x=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{3}},-\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{3}},-\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

125. Se puede hacer un acercamiento directo para trabajar en ambos casos (pero ver las Notas).

a) Supongamos en contrario que$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, para algunos enteros p, q con HCF (p, q) = 1. Entonces$(5+2\sqrt{6})q^2=p^2$, entonces$\sqrt{6}$es racional, y podemos escribir$\sqrt{6}=\frac{r}{s}$con HCF (r, s) = 1. Pero entonces 6s ² = r ²; de ahí r = 2t debe ser par; entonces 3s ² = 2t ², pero luego s debe ser par - contradiciendo HCF (r, s) = 1. De ahí$\sqrt{2}+\sqrt{3}$no puede ser racional.

Nota: Es un poco más fácil reescribir la ecuación inicial en la forma

$$\sqrt{3}=\frac{p}{q}-\sqrt{2}$$

antes de cuadrar para obtener

$${\left(\frac{p}{q}\right)}^2-1=\frac{2p}{q}\sqrt{2},$$

lo que implicaría que$\sqrt{2}$es racional.

b) Supongamos en contrario que$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=\frac{p}{q}$, para algunos enteros p, q con HCF (p, q) − 1. Entonces

$$10+2(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})={\left(\frac{p}{q}\right)}^2,$$

por lo$\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}$es racional. Cuadratura$\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}$entonces da eso

$$\sqrt{60}+\sqrt{90}+\sqrt{150}=5\sqrt{6}+3\sqrt{10}+2\sqrt{15}$$

es racional. Restar$2(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})$luego muestra que$3\sqrt{6}+\sqrt{10}$es racional, y podemos proceder como en la parte (a) para obtener una contradicción. De ahí$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$no puede ser racional.

Nota: Es más sencillo reescribir la ecuación original en la forma

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{p}{q}-\sqrt{5}$$

antes de cuadrar para obtener

$$5+2\sqrt{6}=\left(5+{\left(\frac{p}{q}\right)}^2\right)-\frac{2p}{q}\sqrt{5},$$

de donde$2\sqrt{6}+\frac{2p}{q}\sqrt{5}$es racional, y podemos proceder como en la parte (a).

126.

(i) Sólo tenemos que rellenar los bits que faltan de la factorización parcial

$$x^{10}+1=\left(x^3-1\right)\left(x^7+x^4+\cdots \right)+remainder.$$

Para producir el término requerido x ¹⁰ primero insertamos x ⁷. Esto luego crea un término no deseado “− x ⁷”, por lo que agregamos +x ⁴ para cancelar esto. Esto a su vez crea un término no deseado “− x ⁴”, por lo que agregamos +x para cancelar esto. De ahí que el cociente sea x ⁷ + x ⁴ + x, y el resto es “x + 1”:

$$x^{10}+1=\left(x^3-1\right)\left(x^7+x^4+x\right)+(x+1).$$

Nota: Vale la pena señalar un atajo. El término factorizado de la forma (x ³ − 1) (x ⁷ +...) es igual a cero cuando x ³ = 1.

Entonces una forma de obtener el resto es “tratar x ³ como si fuera igual a 1”. Entonces

$$x^{10}={\left(x^3\right)}^3·x$$

es igual que 1 · x, y x ¹⁰ + 1 se comporta como si fuera igual al resto.

ii)

$$x^{2013+1}=\left(x^2-1\right)\left(x^{2011}+x^{2009}+x^{2007}+\cdots +x\right)+(x+1),$$

así que el resto = x + 1.

Nota: Si tratamos x ² “como si fuera igual a 1”, entonces

$$x^{2013}+1={\left(x^2\right)}^{1006}·x+1$$

se comporta como si fuera igual a 1 · x + 1

(iii) Aplicar el algoritmo euclidiano a m y n para escribir m = qn + r, donde$$0⩽r<n:

$$x^m=x^{qn+r}={\left(x^n\right)}^q·x^r.$$

Entonces

$$\begin{array}{ccc}{x}^m+1\hfill & =\hfill & x^{qn+r}+1\hfill \\ \hfill & =\hfill & (x^n-1)(x^{n(q-1)+r}+x^{n(q-2)+r}+x^{n(q-3)+r}+\cdots +x^r)+x^r+1.\hfill \end{array}$$

Entonces el resto es x ^r + 1.

Nota: Si tratamos x ⁿ - 1 como si fueran 0 - es decir, si tratamos x ⁿ como si fuera igual a 1 − entonces

$$x^m+1=x^{qn+r}+1={\left(x^n\right)}^q·x^r+1$$

que se comporta como$1^q·x^r+1$.

127. Supongamos$x^{2013}+1=\left(x^2+x+1\right)q(x)+r(x)$, donde deg (r (x)) < 2. Entonces

$$\begin{array}{ccc}(x^{2013}+1)(x-1)\hfill & =\hfill & x^{2014}-x^{2013}+x-1\hfill \\ \hfill & =\hfill & (x^3-1)q\left(x\right)+(x-1)r\left(x\right).\hfill \end{array}$$

Ahora

$$x^{2014}-x^{2013}+x-1=\left(x^3-1\right)(x^{2011}-x^{2008}+x^{2008}-x^{2007}+x^{2004}-x^{2003}+\cdots +x+2x-2$$

por lo que el resto r (x) = 2.

Nota: Si x satisface x ² + x + 1 = 0, entonces x ³ − 1 = 0 y$x\ne 1$.

$\propto x^{2013}+1={\left(x^3\right)}^{671}+1$se comporta igual que 1 ⁶⁷¹ + 1 = 2, entonces r (x) = 2.

128.

(a)

$${(a+bi)}^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left[\frac{b}{a^2+b^2}\right]i.$$

b)

$$p(x)=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right).$$

(Supongamos que la ecuación cuadrática

$$p(x)=x^2+cx+d=0,$$

con coeficientes reales c, d, tiene x = a + ib como raíz. Luego toma el complejo conjugado de la ecuación p (x) = 0 para ver que x = a − ib es también un rooti de

$$p(x)=x^2+cx+d=0.$$

Por lo tanto

$$\begin{array}{l}p(x)=x^2+cx+d\\ =(x-(a+ib))(x-(a-ib)),\end{array}$$

entonces c = −2 a, y d = a ² + b ².)

129. Que los dos números desconocidos sean α y β. Entonces 10 = α + β, y 40 = αβ, entonces α y β son raíces de la ecuación cuadrática x ² − 10 x + 40 = 0. De ahí

$$\alpha ,\beta =\frac{10\pm \sqrt{100-160}}{2}=5\pm \sqrt{-15}.$$

130.

a) Aplicando un simple reordenamiento:

$$\begin{array}{l}wz=r(\end{array}$$cosθ+ipecadoθ)·s(cos9+ipecadoϕ)        =rs[(cosθ·cosϕ−pecadoθpecadoϕ)+i(cosθ·pecadoϕ+pecadoθ·cosϕ)]        =rs[cos(θ+ϕ)+ipecado(θ+ϕ)]

(por la fórmula de adición habitual: Problema 35)

b) Por la parte a),

$${(}^{}$$cosθ+ipecadoθ) 2 =cos(2θ)+ipecado(2θ).

De ahí

$$\begin{array}{ccc}{(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )}^3\hfill & =\hfill & {(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )}^2(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )\hfill \\ \hfill & =\hfill & [\cos \left(2\theta \right)+i\mathrm{pecado}\left(2\theta \right)]\cdot (\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )\hfill \\ \hfill & =\hfill & \cos \left(3\theta \right)+i\mathrm{pecado}\left(3\theta \right).\hfill \end{array}$$

Etc.

Nota: Esto realmente debería presentarse como una “prueba por inducción matemática”, donde (habiendo establecido los casos iniciales) “suponemos que el resultado se mantiene para las potencias n = 1, 2, 3,..., k”, y luego concluimos que

$$\begin{array}{ccc}{(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )}^{k+1}\hfill & =\hfill & {(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )}^k(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )\hfill \\ \hfill & =\hfill & [\cos \left(k\theta \right)+i\mathrm{pecado}\left(k\theta \right)](\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )\hfill \\ \hfill & =\hfill & \cos \left(\right(k+1\left)\theta \right)+i\mathrm{pecado}\left(\right(k+1\left)\theta \right).\hfill \end{array}$$

c)$z^n=r^n(\cos (n\theta )+$ipecado(nθ)). De ahí que si$z^n=1$, luego$\left|z^n\right|=r^n=1$Entonces r=1 (ya que$$r⩾0).

131.

(a) Factorizamos: x ³ − 1 = (x − 1) (x ² + x + 1, así las raíces son x = 1; y

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

es decir, las otras dos raíces son

$$x=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)+$$ipecado( 2π 3 )

y

$$x=\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+$$ipecado( − 2π 3 ).

b) Factorizamos:

$$x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right),$$

entonces las raíces son x = 1, x = −1, x = i, x = − i.

(c) Factorizamos:

$$\begin{array}{ccc}{x}^6-1\hfill & =\hfill & [{\left(x^2\right)}^3-1]\hfill \\ \hfill & =\hfill & (x^2-1)(x^4+x^2+1)\hfill \\ \hfill & =\hfill & (x-1)(x+1)[{\left(x^2\right)}^2+x^2+1],\hfill \end{array}$$

por lo que las raíces son

− x = 1, x = − 1, y

− cuatro valores adicionales de x satisfaciendo$x^2=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$: es decir,

$$x=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+$$ipecado( π 3 )= 1 2 + 3 2 i

y

$$x=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)+$$ipecado( 2π 3 )=− 1 2 + 3 2 i

y

$$x=\cos \left(\frac{-\pi }{3}\right)+$$ipecado( −π 3 )= 1 2 − 3 2 i

y

$$x=\cos \left(\frac{-2\pi }{3}\right)+$$ipecado( −2π 3 )=− 1 2 − 3 2 i.

d) Factorizamos:

$$\begin{array}{ccc}{x}^8-1\hfill & =\hfill & (x^4-1)(x^4+1)\hfill \\ \hfill & =\hfill & (x^2-1)(x^2+1)(x^2+\sqrt{2}\cdot x+1)(x^2-\sqrt{2}\cdot x+1)\hfill \end{array}$$

por lo que las raíces son

− x = 1, x = −1;

− x = i, x = − i, y

− las raíces de$x^2+\sqrt{2}·x+1=0$y$x^2-\sqrt{2}·x+1=0$, que resultan ser

$$x=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+$$ipecado( π 4 )= 2 2 + 2 2 i

y

$$x=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+$$ipecado( − π 4 )= 2 2 − 2 2 i

y

$$x=\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)+$$ipecado( 3π 4 )=− 2 2 + 2 2 i

y

$$x=\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)+$$ipecado( − 3π 4 )=− 2 2 − 2 2 .

132. [En el Problema 114 te dejaron elaborar la factorización requerida con tus propias manos, y un poco de conjeturas inspiradas. El enfoque sugerido aquí es más sistemático.]

Las raíces de x ⁴ + 1 = 0 son números complejos cuyo cuarto poder es igual a eso es,

$$x=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+$$ipecado( π 4 )= 2 2 + 2 2 i

y

$$x=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+$$ipecado( − π 4 )= 2 2 − 2 2 i

y

$$x=\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)+$$ipecado( 3π 4 )=− 2 2 + 2 2 i

y

$$x=\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right))+$$ipecado( − 3π 4 )=− 2 2 − 2 2 i.

Los dos primeros son conjugados complejos y dan lugar a dos factores lineales cuyo producto es$x^2+\sqrt{2}·x+1$; los otros dos son conjugados complejos y dan lugar a dos factores lineales cuyo producto es$x^2-\sqrt{2}·x+1$. De ahí

$$x^4+1=\left(x^2+\sqrt{2}·x+1\right)\left(x^2-\sqrt{2}·x+1\right).$$

133.

(a) Las raíces de x ⁵ − 1 = 0 son precisamente los cinco números complejos de la forma

$$\cos ($$2kπ 5 )+ipecado( 2kπ 5 ),$for$k=0,1,2,3,4:

es decir,

$$\begin{array}{l}x=1\\ x=\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)+\end{array}$$ipecado( 2π 5 ) x=cos( 4π 5 )+ipecado( 4π 5 ) x=cos( 6π 5 )+ipecado( 6π 5 ) x=cos( 8π 5 )+ipecado( 8π 5 ).

Del Problema 3 (c) sabemos que

$$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\cos \left(\frac{8\pi }{5}\right)\\ \mathrm{pecado}\left(\frac{2\pi }{5}\right)=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}=-\mathrm{pecado}\left(\frac{8\pi }{5}\right)\\ \cos \left(\frac{4\pi }{5}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\cos \left(\frac{6\pi }{5}\right)\\ \mathrm{pecado}\left(\frac{4\pi }{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}=-\mathrm{pecado}\left(\frac{6\pi }{5}\right).\end{array}$$

(b) El factor lineal es claramente (x − 1). Cada factor cuadrático surge como el producto de dos de dos factores lineales conjugados. Vimos en el Problema 128 (b) que dos factores lineales correspondientes a las raíces a + bi y a - bi producen el factor cuadrático$x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)$. De ahí que los dos factores cuadráticos son:

$$x^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}·x+1,and{x}^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}·x+1$$

(cuyo producto es igual a x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1).

134.

(a) Poner a = 1, y = x + 1: luego x ^{3 + 3} x ² − 4 = 0 se convierte en y ³ − 3 y = 2.

(b) Dividir entre a (que podemos suponer que no es cero, ya que de lo contrario no sería una ecuación cúbica), para obtener una ecuación cúbica

$$x^3+p{x}^2+qx+r=0.$$

Si ahora ponemos$y=x+\frac{p}{3}$, entonces y ³ incorpora los términos x ³ y x ², y la ecuación se reduce a:

$$y^3+\left[q-3{\left(\frac{p}{3}\right)}^2\right]y+\left[r+2{\left(\frac{p}{3}\right)}^3-q\left(\frac{p}{3}\right)\right]=0.$$

135. Dada la ecuación x ³ + 3 x ² − 4 = 0. Dejar y = x + 1.

(i) Entonces y ³ = x ³ + 3 x ² + 3 x + 1, entonces 0 = x ³ + 3 x ² − 4 = y ³ − 3 y − 2.

(ii) Establecer y = u + v y utilizar el hecho de que

$${(u+v)}^3=u^3+$$3uv(u+v)+ v 3

es una identidad, y así se sostiene para todos u y v.

(iii) Resolver “3uv = 3”, “u ³ + v ³ = 2”. Sustituto$v=\frac{1}{u}$de la primera ecuación a la segunda para obtener la ecuación cuadrática en${\left(u^3\right)}^2-2u^3+1=0$: es decir,${\left(u^3-1\right)}^2=0$, Entonces u ³ = 1.

(iv) De ahí que u = 1 es sin duda una solución. (Sabemos que también hay complejas raíces cúbicas de 1; estas conducen a las otras dos soluciones del cúbico original, pero para “resolver la ecuación” basta con encontrar una solución). De ahí v = 1, entonces y = u + v = 2, y x = 2.

136. El algoritmo euclidiano para enteros ordinarios surge repitiendo el algoritmo de división:

enteros dados$m,n(\ne 0)$, existe enteros únicos q, r tal que m = qn + r donde$$0⩽r<n.

Aquí q es el cociente (la parte entera de la división$m÷n$), y r es el resto. Si luego reemplazamos el par inicial (m, n) por el nuevo par (n, r) y repetimos hasta obtener el resto 0, entonces el último resto distinto de cero es igual a HCF (m, n) (ver Problema 6). La misma idea también funciona para polinomios con coeficientes enteros (ver Problema 126).

Comenzamos por aclarar a qué nos referimos con divisibilidad para los enteros gaussianos. Dados dos enteros gaussianos, m = a + bi y n = c + di, decimos que n = c + di divide m = a + bi (exactamente) precisamente

cuando existe algún otro entero gaussiano q = e + fi tal que m = qn: es decir, a + bi = (e + fi) (c + di).

Por ejemplo, 2 + 3 i divide −4 + 7 i porque (1 + 2 i) (2 + 3 i) = −4 + 7 i.

Si m = a + bi y n = c + di son cualesquiera enteros gaussianos antiguos, entonces no será en general cierto que “n divide m”, pero podemos imitar el algoritmo de división. La idea importante aquí a la hora de realizar cálculos particulares es darse cuenta de que “dividir por c + di” es lo mismo que “multiplicar por$\frac{c-di}{c^2+d^2}$”

• primero llevar a cabo la división$$m÷n=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2};$$
• luego tome el entero gaussiano “más cercano” q = e + fi, y deje que la diferencia m − qn = r sea el resto.

En cuanto a los enteros ordinarios, cualquier entero gaussiano que sea un “factor común de m y n” es entonces automáticamente un factor común de n y de r = m − qn, y a la inversa. Es decir, los factores comunes de m y n son precisamente los mismos que los factores comunes de n y r. Entonces podemos repetir el proceso reemplazando m, n por n, r. Siempre que el “resto” r sea en cierto sentido “menor” que n, podemos continuar hasta llegar a una etapa donde el resto r = 0 - en cuyo punto, el último resto distinto de cero es igual al HCF (m, n) (es decir, el entero gaussiano que es el HCF de los dos números enteros gaussianos iniciales m, n).

La característica de los restos que se hacen cada vez más pequeños es su norma (ver Problema 25 y Problema 54). Como tantas veces, esto se vuelve más claro cuando miramos un ejemplo.

Tratemos de encontrar el HCF de los dos enteros gaussianos m = 14−42 i y n = 4 −7 i.

• Primero haz la división$$m÷n=\frac{(14-42i)(4+7i)}{4^2+7^2}=\frac{350}{65}-\frac{70}{65}i.$$
• Lo que se entiende por el entero gaussiano más cercano puede requerir un elemento de juicio; pero es claro que la respuesta es bastante cercana a 5 − i = q, donde qn = 13 − 39 i, con el resto r = m − qn = 1 − 3 i.
• Ahora repite el proceso con n, r:$$n÷r=\frac{(4-7i)(1+3i)}{1^2+3^2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i.$$
• El entero gaussiano más cercano no está bien definido, pero la respuesta es bastante cercana a$3=q^{\prime }$. Entonces$q^{\prime }r=3-9i$, con el resto$r^{\prime }=n-q^{\prime }r=1+2i$.
• Ahora repite el paso con el par r = 1 − 3 i y$r^{\prime }=1+2i$, para descubrir que$$1-3i=-(1+i)(1+2i)$$con el resto 0. De ahí$$1+2i=$$HCF(14−42i,4−7i).

Nota: Una forma de imaginar el proceso es aprender a “ver” los enteros gaussianos geométricamente. Cada entero gaussiano (como un + bi) se puede escribir como una combinación entera de los dos enteros gaussianos básicos “1" e “i”, a saber

$$a+bi=a\times 1+b\times i.$$

Dado que 1 e i son ambos de longitud 1 y perpendiculares entre sí, esto representa el conjunto de todos los enteros gaussianos como los puntos en una “celosía de puntos cuadrados” generados por las traducciones en las direcciones x - e y - del cuadrado unitario básico abarcado por 0, 1, i, y 1 + i.

Cualquier otro entero gaussiano dado, como n = c + di, entonces genera una celosía cuadrada “estirada y rotada”, que consiste en todos los “múltiplos gaussianos” de c + di - generados por el cuadrado básico que se extiende por

$$0,(c+di)\times 1,(c+di)\times i,and(c+di)\times (1+i).$$

Cada entero gaussiano (o más bien el punto, o punto, que le corresponde) se encuentra en el límite, o dentro, uno de estos cuadrados “estirados y girados” más grandes: si la diagonal de uno de estos cuadrados más grandes tiene longitud 2 k, entonces cualquier otro entero gaussiano m = a + bi yace dentro de uno de estos cuadrados más grandes, y así se encuentra dentro de la distancia k (es decir, media diagonal) de algunos (gaussianos) múltiples qn de n = c + di. Y la diferencia m − qn es precisamente el resto requerido r.

Extra: Interpretamos$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}=2$. Demostrar que

$$\sqrt[1]{-\sqrt[1]{-1}}\approx 23\frac{1}{7}$$

(donde ≈ denota “aproximadamente igual a”).