4.6: Un extra

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De vuelta en el Capítulo 1, Problema 6 introdujimos el algoritmo euclidiano para enteros. La misma idea se extendió a polinomios con coeficientes enteros en el Problema 126. En ambas configuraciones se inicia con un dominio (ya sea el conjunto de enteros, o el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enteros) donde hay una noción de divisibilidad: dados dos elementos m, n en el dominio relevante, decimos

“n divide m” si existe un elemento q en el dominio tal que m = qn.

El siguiente problema invita a pensar cómo se podría extender el algoritmo euclidiano a un nuevo dominio, a saber, los enteros gaussianos [i] − el conjunto de todos los números complejos a + bi en el que las “coordenadas” reales e imaginarias a y b son enteros.

Problema 136 Los números complejos a + bi, donde tanto a como b son enteros, se llaman enteros gaussianos. Trate de formular una versión del “algoritmo de división” para “división con resto” (donde el resto es siempre “menor que” el divisor en algún sentido) para pares de enteros gaussianos. Extiende esto para construir una versión del algoritmo euclidiano para encontrar el HCF de dos enteros gaussianos dados.

Es una verdad profundamente errónea... que debemos cultivar el hábito de pensar lo que estamos haciendo.

Lo contrario exacto es el caso. La civilización avanza extendiendo el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensarlas.

Alfred Norte Whitehead (1861—1947)