5.3: Áreas, longitudes y ángulos

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Problema 174 Un trozo rectangular de pastel de frutas tiene una capa de glaseado en la parte superior y hacia abajo de un lado para formar una losa rectangular de pastel más grande (como se muestra en la Figura 3).

$Ch05-001.jpeg$

Figura 3: Glaseado en el pastel

Describe cómo hacer un solo corte recto para dividir tanto el pastel de frutas como el glaseado exactamente por la mitad. (El grosor de la formación de hielo en la parte superior no es necesariamente el mismo que el grosor del lado).

Problema 175

(a) ¿Cuál es el ángulo entre las dos manecillas de un reloj a 1:35? ¿Puedes encontrar otro momento en el que el ángulo entre las dos manos sea el mismo que este?

b) ¿Cuántas veces al día 'coinciden' las dos manecillas de un reloj? ¿Y en qué horarios coinciden?

Problema 176 Las marcas de doce horas para un reloj están marcadas en la circunferencia de un círculo unitario para formar los vértices de un dodecágono regular ABCDEFGHIJKL. Calcular exactamente (es decir, usando el Teorema de Pitágoras en lugar de trigonometría) las longitudes de todos los segmentos de línea posibles que unen dos vértices del dodecágono.

Problema 177 Considera la celosía de todos los puntos (k, m, n) en 3 dimensiones con coordenadas enteras k, m, n. ¿Cuál de las siguientes distancias se puede realizar entre puntos de celosía?

$\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{9}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{13}, \sqrt{13}, \sqrt{15}, \sqrt{16}, \sqrt{16}, \sqrt{17}$

Problema 178

(a) Cinco vértices A, B, C, D, E están dispuestos en orden cíclico. Sin embargo, en lugar de unir cada vértice a sus dos vecinos inmediatos para formar un pentágono convexo, unimos cada vértice al siguiente pero un vértice para formar una estrella pentagonal, o pentagrama ACEBD. Calcular la suma de los cinco “ángulos” en cualquiera de esas estrellas pentagonales.

(b) Hay dos tipos de estrellas de 7 gonales. Calcular la suma de los ángulos en los siete vértices para cada tipo.

c) Tratar de extender los dos resultados anteriores (y las pruebas) a estrellas n -gonales arbitrarias.

Problema 179

(a) Un pentágono regular ABCDE con bordes de longitud 1 está rodeado en el plano por cinco nuevos pentágonos regulares: ABMN unido a AB, BCOPQ unido a BC, y así sucesivamente.

(i) Demostrar que M, N, X, Y se encuentran en una línea.

(ii) Demostrar que MPSVY es un pentágono regular.

(iii) Encuentra la longitud del borde de este pentágono regular circundante más grande.

(b) Dado un pentágono regular MPSVY, con una longitud de borde 1, dibujar las cinco diagonales para formar el pentagrama MSYPV. Deje que PY se encuentre con MV en A y MS en B; deje que PV se encuentre con MS en C y SY en D; y deje que SY conozca a VM en E.

(i) Demostrar que ABCDE es un pentágono regular.

(ii) Demostrar que A, B y M son tres vértices de un pentágono regular ABLMN, donde L se encuentra en MP y N se encuentra en MY.

(iii) Encontrar la longitud del borde del pentágono regular ABCDE.

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