5.4: Tilings regulares y semi-regulares en el plano

En el Problema 36 vimos que un n-gon regular tiene un circuncentro O. Si unimos cada vértice al punto O, obtenemos n triángulos, cada uno con suma de ángulo π. De ahí que la suma total del ángulo en todos los n triángulos sea πn. Dado que los n ángulos alrededor del punto O se suman a 2π, los ángulos del n -gon regular en sí tienen sum (n-2) π. Por lo tanto, cada ángulo del n -gon regular tiene tamaño$\left(1-\frac{2}{n}\right)\pi$. (En el siguiente capítulo probarás el resultado general de que la suma de los ángulos en cualquier n -gon es igual a (n-2) π radianes.)

Problema 180 Un mosaico regular del plano es una disposición de polígonos regulares idénticos, que encajan de borde a borde para cubrir el plano sin superposiciones.

(a) Demostrar que si es posible un mosaico regular del avión con p-gons, entonces p = 3,4, o 6.

b) Demostrar que existe un mosaico regular del plano para cada uno de los valores de (a).

Nos referimos a la disposición de las baldosas alrededor de un vértice como la figura del vértice. En un mosaico regular todas las figuras de vértice son automáticamente idénticas, por lo que es natural referirse al mosaico en términos de su figura de vértice. Cuando p = 3, exactamente q = 6 fichas encajan juntas en cada vértice, y abreviamos “seis triángulos equiláteros” como 3 ⁶. De la misma manera denotamos el mosaico cuya figura de vértice consiste en “cuatro cuadrados” como 4 ⁴, y el mosaico cuya figura de vértice consiste en “tres hexágonos regulares” como 6 ³.

El enfoque natural en la parte (a) del Problema 180 consiste primero en identificar qué figuras de vértice no tienen huecos ni superposiciones, lo que da una condición necesaria para que exista un alicatado regular. Es tentador detenerse ahí, y asumir que esta condición obvia necesaria también es suficiente. La tentación surge en parte porque los tilings regulares bidimensionales son muy familiares. Pero es importante reconocer la distinción entre una condición necesaria y una condición suficiente; así se debe resistir la tentación, y dar una construcción.

El procedimiento oculto en la solución al Problema 180 ilustra una estrategia clave, que se remonta a los antiguos griegos, y que se llama el método de análisis.

• Primero, imaginamos que tenemos una solución típica al problema -quizás dándole un nombre (aunque todavía no sepamos nada sobre tal solución).
• Luego utilizamos las condiciones dadas para deducir características que cualquier solución de este tipo debe tener necesariamente.
• Y seguimos derivando cada vez más condiciones necesarias hasta que creamos que nuestra lista de condiciones derivadas también puede ser suficiente.
• Finalmente mostramos que cualquier configuración que satisfaga nuestra lista final derivada de condiciones necesarias es de hecho una solución al problema original, de manera que la lista de condiciones necesarias es de hecho suficiente, y efectivamente hemos identificado todas las soluciones posibles.

Esto es lo que hicimos de una manera muy sencilla en la solución al Problema 180: la condición sobre las figuras de vértice daba una condición necesaria evidente, que resultó ser suficiente para garantizar que existe tal alicatado. La misma estrategia general guió nuestra clasificación de triples pitagóricos primitivos en el Problema 23.

En el siglo XVII, esta antigua estrategia griega fue desarrollada aún más por Fermat (1601-1665), y por Descartes (1596-1650). Por ejemplo, Fermat dejó muy pocas pruebas; pero su prueba de que la ecuación

$$x^4+y^4=z^4$$

no tiene soluciones en números enteros positivos x, y, z ilustró el método:

• Fermat comenzó suponiendo que existe una solución, y concluyó que (x ², y ², z ²) sería entonces un triple pitagórico.
• La fórmula conocida para tales triples pitagóricos le permitió entonces derivar condiciones necesarias aún más fuertes en x, y, z.
• ¡Estas condiciones eran tan fuertes que nunca pudieron ser satisfechas!

Descartes desarrolló un “método”, mediante el cual los problemas de geometría dura podrían resolverse traduciéndolos en álgebra, esencialmente usando el método de análisis.

• Ante un problema duro, Descartes primero imaginó que tenía un punto, o un locus, o una curva del tipo requerido para una solución.
• Luego introdujo las coordenadas “x” e “y” para denotar incógnitas que estaban vinculadas en el problema a resolver, e interpretó las condiciones dadas como ecuaciones que las incógnitas x e y tendrían que satisfacer (es decir, como restricciones necesarias).
• Las soluciones a estas ecuaciones correspondieron entonces a posibles soluciones del problema original.
• En ocasiones el álgebra no generaba del todo una condición suficiente, dando lugar a “pseudo-soluciones” (valores de x que satisfacen las condiciones necesarias, pero que no correspondían a soluciones reales). Por lo que era importante verificar cada solución aparente -exactamente como lo hicimos en el Problema 180 (b), donde comprobamos que podemos construir tilings para cada una de las figuras de vértice que surgen en la parte (a).

La importancia del paso final en este proceso (verificar que la lista de restricciones necesarias también es suficiente) se subraya en el siguiente problema donde intentamos clasificar ciertos tilings “casi regulares”.

Problema 181 Un ordenamiento semirregular del plano es una disposición de polígonos regulares (no necesariamente todos idénticos), que encajan de borde a borde para cubrir el plano sin superposiciones, y tal que las disposiciones de las baldosas alrededor de dos vértices cualesquiera son congruentes.

(a) (i) Refina tu argumento en el Problema 180 (a) para enumerar todas las posibles figuras de vértices en un mosaico semi-regular.

(ii) Tratar de encontrar condiciones adicionales necesarias para eliminar las cifras de vértices que no puedan realizarse, hasta que su lista de condiciones necesarias parezca probable ser suficiente.

b) Las condiciones necesarias en la parte a) dan lugar a una lista finita de posibles figuras de vértice. Construir todos los tilings posibles correspondientes a esta lista de posibles figuras de vértices.

Los azulejos semi-regulares a menudo se llaman azulejos de Arquímedes. El motivo de este nombre sigue sin estar claro. Pappus (c. 290-c. 350 d.C.), escrito a más de 500 años de la muerte de Arquímedes (d. 212 a.C.), afirmó que Arquímedes clasificó los poliedros semi-regulares. Ahora la clasificación de los poliedros semi-regulares (Problema 190) utiliza un enfoque similar a la clasificación de los tilings planos, excepto que la suma de los ángulos en cada vértice tiene una suma menor que (en lugar de exactamente igual a) 360°. Entonces puede ser que los tilings semi-regulares lleven el nombre de Arquímedes simplemente porque hizo algo similar para los poliedros; o puede ser que, dado que las desigualdades son más difíciles de controlar que las igualdades, alguien insinuó (quizás duodamente) que Arquímedes debió haber sabido sobre los tilings semi-regulares así como sobre poliedros semi-regulares. Cualquiera que sea la razón, los tilings y los poliedros han fascinado a matemáticos, artistas y artesanos por todo tipo de razones inesperadas, como lo indica:

• el hecho de que la clasificación y construcción de los cinco poliedros regulares aparecen como culminación de los trece libros de Elementos de Euclides (florecido c. 300 a.C.);
• el antiguo intento griego de vincular los cinco poliedros regulares con los cuatro elementos (tierra, aire, fuego y agua) y el cosmos;
• los azulejos cerámicos que se encuentran en el arte islámico, por ejemplo, en las paredes de la Alhambra en Granada;
• el libro De Divina Proporciones de Luca Pacioli (c. 1445-1509), y la continua fascinación por la proporción áurea;
• los bocetos geométricos de Leonardo da Vinci (1452-1519);
• la obra de Kepler (1571-1630) quien utilizó los poliedros regulares para explicar su audaz cosmología teórica en la Astronomía Nova (1609).