6.2: Interés Compuesto
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En esta sección, aprenderás a:
- Encuentre el valor futuro de una suma global.
- Encuentra el valor actual de una suma global.
- Encuentra la tasa de interés efectiva.
Interés Compuesto
En el último apartado, examinamos problemas que involucran interés simple. Los intereses simples generalmente se cobran cuando el período de préstamo es corto y a menudo inferior a un año. Cuando el dinero es prestado o prestado por un periodo de tiempo más largo, si los intereses se pagan (o cobran) no sólo sobre el principal, sino también sobre los intereses pasados, entonces decimos que el interés está compuesto.
Supongamos que depositamos $200 en una cuenta que paga 8% de interés. Al cierre de un año, tendremos $200 + $200 (.08) = $200 (1 + .08) = $216.
Ahora supongamos que ponemos esta cantidad, 216 dólares, en la misma cuenta. Después de otro año, tendremos $216 + $216 (.08) = $216 (1 + .08) = $233.28.
Por lo que un depósito inicial de $200 se ha acumulado a 233.28 dólares en dos años. Obsérvese además que de haber sido simple interés, esta cantidad se habría acumulado a sólo 232 dólares. La razón por la que el monto es ligeramente superior es porque el interés ($16) que ganamos el primer año, se volvió a poner en la cuenta. Y este monto de 16 dólares obtuvo por un año un interés de 16 dólares (.08) = $1.28, resultando así en el incremento. Entonces hemos ganado intereses sobre el principal así como sobre los intereses pasados, y por eso lo llamamos interés compuesto.
Ahora supongamos que dejamos esta cantidad, $233.28, en el banco por otro año, la cantidad final será de $233.28 + $233.28 (.08) = $233.28 (1 + .08) = $251.94.
Ahora veamos la parte matemática de este problema para que podamos idear una manera más fácil de resolver estos problemas.
Después de un año, teníamos $200 (1 + .08) = $216
Después de dos años, teníamos $216 (1 + .08)
Pero $216 = $200 (1 + .08), por lo tanto, la expresión anterior se convierte en
\[\$ 200(1+.08)(1+.08) = \$ 200(1+.08)^2=\$ 233. 28 \nonumber \]
Después de tres años, obtenemos
\[\$ 233.28(1+.08)=\$ 200(1+.08)(1+.08)(1+.08) \nonumber \]
que se puede escribir como
\[\$ 200(1+.08)^{3}=\$ 251.94 \nonumber \]
Supongamos que se nos pide encontrar el monto total al final de 5 años, obtendremos
\[200(1+.08)^{5}=\$ 293.87 \nonumber \]
Resumimos de la siguiente manera:
| La cantidad original | $200 | = $200 |
| El monto después de un año | $200 (1 + .08) | = $216 |
| El monto después de dos años | $200 (1 + .08) 2 | = 233.28 |
| El monto después de tres años | $200 (1 + .08) 3 | = $251.94 |
| El monto después de cinco años | $200 (1 + .08) 5 | = 293.87 |
| El monto después de t años | $200 (1 + .08) t |
PERÍODOS COMPUESTOS
Los bancos suelen componer intereses más de una vez al año. Considera un banco que paga 8% de interés pero lo complica cuatro veces al año, o trimestralmente. Esto significa que cada trimestre el banco pagará un interés igual a una cuarta parte del 8%, o 2%.
Ahora si depositamos $200 en el banco, después de un trimestre tendremos\(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)\) o $204.
Después de dos trimestres, tendremos\(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{2}\) o $208.08.
Después de un año, tendremos\(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{4}\) o $216.49.
Después de tres años, tendremos\(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{12}\) o $253.65, etc.
| La cantidad original | $200 | = $200 |
| La cantidad después de un trimestre | \(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)\) | = $204 |
| La cantidad después de dos trimestres | \(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{2}\) | = $208.08 |
| El monto después de un año | \(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{4}\) | = 216.49 |
| El monto después de dos años | \(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{8}\) | = 234.31 |
| El monto después de tres años | \(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{12}\) | = $253.65 |
| El monto después de cinco años | \(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{20}\) | = 297.19 |
| El monto después de t años | \(\$ 200\left(1+\frac{.08}{4}\right)^{4t}\) |
Por lo tanto, si invertimos una suma global de\(P\) dólares a una tasa de interés\(r\), compuesta\(n\) veces al año, entonces después de\(t\) años el monto final viene dado por
\[A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t} \nonumber \]
Los siguientes ejemplos utilizan la fórmula de interés compuesto\(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)
Si se invierten 3500 dólares al 9% compuesto mensual, ¿cuál será el valor futuro en cuatro años?
Solución
Claramente se paga un interés de .09/12 todos los meses por cuatro años. El interés se compone de\(4 \times 12 = 48\) tiempos a lo largo del cuatrienio. Obtenemos
\[\mathrm{A}=\$ 3500\left(1+\frac{.09}{12}\right)^{48}=\$ 3500(1.0075)^{48}=\$ 5009.92 \nonumber \]
$3500 invertidos al 9% compuesto mensual se acumularán a $5009.92 en cuatro años.
¿Cuánto se debe invertir en una cuenta pagando 9% compuesto diariamente para que se acumule a $5,000 en cinco años?
Solución
Conocemos el valor futuro, pero necesitamos encontrar el principal.
\ [\ begin {array} {l}
\ $ 5000=P\ left (1+\ frac {.09} {365}\ derecha) ^ {365\ times 5}\\
\ $ 5000=P (1.568225)\\
\ $ 3188.32=P
\ end {array}\ nonumber\]
$3188,32 invertidos en una cuenta pagando 9% compuesto diariamente se acumularán a $5,000 en cinco años.
Si se invierten $4,000 al 4% compuesto anualmente, ¿cuánto tiempo tardará en acumularse a $6,000?
Solución
\(n = 1\)porque la composición anual significa componer sólo una vez al año. La fórmula se simplifica a\(A=(1+r)^{t}\) cuándo\(n = 1\).
\ [\ begin {alineado}
\ $6000 &=4000 (1+.04) ^ {t}\
\ frac {6000} {4000} &=1.04^ {t}\\
1.5 &=1.04^ {t}
\ end {alineado}\ nonumber\]
Utilizamos logaritmos para resolver el valor de\(t\) porque la variable\(t\) está en el exponente.
\[t=\log _{1.04}(1.5) \nonumber \]
Usando la fórmula de cambio de base podemos resolver para\(t\):
\[t=\frac{\ln (1.5)}{\ln (1.04)}=10.33 \text { years } \nonumber \]
Se necesitan 10.33 años para que $4000 se acumule a $6000 si se invierte al 4% de interés, compuesto anualmente
Si ahora se invierten $5,000 por 6 años qué tasa de interés compuesta trimestralmente se necesita para obtener un valor acumulado de $8000.
Solución
Tenemos\(n = 4\) para compounding trimestral.
\ [\ begin {alineado}
\ $8000 &=\ $5000\ izquierda (1+\ frac {r} {4}\ derecha) ^ {4\ times 6}\
\ frac {\ $8000} {\ $5000} &=\ izquierda (1+\ frac {r} {4}\ derecha) ^ {24}\
1.6 &=\ izquierda (1+\ frac {r} {4}\ derecha) ^ {24}
\ end {alineado}\ nonumber\]
Utilizamos raíces para resolver\(t\) porque la variable\(r\) está en la base, mientras que el exponente es un número conocido.
\[\sqrt[24]{1.6}=1+\frac{\mathrm{r}}{4} \nonumber \]
Muchas calculadoras tienen una clave o función “enésima raíz” incorporada. En la calculadora TI-84, esto se encuentra en el menú Matemáticas. Las raíces también se pueden calcular como exponentes fraccionarios; si es necesario, el paso anterior se puede reescribir como
\[1.6^{1 / 24}=1+\frac{\mathrm{r}}{4} \nonumber \]
Evaluar el lado izquierdo de la ecuación da
\ [\ begin {array} {l}
1.0197765=1+\ frac {\ mathrm {r}} {4}\\
0.0197765=\ frac {\ mathrm {r}} {4}\
\ mathrm {r} =4 (0.0197765) =0.0791
\ end {array}\ nonumber\]
Se necesita una tasa de interés de 7.91% para que los 5000 dólares invertidos ahora se acumulen a $8000 al final de 6 años, con intereses compuestos trimestrales.
Tasa de interés efectiva
Los bancos están obligados a declarar su tasa de interés en términos de “rendimiento efectivo” o “tasa de interés efectiva”, para fines de comparación. La tasa efectiva también se denomina Rendimiento Porcentaje Anual (APY) o Tasa de Porcentaje Anual (TAE).
La tasa efectiva es la tasa de interés compuesta anualmente sería equivalente a la tasa establecida y a los períodos compuestos. El siguiente ejemplo muestra cómo calcular la tasa efectiva.
Para examinar varias inversiones para ver cuál tiene la mejor tasa, encontramos y comparamos la tasa efectiva para cada inversión.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\) ilustra cómo calcular la tasa efectiva.
Si el Banco A paga 7.2% de interés compuesto mensualmente, ¿cuál es la tasa de interés efectiva?
Si el Banco B paga 7.25% de intereses compuestos semestralmente, ¿cuál es la tasa de interés efectiva? ¿Qué banco paga más intereses?
Solución
Banco A: Supongamos que depositamos $1 en este banco y lo dejamos por un año, obtendremos
\ [\ begin {array} {l}
1\ left (1+\ frac {0.072} {12}\ derecha) ^ {12} =1.0744\
\ mathrm {r} _ {\ mathrm {EFF}} =1.0744-1=0.0744
\ end {array}\ nonumber\]
Ganamos intereses de $1.0744 - $1.00 = $.0744 en una inversión de $1.
La tasa de interés efectiva es de 7.44%, a menudo denominada APY o TAE.
Banco B: La tasa efectiva se calcula como
\[\mathbf{r}_{\mathrm{EFF}}=1\left(1+\frac{0.072}{2}\right)^{2}-1=.0738 \nonumber \]
La tasa de interés efectiva es de 7.38%.
El Banco A paga intereses ligeramente superiores, con una tasa efectiva de 7.44%, en comparación con el Banco B con tasa efectiva 7.38%.
Compuesto continuo
Los intereses pueden ser compuestos anuales, semestrales, trimestrales, mensuales y diarios. Usando los mismos métodos de cálculo, podríamos componer cada hora, cada minuto e incluso cada segundo. A medida que el período de composición se acorta cada vez más, avanzamos hacia el concepto de composición continua.
Pero, ¿qué queremos decir cuando decimos que el interés se agrava continuamente, y cómo calculamos tales cantidades? Cuando el interés se agrava “infinitamente muchas veces”, decimos que el interés se agrava continuamente. Nuestro siguiente objetivo es derivar una fórmula para modelar la composición continua.
Supongamos que ponemos $1 en una cuenta que paga el 100% de intereses. Si el interés se compone una vez al año, el monto total después de un año será\(\$ 1(1+1)=\$ 2\).
- Si el interés se compone semestralmente, en un año tendremos\(\$ 1(1+1 / 2)^{2}=\$ 2.25\)
- Si el interés se compone trimestralmente, en un año tendremos\(\$ 1(1+1 / 4)^{4}=\$ 2.44\)
- Si el interés se compone mensualmente, en un año tendremos\(\$ 1(1+1 / 12)^{12}=\$ 2.61\)
- Si el interés se agrava diariamente, en un año tendremos\(\$ 1(1+1 / 365)^{365}=\$ 2.71\)
Mostramos los resultados de la siguiente manera:
| Frecuencia de composición | Fórmula | Monto total |
|---|---|---|
| Anualmente | \(\$ 1(1 + 1)\) | $2 |
| Semestralmente | \(\$ 1(1+1 / 2)^{2}\) | $2.25 |
| Trimestral | \(\$ 1(1+1 / 4)^{4}=\$ 2.44\) | $2.44140625 |
| Mensual | \(\$ 1(1+1 / 12)^{12}\) | $2.61303529 |
| Diariamente | \(\$ 1(1+1 / 365)^{365}\) | $2.71456748 |
| Por hora | \(\$ 1(1+1 / 8760)^{8760}\) | $2.71812699 |
| Cada minuto | \(\$1(1+1 / 525600)^{525600}\) | $2.71827922 |
| Cada Segundo | \(\$ 1(1+1 / 31536000)^{31536000} \) | $2.71828247 |
| Continuamente | \(\$ 1(2.718281828 \ldots)\) | $2.718281828... |
Hemos notado que el $1 que invertimos no crece sin ataduras. Comienza a estabilizarse a un número irracional 2.718281828... dado el nombre "e" después del gran matemático Euler.
En matemáticas, decimos que a medida que\(n\) se vuelve infinitamente grande la expresión equivale a\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) e.
Por lo tanto, es natural que el número e desempeñe un papel en la composición continua.
Se puede demostrar que a medida que\(n\) se vuelve infinitamente grande la expresión\(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}=e^{r t}\)
Por lo tanto, se deduce que si invertimos $\(P\) a una\(r\) tasa de interés anual, compuesta continuamente, después de\(t\) años el monto final será dado por
\[ A = P \cdot e^{rt} \nonumber \]
Se invierten 3500 dólares al 9% compuesto continuamente. Encuentra el valor futuro en 4 años.
Solución
Usando la fórmula para la composición continua, obtenemos\(A = Pe^{rt}\).\ begin {aligned}
A &=\ $3500 e^ {0.09\ times 4}\\
A &=\ $3500 e^ {0.36}\\
A &=\ $5016.65
\ end {alineado}
Si se invierte un monto al 7% compuesto continuamente, ¿cuál es la tasa de interés efectiva?
Solución
Si depositamos $1 en el banco al 7% compuesto continuamente durante un año, y restamos ese $1 del monto final, obtenemos la tasa de interés efectiva en decimales.\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {r} _ {\ mathrm {EFF}} =1\ mathrm {e} ^ {0.07} -1\\
\ mathrm {r} _ {\ mathrm {EFF}} =1.0725-1\
\ mathrm {r} _ {\ mathrm {EFF}} =.0725\ text {o} 7.25\%
\ fin {matriz}\ nonumber\]
Si se invierte una cantidad al 7% compuesta continuamente, ¿cuánto tiempo tardará en duplicarse?
Ofrecemos dos soluciones.
La Solución 1 utiliza logaritmos para calcular la respuesta exacta, por lo que se prefiere. Ya usamos este método en Ejemplo\(\PageIndex{3}\) para resolver el tiempo necesario para que una inversión se acumule a un valor futuro especificado.
La Solución 2 proporciona una solución estimada que es aplicable solo al tiempo de duplicación, pero no a otros múltiplos. Los estudiantes deben averiguar por su instructor si hay alguna preferencia en cuanto a qué método de solución se va a utilizar para duplicar problemas de tiempo.
Solución: Solución 1: Calculando la respuesta exactamente: \(P e^{0.07t} = A\).
No conocemos el valor inicial del prinicipal pero sí sabemos que el valor acumulado es el doble (dos veces) del principal.
\[\mathrm{P}_{e}^{0.07t}=2 \mathrm{P} \nonumber \]
Dividimos ambos lados por\(\mathrm{P}\)
\[e^{.07 t}=2 \nonumber \]
Usando logaritmo natural:
\ [\ begin {array} {l}
.07\ mathrm {t} =\ ln (2)\\
\ mathrm {t} =\ ln (2)/.07=9.9\:\ mathrm {años}
\ end {array}\ nonumber\]
Se necesitan 9.9 años para que el dinero se duplique si se invierte al 7% de interés continuo.
Solución 2: Estimando la respuesta utilizando la Ley del 70:
La Ley del 70 es una herramienta útil para estimar el tiempo necesario para que una inversión duplique su valor. Es una aproximación y no es exacta y viene de nuestra solución anterior. Calculamos que
\[\mathrm{t}=\ln (2) / \mathrm{r} \text{ where } \mathrm{r} \text{ was 0.07 in that solution.} \nonumber \]
Evaluando\(\ln(2) = 0.693\), da\(t = 0.693/\mathrm{r}\). Multiplicar numerador y denominador por 100 da\(t = 69.3/ (100\mathrm{r})\)
Si estimamos 69.3 por 70 y declaramos la tasa de interés como porcentaje en lugar de decimal, obtenemos la Ley del 70:
Ley del 70: El número de años requeridos para duplicar el dinero ≈ 70 ÷ tasa de interés
- Tenga en cuenta que se trata únicamente de una estimación aproximada.
- El tipo de interés se establece como porcentaje (no decimal) en la Ley del 70.
El uso de la Ley de 70 nos da\(t\) ≈ 70/7=10 que es cercano pero no exactamente al valor de 9.9 años calculado en la Solución 1.
| Tasa de interés anual | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% |
| Número de años para duplicar el dinero | 70 | 35 | 23 | 18 | 14 | 12 | 10 | 9 | 8 | 7 |
El patrón en la tabla se aproxima a la Ley del 70.
Con tecnología disponible para hacer cálculos usando logaritmos, utilizaríamos la Ley del 70 solo para estimaciones rápidas de tiempos de duplicación. Usar la Ley del 70 como estimación sólo funciona para duplicar tiempos, pero no otros múltiplos, por lo que no es un reemplazo para saber encontrar soluciones exactas.
Sin embargo, la Ley del 70 puede ser útil para ayudar a estimar rápidamente muchos problemas de “duplicación del tiempo” mentalmente, lo que puede ser útil en aplicaciones de interés compuesto así como otras aplicaciones que involucran crecimiento exponencial.
- En la tasa de crecimiento pico en la década de 1960 la población mundial tuvo un tiempo de duplicación de 35 años. En ese momento, aproximadamente ¿cuál era la tasa de crecimiento?
- A partir de 2015, la tasa de crecimiento anual de la población mundial era de aproximadamente 1.14%. Con base en esa tasa, encuentra el tiempo aproximado de duplicación.
Solución
a.- De acuerdo con la ley del 70,tiempo de duplicación =\(35 \approx 70 \div r\)
\(r \approx 2\)expresado como un porcentaje
Por lo tanto, la población mundial estaba creciendo a una tasa aproximada de 2% en la década de 1960.
b.. De acuerdo con la ley del 70,
duplicar\(t \approx 70 \div r = 70 \div 1.14 \approx 61\) años de tiempo
Si la población mundial siguiera creciendo a la tasa de crecimiento anual de 1.14%, tardarían aproximadamente 61 años para que la población se duplicara.
RESUMEN DE LA SECCIÓN 6.2
A continuación se muestra un resumen de las fórmulas que desarrollamos para los cálculos que involucran interés compuesto:
INTERÉS\(\mathbf{n}\) COMPUESTO veces al año
- Si una cantidad\(\mathrm{P}\) se invierte por\(t\) años a una tasa de interés\(r\) por año, compuesta\(n\) veces al año, entonces el valor futuro es dado por\[A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t} \nonumber \]\(\mathbf{P}\) se llama el principal y también se llama el valor presente.
- Si un banco paga una tasa de interés\(r\) por año, compuesta\(n\) veces al año, entonces la tasa de interés efectiva viene dada por\[\mathbf{r}_{\mathrm{EFF}}=\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n}-1 \nonumber \]
Interés continuamente compuesto
- Si una cantidad\(\mathrm{P}\) se invierte por\(t\) años a una tasa de interés\(r\) por año, compuesta continuamente, entonces el valor futuro viene dado por\[\mathrm{A} = \mathrm{P}e^{rt} \nonumber \]
- Si un banco paga una tasa de interés\(r\) por año, compuesta\(n\) veces al año, entonces la tasa de interés efectiva viene dada por\[\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=e^{\mathbf{r}}-1 \nonumber \]
- La Ley del 70 establece que
El número de años para duplicar el dinero es aproximadamente 70 ÷ tasa de interés