1.26: Pirámides y Conos
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Puedes usar una calculadora a lo largo de este módulo.
Nota: No necesariamente seguiremos las reglas de redondeo (precisión y exactitud) en este módulo. Muchas de estas cifras tienen dimensiones con solo una cifra significativa, pero perderíamos mucha información si redondeáramos los resultados a una sola sig fig.
En la clave de respuestas, a menudo redondearemos al número entero más cercano, o al décimo más cercano, o a dos o tres cifras significativas según consideremos apropiado.
Pirámides
Una pirámide es un sólido geométrico con una base poligonal y caras triangulares con un vértice común (llamado vértice de la pirámide). Las pirámides se nombran según la forma de sus bases. Las pirámides más comunes tienen un cuadrado u otro polígono regular para una base, haciendo que todas las caras sean triángulos isósceles idénticos. La altura,\(h\), es la distancia desde el ápice recto hacia abajo hasta el centro de la base. Otras dos medidas utilizadas con las pirámides son la longitud del borde\(e\), los lados de las caras triangulares y la altura inclinada\(l\), la altura de las caras triangulares.
Volumen de una pirámide
En general, el volumen de una pirámide con base de área\(B\) y altura\(h\) es
\[V=\dfrac{1}{3}Bh \nonumber \]
o
\[V=Bh\div3 \nonumber \]
Si la base es un cuadrado con longitud lateral\(s\), el volumen es
\[V=\dfrac{1}{3}s^{2}h \nonumber \]
o
\[V=s^{2}h\div3 \nonumber \]
Curiosamente, el volumen de una pirámide es\(\dfrac{1}{3}\) el volumen de un prisma con la misma base y altura.
1. Una pirámide tiene una base cuadrada con lados\(16\) centímetros de largo, y una altura de\(15\) centímetros. Encuentra el volumen de la pirámide.
2. La Gran Pirámide de Giza en Egipto tiene una altura de 137 metros y una base cuadrada con lados de 230 metros de largo. [1] Encuentra el volumen de la pirámide.
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1. \(1,280\text{ cm}^3\)
2. \(2.4\text{ million m}^3\)
El área de superficie lateral (\(LSA\)) de una pirámide se encuentra sumando el área de cada cara triangular.
Área de superficie lateral de una pirámide
Si la base de una pirámide es un polígono regular con\(n\) lados cada uno de longitud\(s\), y la altura inclinada es\(l\), entonces
\[LSA=\dfrac{1}{2}nsl \nonumber \]
o
\[LSA=nsl\div2 \nonumber \]
Si la base es un cuadrado, entonces
\[LSA=2sl \nonumber \]
La superficie total (\(TSA\)) se encuentra, por supuesto, agregando el área de la base\(B\) a la superficie lateral. Si la base es un polígono regular, necesitarás usar las técnicas que estudiamos en un módulo anterior.
Superficie total de una pirámide
\[TSA=LSA+B \nonumber \]
Si la base es un cuadrado, entonces
\[TSA=2sl+s^2 \nonumber \]
3. Una pirámide tiene una base cuadrada con lados\(16\) centímetros de largo, y una altura inclinada de\(17\) centímetros. Encuentra la superficie lateral y la superficie total de la pirámide.
4. La Gran Pirámide de Giza tiene una altura inclinada de\(179\) metros y una base cuadrada con lados\(230\) metros de largo. Encuentra el área de superficie lateral de la pirámide.
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3. \(544\text{ cm}^2\);\(80\overline{0}\text{ cm}^2\)
4. \(82,300\text{ m}^2\);\(135,000\text{ m}^2\)
Conos
Un cono es como una pirámide con una base circular.
Es posible que pueda determinar la altura\(h\) de un cono (la altitud desde el ápice, perpendicular a la base), o la altura inclinada\(l\) (que es la longitud desde el ápice hasta el borde de la base circular). Tenga en cuenta que la altura, el radio y la altura inclinada forman un triángulo rectángulo con la altura inclinada como hipotenusa. Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar las siguientes equivalencias.
La altura inclinada\(l\), la altura\(h\) y el radio\(r\) de un cono están relacionados de la siguiente manera:
\[l=\sqrt{r^2+h^2} \nonumber \]
\[h=\sqrt{l^2-r^2} \nonumber \]
\[r=\sqrt{l^2-h^2} \nonumber \]
Así como el volumen de una pirámide es\(\dfrac{1}{3}\) el volumen de un prisma con la misma base y altura, el volumen de un cono es\(\dfrac{1}{3}\) el volumen de un cilindro con la misma base y altura.
Volumen de un Cono
El volumen de un cono con radio base\(r\) y altura\(h\) es
\[V=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}h\) or \(V=\pi{r^2}h\div3 \nonumber \]
5. La base de un cono tiene un radio de\(5\) centímetros, y la altura vertical del cono es de\(12\) centímetros. Encuentra el volumen del cono.
6. La base de un cono tiene un diámetro de\(6\) pies, y la altura inclinada del cono es\(5\) pies. Encuentra el volumen del cono.
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5. \(314\text{ cm}^3\)
6. \(37.7\text{ ft}^3\)
Para la superficie de un cono, tenemos las siguientes fórmulas.
Área de superficie de un cono
\[LSA=\pi{rl} \nonumber \]
\[TSA=LSA+\pi{r^2}=\pi{rl}+\pi{r^2} \nonumber \]
Es difícil explicar la justificación de la\(LSA\) fórmula con palabras, pero aquí va. La superficie lateral de un cono, cuando se aplana, es un círculo con radio al\(l\) que le falta una cuña. La circunferencia de este círculo parcial, debido a que coincidía con la circunferencia de la base circular, es\(2\pi{r}\). La circunferencia de todo el círculo con radio\(l\) sería\(2\pi{l}\), así que la parte que tenemos es apenas una fracción de todo el círculo. Para ser precisos, la fracción es\(\dfrac{2\pi{r}}{2\pi{l}}\), lo que reduce a\(\dfrac{r}{l}\). El área de todo el círculo con radio\(l\) sería\(\pi{l^2}\). Debido a que el círculo parcial es la fracción\(\dfrac{r}{l}\) de todo el círculo, el área del círculo parcial es\(\pi{l^2}\cdot\dfrac{r}{l}=\pi{rl}\).
7. La base de un cono tiene un diámetro de\(6\) pies, y la altura inclinada del cono es\(5\) pies. Encuentra el área de superficie lateral y la superficie total del cono.
8. La base de un cono tiene un radio de\(5\) centímetros, y la altura vertical del cono es de\(12\) centímetros. Encuentra el área de superficie lateral y la superficie total del cono.
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7. \(47.1\text{ ft}^2\);\(75.4\text{ ft}^2\)
8. \(204\text{ cm}^2\);\(283\text{ cm}^2\)
Ahora que hemos mirado los cinco sólidos principales: prisma, cilindro, esfera, pirámide, cono, debería poder manejar sólidos compuestos hechos de estas formas. Sólo recuerda tomarlos en pedazos.
Un tanque de propano de\(250\) -galón tiene aproximadamente la forma de un cilindro con un hemisferio en cada extremo. La longitud de la parte cilíndrica es de\(6\) pies de largo y el diámetro de la sección transversal del tanque es de\(2.5\) pies.
9. Calcular el volumen del tanque en pies cúbicos.
10. Verifique que el tanque pueda contener\(250\) galones de propano líquido.
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9. \(37.6\text{ ft}^3\)(el volumen del cilindro\(\approx29.45\text{ ft}^3\) y el volumen combinado de los dos hemisferios\(\approx8.18\text{ ft}^3\))
10. \(37.6\text{ ft}^3\approx281.5\text{ gal}\), que es más que\(250\text{ gal}\).