1.26: Pirámides y Conos

Puedes usar una calculadora a lo largo de este módulo.

Nota: No necesariamente seguiremos las reglas de redondeo (precisión y exactitud) en este módulo. Muchas de estas cifras tienen dimensiones con solo una cifra significativa, pero perderíamos mucha información si redondeáramos los resultados a una sola sig fig.

En la clave de respuestas, a menudo redondearemos al número entero más cercano, o al décimo más cercano, o a dos o tres cifras significativas según consideremos apropiado.

Pirámides

Una pirámide es un sólido geométrico con una base poligonal y caras triangulares con un vértice común (llamado vértice de la pirámide). Las pirámides se nombran según la forma de sus bases. Las pirámides más comunes tienen un cuadrado u otro polígono regular para una base, haciendo que todas las caras sean triángulos isósceles idénticos. La altura,$h$, es la distancia desde el ápice recto hacia abajo hasta el centro de la base. Otras dos medidas utilizadas con las pirámides son la longitud del borde$e$, los lados de las caras triangulares y la altura inclinada$l$, la altura de las caras triangulares.

Volumen de una pirámide

En general, el volumen de una pirámide con base de área$B$ y altura$h$ es

$$V=\dfrac{1}{3}Bh \nonumber$$

o

$$V=Bh\div3 \nonumber$$

Si la base es un cuadrado con longitud lateral$s$, el volumen es

$$V=\dfrac{1}{3}s^{2}h \nonumber$$

o

$$V=s^{2}h\div3 \nonumber$$

Curiosamente, el volumen de una pirámide es$\dfrac{1}{3}$ el volumen de un prisma con la misma base y altura.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

1. Una pirámide tiene una base cuadrada con lados$16$ centímetros de largo, y una altura de$15$ centímetros. Encuentra el volumen de la pirámide.

2. La Gran Pirámide de Giza en Egipto tiene una altura de 137 metros y una base cuadrada con lados de 230 metros de largo. ^[1] Encuentra el volumen de la pirámide.

Contestar

1. $1,280\text{ cm}^3$

2. $2.4\text{ million m}^3$

El área de superficie lateral ($LSA$) de una pirámide se encuentra sumando el área de cada cara triangular.

Área de superficie lateral de una pirámide

Si la base de una pirámide es un polígono regular con$n$ lados cada uno de longitud$s$, y la altura inclinada es$l$, entonces

$$LSA=\dfrac{1}{2}nsl \nonumber$$

o

$$LSA=nsl\div2 \nonumber$$

Si la base es un cuadrado, entonces

$$LSA=2sl \nonumber$$

La superficie total ($TSA$) se encuentra, por supuesto, agregando el área de la base$B$ a la superficie lateral. Si la base es un polígono regular, necesitarás usar las técnicas que estudiamos en un módulo anterior.

Superficie total de una pirámide

$$TSA=LSA+B \nonumber$$

Si la base es un cuadrado, entonces

$$TSA=2sl+s^2 \nonumber$$

Ejercicios$\PageIndex{1}$

3. Una pirámide tiene una base cuadrada con lados$16$ centímetros de largo, y una altura inclinada de$17$ centímetros. Encuentra la superficie lateral y la superficie total de la pirámide.

4. La Gran Pirámide de Giza tiene una altura inclinada de$179$ metros y una base cuadrada con lados$230$ metros de largo. Encuentra el área de superficie lateral de la pirámide.

Contestar

3. $544\text{ cm}^2$;$80\overline{0}\text{ cm}^2$

4. $82,300\text{ m}^2$;$135,000\text{ m}^2$

Conos

Un cono es como una pirámide con una base circular.

Es posible que pueda determinar la altura$h$ de un cono (la altitud desde el ápice, perpendicular a la base), o la altura inclinada$l$ (que es la longitud desde el ápice hasta el borde de la base circular). Tenga en cuenta que la altura, el radio y la altura inclinada forman un triángulo rectángulo con la altura inclinada como hipotenusa. Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar las siguientes equivalencias.

La altura inclinada$l$, la altura$h$ y el radio$r$ de un cono están relacionados de la siguiente manera:

$$l=\sqrt{r^2+h^2} \nonumber$$

$$h=\sqrt{l^2-r^2} \nonumber$$

$$r=\sqrt{l^2-h^2} \nonumber$$

Así como el volumen de una pirámide es$\dfrac{1}{3}$ el volumen de un prisma con la misma base y altura, el volumen de un cono es$\dfrac{1}{3}$ el volumen de un cilindro con la misma base y altura.

Volumen de un Cono

El volumen de un cono con radio base$r$ y altura$h$ es

$$V=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}h\) or \(V=\pi{r^2}h\div3 \nonumber$$

Ejercicios$\PageIndex{1}$

5. La base de un cono tiene un radio de$5$ centímetros, y la altura vertical del cono es de$12$ centímetros. Encuentra el volumen del cono.

6. La base de un cono tiene un diámetro de$6$ pies, y la altura inclinada del cono es$5$ pies. Encuentra el volumen del cono.

Contestar

5. $314\text{ cm}^3$

6. $37.7\text{ ft}^3$

Para la superficie de un cono, tenemos las siguientes fórmulas.

Área de superficie de un cono

$$LSA=\pi{rl} \nonumber$$

$$TSA=LSA+\pi{r^2}=\pi{rl}+\pi{r^2} \nonumber$$

Es difícil explicar la justificación de la$LSA$ fórmula con palabras, pero aquí va. La superficie lateral de un cono, cuando se aplana, es un círculo con radio al$l$ que le falta una cuña. La circunferencia de este círculo parcial, debido a que coincidía con la circunferencia de la base circular, es$2\pi{r}$. La circunferencia de todo el círculo con radio$l$ sería$2\pi{l}$, así que la parte que tenemos es apenas una fracción de todo el círculo. Para ser precisos, la fracción es$\dfrac{2\pi{r}}{2\pi{l}}$, lo que reduce a$\dfrac{r}{l}$. El área de todo el círculo con radio$l$ sería$\pi{l^2}$. Debido a que el círculo parcial es la fracción$\dfrac{r}{l}$ de todo el círculo, el área del círculo parcial es$\pi{l^2}\cdot\dfrac{r}{l}=\pi{rl}$.

Ejercicios$\PageIndex{1}$

7. La base de un cono tiene un diámetro de$6$ pies, y la altura inclinada del cono es$5$ pies. Encuentra el área de superficie lateral y la superficie total del cono.

8. La base de un cono tiene un radio de$5$ centímetros, y la altura vertical del cono es de$12$ centímetros. Encuentra el área de superficie lateral y la superficie total del cono.

Contestar

7. $47.1\text{ ft}^2$;$75.4\text{ ft}^2$

8. $204\text{ cm}^2$;$283\text{ cm}^2$

Ahora que hemos mirado los cinco sólidos principales: prisma, cilindro, esfera, pirámide, cono, debería poder manejar sólidos compuestos hechos de estas formas. Sólo recuerda tomarlos en pedazos.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Un tanque de propano de$250$ -galón tiene aproximadamente la forma de un cilindro con un hemisferio en cada extremo. La longitud de la parte cilíndrica es de$6$ pies de largo y el diámetro de la sección transversal del tanque es de$2.5$ pies.

9. Calcular el volumen del tanque en pies cúbicos.

10. Verifique que el tanque pueda contener$250$ galones de propano líquido.

Contestar

9. $37.6\text{ ft}^3$(el volumen del cilindro$\approx29.45\text{ ft}^3$ y el volumen combinado de los dos hemisferios$\approx8.18\text{ ft}^3$)

10. $37.6\text{ ft}^3\approx281.5\text{ gal}$, que es más que$250\text{ gal}$.

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1. [1]https://en.Wikipedia.org/wiki/Great_Pyramid_of_Giza