1.25: Conversión de Unidades de Volumen
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Así como vimos con área, convertir entre unidades de volumen requiere que tengamos cuidado porque las unidades cúbicas se comportan de manera diferente a las unidades lineales.
Las cantidades de mantillo, tierra o grava a menudo se miden por el patio cúbico. ¿Cuántos pies cúbicos hay en una yarda cúbica?
\(1\)yarda =\(3\) pies, así podemos dividir la longitud en tres secciones, la anchura en tres secciones y la altura en tres secciones para convertir las tres dimensiones del cubo de yardas a pies. Esto forma un\(3\)\(3\) por\(3\) cubo, lo que nos muestra que yarda\(1\) cúbica equivale a pies\(27\) cúbicos. La relación de conversión lineal de\(1\) a\(3\) significa que la relación de conversión para los volúmenes es\(1\) a\(3^3\), o\(1\) a\(27\).
Aquí hay otra forma de pensarlo sin un diagrama:\(1\text{ yd}=3\text{ ft}\), entonces\((1\text{ yd})^3=(3\text{ ft})^3\). Para eliminar los paréntesis, debemos cupar el número y el cubo de las unidades:\((3\text{ ft})^3=3^3\text{ ft}^3=27\text{ ft}^3\).
De manera más general, necesitamos cubicar los factores de conversión lineal al convertir unidades de volumen. Si las unidades lineales tienen una relación de\(1\) a\(n\), las unidades cúbicas tendrán una relación de\(1\) a\(n^3\).
1. Determinar el número de pulgadas cúbicas en pie\(1\) cúbico.
2. Determinar el número de pulgadas cúbicas en yarda\(1\) cúbica.
3. Determinar el número de milímetros cúbicos en centímetro\(1\) cúbico.
4. Determinar el número de centímetros cúbicos en metro\(1\) cúbico.
- Contestar
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1. \(1,728\text{ in}^3\)
2. \(46,656\text{ in}^3\)
3. \(1,000\text{ mm}^3\)
4. \(1,000,000\text{ cm}^3\)
Sistema de Estados Unidos: Conversión de Mediciones de Volumen
\(1\text{ ft}^3=1,728\text{ in}^3\)
\(1\text{ yd}^3=27\text{ ft}^3\)
\(1\text{ yd}^3=46,656\text{ in}^3\)
5. Historia verdadera: Un amigo de la base de la Guardia Nacional nos dio tres largas cajas de madera para usar como camas de siembra elevadas. (Las cajas probablemente llevaban algún tipo de armas o municiones, pero nuestro amigo no diría.) A Henry, que estaba tomando geometría en la secundaria, se le pidió que mediera las cajas y averiguara cuánta tierra necesitábamos. Las dimensiones internas de cada caja eran\(112\) pulgadas de largo,\(14\) pulgadas de ancho y\(14\) pulgadas de profundidad. Queríamos llenarlos la mayor parte del camino llenos de tierra, dejando unos\(4\) centímetros vacíos en la parte superior. ¿Cuántas yardas cúbicas de suelo necesitábamos ordenar al proveedor?
6. Historia verdadera, continuó: Decidí revisar nuestra respuesta e hice una estimación aproximada redondeando cada dimensión al pie más cercano, luego averiguando el volumen a partir de ahí. ¿Esto dio el mismo resultado?
- Contestar
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5. el resultado es muy cercano a yarda\(1\) cúbica:\((112\text{ in}\cdot14\text{ in}\cdot10\text{ in})\cdot3\text{ crates}=47,040\text{ in}^3\approx1.01\text{ yd}^3\)
6. esta estimación también es yarda\(1\) cúbica:\((9\text{ ft}\cdot1\text{ ft}\cdot1\text{ ft})\cdot3\text{ crates}=27\text{ ft}^3=1\text{ yd}^3\)
Podemos convertir entre unidades de volumen y capacidad de líquido. Como cabría esperar, los números son desordenados en el sistema estadounidense.
\(1\text{ fl oz}\approx1.805\text{ in}^3\leftrightarrow1\text{ in}^3\approx0.554\text{ fl oz}\)
\(1\text{ ft}^3\approx7.48\text{ gal}\leftrightarrow1\text{ gal}\approx0.1337\text{ ft}^3\)
7. Una piscina infantil tiene un diámetro de aproximadamente\(5\) pies y una profundidad de\(6\) pulgadas. ¿Cuántos galones de agua se requieren para llenarlo aproximadamente\(80\%\) del camino lleno?
8. Una lata de soda pop estándar de Estados Unidos tiene un diámetro de\(2\dfrac{1}{2}\) pulgadas y una altura de\(4\dfrac{3}{4}\) pulgadas. Verifique que la lata pueda contener onzas\(12\) líquidas de líquido.
- Contestar
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7. alrededor de\(60\) galones
8. sí, la lata es capaz de contener onzas\(12\) líquidas; el volumen de la lata es aproximadamente pulgadas\(23.3\) cúbicas onzas\(\approx12.9\) líquidas.
Sistema métrico: Conversión de mediciones de volumen
\(1\text{ cm}^3=1\text{ cc}=1\text{ mL}\)
\(1\text{ cm}^3=1,000\text{ mm}^3\)
\(1\text{ m}^3=1,000,000\text{ cm}^3\)
\(1\text{ L}=1,000\text{ cm}^3\)
\(1\text{ m}^3=1,000\text{ L}\)
No es de sorprender que las proporciones de conversión métrica sean todas potencias de\(10\).
9. Una lata de agua mineral Perrier tiene un diámetro de\(5.6\text{ cm}\) y una altura de\(14.7\text{ cm}\). Verificar que la lata sea capaz de contener\(330\) mililitros de líquido.
- Contestar
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sí, la lata es capaz de contener\(330\) mililitros; el volumen de la lata es aproximadamente centímetros\(362\) cúbicos, lo que equivale a\(362\) mililitros.
Ambos sistemas: Conversión de mediciones de volumen
La conversión entre Estados Unidos y los sistemas métricos, por supuesto, implicará valores decimales desordenados. Por ejemplo, porque\(1\text{ in}=2.54\text{ cm}\), podemos cubo ambos números y encontrarlos\(1\text{ in}^3=(2.54\text{ cm})^3\approx16.387\text{ cm}^3\). Las conversiones se redondean a tres o cuatro cifras significativas en la siguiente tabla.
10. Un contenedor de basura de “dos yardas” tiene un volumen de yardas\(2\) cúbicas. Convertir esto en metros cúbicos.
11. Convertir\(240\text{ in}^3\) a\(\text{ cm}^3\).
12. Convertir\(500\text{ cm}^3\) a\(\text{ in}^3\).
13. Convertir\(1,000\text{ ft}^3\) a\(\text{ m}^3\).
14. Convertir\(45\text{ m}^3\) a\(\text{ yd}^3\).
- Contestar
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10. \(1.53\text{ m}^3\)
11. \(3,930\text{ cm}^3\)
12. \(30.5\text{ in}^3\)
13. \(28.3\text{ m}^3\)
14. \(59\text{ yd}^3\)
Densidad
La densidad de un material es su peso por volumen como libras por pie cúbico, o masa por volumen como gramos por centímetro cúbico. Multiplicar el volumen de un objeto por su densidad dará su peso o masa.
15. El tamaño estándar de una barra de oro en la Reserva Federal de Estados Unidos es\(7\) pulgadas por\(3\dfrac{5}{8}\) pulgadas por\(1\dfrac{3}{4}\) pulgadas. [1] La densidad del oro es de\(0.698\) libras por pulgada cúbica. ¿Cuánto pesa una barra de oro?
16. Una barra cilíndrica de hierro tiene un diámetro de\(3.0\) centímetros y una longitud de\(20.0\) centímetros. La densidad del hierro es de\(7.87\) gramos por centímetro cúbico. ¿Cuál es la masa del bar, en kilogramos?
- Contestar
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15. \(31\text{ lb}\)
16. \(1.1\text{ kg}\)
Volúmenes de Sólidos Similares
Anteriormente en este módulo, se afirmó que si las unidades lineales tienen una relación de\(1\) a\(n\), las unidades cúbicas tendrán una relación de\(1\) a\(n^3\). Esto también se aplica a sólidos similares.
Si las dimensiones lineales de dos sólidos similares tienen una relación de\(1\) a\(n\), entonces los volúmenes tendrán una relación de\(1\) a\(n^3\).
Verificaremos esto en los siguientes ejercicios.
Una pelota de tenis de mesa (ping pong) tiene un diámetro de\(4\) centímetros. Una pelota wiffle® tiene un diámetro dos veces mayor que una pelota de tenis de mesa.
17. Determinar el volumen de la bola wiffle®.
18. Determinar el volumen de la pelota de tenis de mesa.
19. ¿Cuál es la proporción de los volúmenes de las dos bolas?
\(A\)El sólido rectangular tiene dimensiones\(3\) pulgadas por\(4\) pulgadas por\(5\) pulgadas. \(B\)El sólido rectangular tiene dimensiones triplicadas a las de\(A\)'s.
20. Determinar el volumen del sólido más grande,\(B\).
21. Determinar el volumen del sólido más pequeño,\(A\).
22. ¿Cuál es la relación de los volúmenes de los dos sólidos?
- Contestar
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17. \(268\text{ cm}^3\)
18. \(33.5\text{ cm}^3\)
19. \(8\)a\(1\)
20. \(1,620\text{ in}^3\)
21. \(60\text{ in}^3\)
22. \(27\)a\(1\)