1.2: Newton Mecánica - Caída Libre
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Las dimensiones son útiles no solo para desacreditar argumentos incorrectos sino también para generar los correctos. Para ello, las cantidades en un problema necesitan tener dimensiones. Como ejemplo contrario que muestra lo que no se debe hacer, aquí está cuántos libros de texto de cálculo introducen un problema clásico en movimiento:
Una pelota inicialmente en reposo cae desde una altura de h pies y golpea el suelo a una velocidad de v pies por segundo. Encuentra v asumiendo una aceleración gravitacional de g pies por segundo al cuadrado y descuidando la resistencia al aire.
Las unidades como pies o pies por segundo están resaltadas en negritas porque su inclusión es tan frecuente que de otra manera escapan al aviso, y su inclusión crea un problema significativo. Debido a que la altura es h pies, la variable h no contiene las unidades de altura: h es por lo tanto adimensional. (Para que h tenga dimensiones, el problema en cambio indicaría simplemente que la pelota cae desde una altura h; entonces la dimensión de longitud pertenecería a h.) Una especificación explícita similar de unidades significa que las variables g y v también son adimensionales. Debido a que g, h y v son adimensionales, cualquier comparación de v con cantidades derivadas de g y h es una comparación entre cantidades adimensionales. Por lo tanto, siempre es dimensionalmente válido, por lo que el análisis dimensional no puede ayudarnos a adivinar la velocidad de impacto.
Renunciar a la valiosa herramienta de las dimensiones es como pelear con una mano atada a nuestra espalda. Por lo tanto, restringidos, debemos resolver la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales:
\[\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = -g, \text{ with } y(0) = h \text{ and } dy/dt = 0 \text{ at } t = 0, \label{1.1} \]
donde y (t) es la altura de la pelota, dy/dt es la velocidad de la bola y g es la aceleración gravitacional.
Utilice el cálculo para mostrar que la ecuación diferencial de caída libre\(d^{2}y/dt^{2}\) = −g con condiciones iniciales y (0) = h y dy/dt = 0 en t = 0 tiene la siguiente solución:
\[\frac{dy}{dt} = -gt \text{ and } y = -\frac{1}{2}gt^{2} + h. \label{1.2} \]
Usando las soluciones para la posición y velocidad de la pelota en el Problema 1.3, ¿cuál es la velocidad de impacto?
Cuando y (t) = 0, la pelota se encuentra con el suelo. Así el tiempo de impacto t es\(\sqrt{2h/g}\). La velocidad de impacto es −gt\(_{0}\) o −\(\sqrt{2gh}\). Por lo tanto la velocidad de impacto (la velocidad sin signo) es\(\sqrt{2gh}\).
Este análisis invita a varios errores de álgebra: olvidarse de tomar una raíz cuadrada al resolver para\(t_{0}\), o dividir en lugar de multiplicar por g al encontrar la velocidad de impacto. Practicar en otras palabras, cometer y corregir muchos errores reduce su prevalencia en problemas simples, pero problemas complejos con muchos pasos siguen siendo campos minados. Nos gustaría métodos menos propensos a errores.
Una alternativa robusta es el método de análisis dimensional. Pero esta herramienta requiere que al menos una cantidad entre v, g y h tenga dimensiones. De lo contrario, cada velocidad de impacto candidato, por absurda que sea, iguala cantidades adimensionales y por lo tanto tiene dimensiones válidas.
Por lo tanto, replanteemos el problema de caída libre para que las cantidades conserven sus dimensiones:
- Una pelota inicialmente en reposo cae desde una altura h y golpea el suelo a velocidad v. Find v asumiendo una aceleración gravitacional g y descuidando la resistencia del aire.
El replanteamiento es, primero, más corto y más nítido que el fraseo original:
- Una pelota inicialmente en reposo cae desde una altura de h pies y golpea el suelo a una velocidad de v pies por segundo. Encuentra v asumiendo una aceleración gravitacional de g pies por segundo al cuadrado y descuidando la resistencia al aire.
Segundo, la reexpresión es más general. No hace suposiciones sobre el sistema de unidades, por lo que es útil incluso si los metros, codos o estadios son la unidad de longitud. Lo más importante es que la reformulación da dimensiones a h, g y v. Sus dimensiones determinarán casi de manera única la velocidad de impacto, sin que necesitemos resolver una ecuación diferencial.
Las dimensiones de la altura h son simplemente longitud o, para abreviar, L. Las dimensiones de la aceleración gravitacional g son longitud por tiempo al cuadrado o\(LT^{−2}\), donde T representa la dimensión del tiempo. Una velocidad tiene dimensiones de\(LT^{-1}\), por lo que v es una función de g y h con dimensiones de\(LT^{-1}\).
En términos de las dimensiones básicas longitud L, masa M y tiempo T, ¿cuáles son las dimensiones de energía, potencia y par?
¿Qué combinación de g y h tiene dimensiones de velocidad?
La combinación\(\sqrt{gh}\) tiene dimensiones de velocidad.
\((\underbrace{\mathrm{LT}^{-2}}_{\mathrm{g}} \times \underbrace{\mathrm{L}}_{\mathrm{h}})^{1 / 2}=\sqrt{\mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}}=\underbrace{\mathrm{LT}^{-1}}_{\text {speed }} .\)\[\label{1.3} \]
¿Es\(\sqrt{gh}\) la única combinación de g y h con dimensiones de velocidad?
Para decidir si\(\sqrt{gh}\) es la única posibilidad, utilizar propagación de restricción [43]. La restricción más fuerte es que la combinación de g y h, al ser una velocidad, debe tener dimensiones de tiempo inverso (\(T^{−1}\)). Debido a que h no contiene dimensiones de tiempo, no puede ayudar a construir\(T^{-1}\).
Porque g contiene\(T^{-2}\), el\(T^{-1}\) mosto viene de\(\sqrt{g}\). La segunda restricción es que la combinación contiene\(L^{1}\). El\(\sqrt{g}\) ya contribuye\(L^{1/2}\), por lo que los desaparecidos\(L^{1/2}\) deben provenir de\(\sqrt{h}\). Las dos restricciones determinan de este modo de manera única cómo aparecen g y h en la velocidad de impacto v.
La expresión exacta para v, sin embargo, no es única. Podría ser (\ sqrt {gh}\), (\ sqrt {2gh}\), o, en general, (\ sqrt {gh}\) × constante adimensional. El modismo de multiplicación por una constante adimensional ocurre frecuentemente y merece una notación compacta similar al signo igual:
\[v∼ \sqrt{gh} \label{1.4} \]
Incluyendo esta notación ∼, tenemos varias especies de igualdad:
∝ igualdad excepto tal vez por un factor con dimensiones,
∼ igualdad excepto quizás por un factor sin dimensiones,
≈ igualdad excepto quizás por un factor cercano a 1.
La velocidad exacta de impacto es\(\sqrt{2gh}\), por lo que el resultado de las dimensiones\(\sqrt{gh}\) contiene toda la dependencia funcional! Carece solo del factor adimensional\(\sqrt{2}\), y estos factores a menudo carecen de importancia. En este ejemplo, la altura puede variar de unos pocos centímetros (un salto de pulgas) a unos pocos metros (un gato saltando de una repisa). La variación de altura del factor de 100 contribuye con una variación de factor de 10 en la velocidad de impacto. De igual manera, la aceleración gravitacional podría variar de 0.27 m\(s^{−2}\) (en el asteroide Ceres) a 25 m\(s^{−2}\) (en Júpiter). La variación del factor de 100 en g aporta otra variación de factor de 10 en la velocidad de impacto. Mucha variación en la velocidad de impacto, por lo tanto, no proviene del factor adimensional\(\sqrt{2}\) sino de los factores simbólicos que se calculan exactamente por análisis dimensional. Además, no calcular la respuesta exacta puede ser una ventaja. Las respuestas exactas tienen todos los factores y términos, permitiendo información menos importante, como el factor adimensional como\(\sqrt{gh}\). Como aconsejó William James, “El arte de ser sabio es el arte de saber qué pasar por alto” [19, capítulo 22].
Lanza una pelota directamente hacia arriba con velocidad v0. Usa el análisis dimensional para estimar cuánto tiempo tarda la pelota en regresar a tu mano (descuidando la resistencia al aire). Entonces encuentra el tiempo exacto resolviendo la ecuación diferencial de caída libre. ¿Qué factor adimensional faltaba en el resultado del análisis dimensional?