9.2.2: Sumando números reales

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Objetivos de aprendizaje

Agrega dos o más números reales con el mismo signo.
Agrega dos o más números reales con signos diferentes.
Simplifique mediante el uso de la propiedad de identidad de 0.
Resolver problemas de aplicación que requieren la adición de números reales.

Introducción

Agregar números reales sigue las mismas reglas que agregar números enteros. El número 0 tiene algunos atributos especiales que son muy importantes en álgebra. Saber sumar estos números puede ser útil tanto en situaciones del mundo real como en situaciones algebraicas.

Reglas para sumar números reales

Las reglas para sumar números enteros se aplican a otros números reales, incluidos los números racionales.

Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)

Sumar sus valores absolutos.
Dar a la suma la misma señal.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y otro negativo)

Encuentra la diferencia de sus valores absolutos. (Tenga en cuenta que cuando encuentre la diferencia de los valores absolutos, siempre resta el valor absoluto menor del mayor).
Dar a la suma el mismo signo que el número con el mayor valor absoluto.

Recordad: para sumar fracciones, necesitas que tengan el mismo denominador. Esto sigue siendo cierto cuando una o más de las fracciones son negativas.

Ejemplo

Encuentra$\ -\frac{3}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)+\frac{2}{7}$

Solución

$\ \left\|-\frac{3}{7}\right\|=\frac{3}{7} \text { and }\left\|-\frac{6}{7}\right\|=\frac{6}{7}$	Este problema tiene tres adiciones. Agrega los dos primeros, y luego agrega el tercero.
$\ \frac{3}{7}+\frac{6}{7}=\frac{9}{7}$	Dado que los signos de los dos primeros son los mismos, encuentra la suma de los valores absolutos de las fracciones.
$\ -\frac{3}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)=-\frac{9}{7}$	Dado que ambas adiciones son negativas, la suma es negativa.
$\ \left\|-\frac{9}{7}\right\|=\frac{9}{7} \text { and }\left\|\frac{2}{7}\right\|=\frac{2}{7}$ $\ \frac{9}{7}-\frac{2}{7}=\frac{7}{7}$	Ahora agregue la tercera adenda. Los signos son diferentes, así que encuentra la diferencia de sus valores absolutos.
$\ -\frac{9}{7}+\frac{2}{7}=-\frac{7}{7}$	Ya que$\ \left\|-\frac{9}{7}\right\|>\left\|\frac{2}{7}\right\|$, el signo de la suma final es el mismo que el signo de$\ -\frac{9}{7}$.
$\ -\frac{3}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)+\frac{2}{7}=-\frac{7}{7}$	La respuesta es$\ -\frac{7}{7}$, que se puede simplificar a -1.

Ejemplo

Encuentra$\ -2 \frac{3}{4}+\frac{7}{8}$.

Solución

\ (\\ begin {array} {c} \ izquierda\|-2\ frac {3} {4}\ derecha\|=2\ frac {3} {4}\ texto {y}\ izquierda\|\ frac {7} {8}\ derecha\|=\ frac {7} {8}\\ 2\ frac {3} {4} -\ frac {7} {8} fin \ {matriz}\)	Los signos son diferentes, así que encuentra la diferencia de sus valores absolutos.
$\ 2 \frac{3}{4}=\frac{2(4)+3}{4}=\frac{11}{4}$	Primero reescribe$\ 2 \frac{3}{4}$ como una fracción impropia, luego reescribe la fracción usando un denominador común.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {11} {4} =\ frac {11\ cdot 2} {4\ cdot 2} =\ frac {22} {8}\ \ frac {22} {8} -\ frac {7} {8} \ end {array}\)	Ahora sustituya la fracción reescrita en el problema.
$\ \frac{22}{8}-\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$	Restar los numeradores y mantener el mismo denominador. Simplificar a los términos más bajos, si es posible.
$\ -2 \frac{3}{4}+\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$	Ya que$\ \left\|-2 \frac{3}{4}\right\|>\left\|\frac{7}{8}\right\|$, el signo de la suma final es el mismo que el signo de$\ -2 \frac{3}{4}$. La respuesta$\ -\frac{15}{8}$ se puede simplificar a$\ -1 \frac{7}{8}$.

Cuando agregue decimales, recuerde alinear los puntos decimales para que esté sumando décimas a décimas, centésimas a centésimas, y así sucesivamente.

Ejemplo

Encuentra$\ 27.832+(-3.06)$.

Solución

Dado que las adiciones tienen signos diferentes, restan sus valores absolutos.

$\ |-3.06|=3.06$

\ (\\ begin {array} {r}
27.832\\
-3.06\\\
\ hline 24.772
\ end {array}\)

La suma tiene el mismo signo que 27.832, cuyo valor absoluto es mayor.

$\ 27.832+(-3.06)=24.772$

Ejercicio

Encuentra -32.22+124.3.

19.79
44.65
92.08
156.52

Contestar

Incorrecto. Para encontrar la suma de números con diferentes signos, se deben restar sus valores absolutos. Al sumar y restar decimales, debes prestar atención al valor posicional. Es posible que hayas restado 32.22-12.43. en lugar de 124.3-32.22. La respuesta correcta es 92.08.
Incorrecto. Para encontrar la suma de números con diferentes signos, se deben restar sus valores absolutos. Es posible que hayas agregado en su lugar. Además, al sumar y restar decimales, debes prestar atención al valor posicional. La respuesta correcta es 92.08.
Correcto. Dado que las adiciones tienen signos diferentes, se deben restar sus valores absolutos. 124.3-32.22 es 92.08. Desde |124.3|>|-32.22|, la suma es positiva.
Incorrecto. Para encontrar la suma de números con diferentes signos, se deben restar sus valores absolutos. Agregaste sus valores absolutos. La respuesta correcta es 92.08.

La identidad aditiva

Las reglas para sumar números reales se refieren a que las adiciones son positivas o negativas. Pero 0 no es ni positivo ni negativo.

No debería sorprendernos que añadas 0 de la forma en que siempre lo has hecho—agregar 0 no cambia el valor.

\ (\\ begin {array} {ll}
7+0=7 y -7+0=-7\\
0+3.6=3.6 & -\ frac {2} {23} +0=-\ frac {2} {23}\\
x+0=x & 0+x=x
\ end {array}\)

Observe que$\ x+0=x$ y$\ 0+x=x$. Esto quiere decir que no importa qué adenda venga primero.

El número 0 se llama identidad aditiva. La propiedad de identidad de 0 establece que sumar 0 a otros números no cambia su valor. Puedes pensarlo de esta manera: sumar 0 permite que el otro número mantenga su identidad.

Ejercicio

¿Qué es 0+y, cuando y=3?

-3
0
3

Contestar

Incorrecto. Dice la propiedad de identidad$\ 0+\text { any number }=\text { that number }$. Sustituyendo 3 por y da$\ 0+3$, y$\ 0+3=3$.
Incorrecto. La suma de un número y 0 es ese número, no 0. Sustituyendo 3 por y da$\ 0+3$, y$\ 0+3=3$.
Correcto. Sustituyendo 3 por y da$\ 0+3$, y$\ 0+3=3$.

Aplicaciones de Adición

Son muchas las situaciones que utilizan números negativos. Por ejemplo, las temperaturas más frías que 0 ^o generalmente se describen usando números negativos. En los torneos de golf, los puntajes de los jugadores suelen ser reportados como un número por encima o por debajo del par, en lugar del número total de golpes que se necesita para golpear la pelota en el hoyo. (Par es el número esperado de golpes necesarios para completar un hoyo). Un número bajo par es negativo, y un número sobre par es positivo.

Los siguientes ejemplos muestran cómo la suma de números reales, incluidos los números negativos, puede ser útil.

Ejemplo

Boston es, en promedio, 7 grados más cálido que Bangor, Maine. La baja temperatura en un día frío de invierno en Bangor fue de -13 ^o Fahrenheit. Acerca de qué baja temperatura esperarías que tuviera Boston ese día?

Solución

Si la temperatura en Bangor es$\ x$, la temperatura en Boston es$\ x+7$.	La frase “7 grados más cálidos” significa que agregas 7 grados a la temperatura de Bangor para estimar la temperatura de Boston.
$\ x=-13$	Ese día, el mínimo de Bangor fue de -13 ^o.
La temperatura de Boston es$\ -13+7$	Sustituto$\ -13$$\ x$ para obtener la temperatura de Boston.
$\ -13+7=-6$

Se esperaría que Boston tuviera una temperatura de$\ -6$ grados.

Ejemplo

Antes de que Joanne pudiera depositar su cheque de pago de 802.83 dólares, sobrestimó su cuenta corriente. El saldo fue de -201.35 dólares. ¿Cuál era su saldo después de que depositó el cheque de pago?

Solución

$\ -201.35+802.83$

Al depositar su cheque de pago, Joanne está agregando dinero a su cuenta. El nuevo saldo es la suma del antiguo (-201.35) y el monto del cheque de pago.

$\ -201.35+802.83=601.83$

Dado que los números tienen signos diferentes, encuentra la diferencia de -201.35.

Desde |802.83|>|-201.35|, la suma es positiva.

El nuevo saldo es de 601.48 dólares.

Cuando fuerzas u objetos están trabajando en direcciones opuestas, a veces es útil asignar un valor negativo a uno y un valor positivo al otro. Esto se hace a menudo en física e ingeniería, pero también podría hacerse en otros contextos, como el fútbol o un tira y afloja.

Ejemplo

Dos personas están en un concurso de tira y afloja. Están uno frente al otro, cada uno sosteniendo el extremo de una cuerda. Ambos tiran de la cuerda, tratando de mover el centro hacia ellos mismos.

Aquí hay una ilustración de esta situación. La persona de la derecha está tirando en la dirección positiva, y la persona de la izquierda está tirando en la dirección negativa.

$Screen Shot 2021-05-21 a las 3.28.13 PM.png$

En un momento de la competencia, la persona de la derecha tiraba con 122.8 libras de fuerza. La persona de la izquierda tiraba con 131.3 libras de fuerza. Las fuerzas en el centro de la cuerda, entonces, fueron 122.8 lbs y -131.3 lbs.

a) ¿Cuál fue la fuerza neta (suma total) sobre el centro de la cuerda?

b) ¿En qué dirección se movía?

Solución

$\ \text { Net force }=122.8+(-131.3)$	La fuerza neta es la suma de las dos fuerzas sobre la cuerda.
$\ \text { Net force }=-8.5$	Para encontrar la suma, sumar la diferencia de los valores absolutos de los agregados. Desde \|-131.3\|>122.8, la suma es negativa.
La fuerza neta es de -8.5 lbs (o 8.5 lbs a la izquierda). El centro de la cuerda se mueve hacia la izquierda (la dirección negativa).	Observe que tiene sentido que la cuerda se moviera hacia la izquierda, ya que esa persona estaba jalando con más fuerza.

Ejercicio

Después de que Bangor alcanzó una temperatura baja de -13 ^o, la temperatura subió solo 4 grados más por el resto del día. ¿Cuál fue la alta temperatura ese día?

-17
-9
9
17

Contestar

Incorrecto. Aunque usaste el signo correcto, encontraste la suma de los valores absolutos. La temperatura subió (agregó) 4 grados de -13, por lo que la temperatura alta es de -13+4. Dado que las adiciones tienen signos diferentes, se debe encontrar la diferencia de los valores absolutos. |-13|=13 y |4|=4. La diferencia es 13-4=9. El signo de la suma es el mismo que el adenda con el mayor valor absoluto. Desde |-13|>|4|, la suma es negativa. La respuesta correcta es -9.
Correcto. La temperatura subió (agregó) 4 grados de -13, por lo que la temperatura alta es de -13+4. Dado que las adiciones tienen signos diferentes, se debe encontrar la diferencia de los valores absolutos. |-13|=13 y |4|=4. La diferencia es 13-4=9. El signo de la suma es el mismo que el adenda con el mayor valor absoluto. Desde |-13|>|4|, la suma es -9.
Incorrecto. Encontró la diferencia de los valores absolutos de las adiciones. Sin embargo, debido a que |-13|>|4|, el signo de la suma debe ser el mismo que el signo en -13. La respuesta correcta es -9.
Incorrecto. Añadió los valores absolutos de las adiciones, y le dio a la suma la señal equivocada. La temperatura subió (agregó) 4 grados de -13, por lo que la temperatura alta es de -13+4. Dado que las adiciones tienen signos diferentes, se debe encontrar la diferencia de los valores absolutos. |-13|=13 y |4|=4. La diferencia es 13-4=9. El signo de la suma es el mismo que el adenda con el mayor valor absoluto. ya que |-13|>|4|, la suma es negativa. La respuesta correcta es -9.

Resumen

Al igual que con los enteros, sumar números reales se realiza siguiendo dos reglas. Cuando los signos son los mismos, se agregan los valores absolutos de los sumados y se usa el mismo signo. Cuando los signos son diferentes, restas los valores absolutos y usas el mismo signo que el addend con el mayor valor absoluto. Sumando 0, que no es ni positivo ni negativo, se realiza utilizando la identidad aditiva de 0:$\ x+0=x$ y$\ 0+x=x$, para cualquier valor de$\ x$.

\(\ \left\|-\frac{3}{7}\right\|=\frac{3}{7} \text { and }\left\|-\frac{6}{7}\right\|=\frac{6}{7}\)	Este problema tiene tres adiciones. Agrega los dos primeros, y luego agrega el tercero.
\(\ \frac{3}{7}+\frac{6}{7}=\frac{9}{7}\)	Dado que los signos de los dos primeros son los mismos, encuentra la suma de los valores absolutos de las fracciones.
\(\ -\frac{3}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)=-\frac{9}{7}\)	Dado que ambas adiciones son negativas, la suma es negativa.
\(\ \left\|-\frac{9}{7}\right\|=\frac{9}{7} \text { and }\left\|\frac{2}{7}\right\|=\frac{2}{7}\) \(\ \frac{9}{7}-\frac{2}{7}=\frac{7}{7}\)	Ahora agregue la tercera adenda. Los signos son diferentes, así que encuentra la diferencia de sus valores absolutos.
\(\ -\frac{9}{7}+\frac{2}{7}=-\frac{7}{7}\)	Ya que\(\ \left\|-\frac{9}{7}\right\|>\left\|\frac{2}{7}\right\|\), el signo de la suma final es el mismo que el signo de\(\ -\frac{9}{7}\).
\(\ -\frac{3}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)+\frac{2}{7}=-\frac{7}{7}\)	La respuesta es\(\ -\frac{7}{7}\), que se puede simplificar a -1.

\ (\\ begin {array} {c} \ izquierda\|-2\ frac {3} {4}\ derecha\|=2\ frac {3} {4}\ texto {y}\ izquierda\|\ frac {7} {8}\ derecha\|=\ frac {7} {8}\\ 2\ frac {3} {4} -\ frac {7} {8} fin \ {matriz}\)	Los signos son diferentes, así que encuentra la diferencia de sus valores absolutos.
\(\ 2 \frac{3}{4}=\frac{2(4)+3}{4}=\frac{11}{4}\)	Primero reescribe\(\ 2 \frac{3}{4}\) como una fracción impropia, luego reescribe la fracción usando un denominador común.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {11} {4} =\ frac {11\ cdot 2} {4\ cdot 2} =\ frac {22} {8}\ \ frac {22} {8} -\ frac {7} {8} \ end {array}\)	Ahora sustituya la fracción reescrita en el problema.
\(\ \frac{22}{8}-\frac{7}{8}=\frac{15}{8}\)	Restar los numeradores y mantener el mismo denominador. Simplificar a los términos más bajos, si es posible.
\(\ -2 \frac{3}{4}+\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}\)	Ya que\(\ \left\|-2 \frac{3}{4}\right\|>\left\|\frac{7}{8}\right\|\), el signo de la suma final es el mismo que el signo de\(\ -2 \frac{3}{4}\). La respuesta\(\ -\frac{15}{8}\) se puede simplificar a\(\ -1 \frac{7}{8}\).

Si la temperatura en Bangor es\(\ x\), la temperatura en Boston es\(\ x+7\).	La frase “7 grados más cálidos” significa que agregas 7 grados a la temperatura de Bangor para estimar la temperatura de Boston.
\(\ x=-13\)	Ese día, el mínimo de Bangor fue de -13 ^o.
La temperatura de Boston es\(\ -13+7\)	Sustituto\(\ -13\)\(\ x\) para obtener la temperatura de Boston.
\(\ -13+7=-6\)

\(\ \text { Net force }=122.8+(-131.3)\)	La fuerza neta es la suma de las dos fuerzas sobre la cuerda.
\(\ \text { Net force }=-8.5\)	Para encontrar la suma, sumar la diferencia de los valores absolutos de los agregados. Desde \|-131.3\|>122.8, la suma es negativa.
La fuerza neta es de -8.5 lbs (o 8.5 lbs a la izquierda). El centro de la cuerda se mueve hacia la izquierda (la dirección negativa).	Observe que tiene sentido que la cuerda se moviera hacia la izquierda, ya que esa persona estaba jalando con más fuerza.