10.1.1: Resolver ecuaciones de un solo paso usando propiedades de igualdad

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Objetivos de aprendizaje

Resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad de suma de igualdad.
Resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad de multiplicación de igualdad.

Introducción

Escribir y resolver ecuaciones es una parte importante de las matemáticas. Las ecuaciones algebraicas pueden ayudarte a modelar situaciones y resolver problemas en los que se desconocen las cantidades. El tipo más simple de ecuación algebraica es una ecuación lineal que tiene una sola variable.

Expresiones y Ecuaciones

Una ecuación es una declaración matemática de que dos expresiones son iguales. Una ecuación siempre contendrá un signo igual con una expresión en cada lado. Las expresiones están compuestas por términos, y el número de términos en cada expresión en una ecuación puede variar.

Las ecuaciones algebraicas contienen variables, símbolos que representan una cantidad desconocida. Las variables a menudo se representan con letras, me gusta$\ x$$\ y$,, o$\ z$. A veces una variable se multiplica por un número. A este número se le llama el coeficiente de la variable. Por ejemplo, el coeficiente de$\ 3x$ es 3.

Uso de la Propiedad de Adición de Igualdad

Una propiedad importante de las ecuaciones es aquella que establece que se puede agregar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación y aún mantener una ecuación equivalente. A veces la gente se refiere a esto como mantener la ecuación “equilibrada”. Si piensas que una ecuación es como una escala de balance, las cantidades en cada lado de la ecuación son iguales, o equilibradas.

Veamos una ecuación numérica simple,$\ 3+7=10$, para explorar la idea de una ecuación como equilibrada.

$Screen Shot 2021-05-30 a las 5.37.28 PM.png$

Las expresiones a cada lado del signo igual son iguales, por lo que se puede agregar el mismo valor a cada lado y mantener la igualdad. Veamos qué pasa cuando se agrega 5 a cada lado.

$\ 3+7+5=10+5$

Dado que cada expresión es igual a 15, se puede ver que sumar 5 a cada lado de la ecuación original resultó en una ecuación verdadera. La ecuación sigue siendo “equilibrada”.

Por otro lado, veamos qué pasaría si agregaras 5 a solo un lado de la ecuación.

\ (\\ begin {array} {c}
3+7=10\\
3+7+5=10\\
15\ neq 10
\ end {array}\)

Agregar 5 a un solo lado de la ecuación resultó en una ecuación que es falsa. La ecuación ya no está “equilibrada”, ¡y ya no es una ecuación verdadera!

Adición Propiedad de Igualdad

Para todos los números reales$\ a$$\ b$,, y$\ c$: Si$\ a=b$, entonces$\ a+c=b+c$.

Si dos expresiones son iguales entre sí, y se agrega el mismo valor a ambos lados de la ecuación, la ecuación seguirá siendo igual.

Cuando resuelves una ecuación, encuentras el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Para resolver la ecuación, aísla la variable. Aislar la variable significa reescribir una ecuación equivalente en la que la variable está en un lado de la ecuación y todo lo demás está en el otro lado de la ecuación.

Cuando la ecuación implica suma o resta, utilice la operación inversa para “deshacer” la operación con el fin de aislar la variable. Para sumar y restar, tu objetivo es cambiar cualquier valor agregado o restado a 0, la identidad aditiva.

Ejemplo

Resolver$\ x-6=8$.

Solución

$\ x-6=8$

Esta ecuación significa que si comienzas con algún número desconocido$\ x$,, y restas 6, terminarás con 8. Estás tratando de averiguar el valor de la variable$\ x$.

\ (\\ begin {array} {rr}
x-6&=\\ 8\
\ +6 &\ +6\
\ hline x+0&= 14
\ end {array}\)

Usando la Propiedad de Suma de Igualdad, agregue 6 a ambos lados de la ecuación para aislar la variable. Usted elige sumar 6, ya que 6 se está restando de la variable.

Restar 6 de ambos lados te deja con$\ x+0=14$.

$\ x=14$

Dado que la resta puede escribirse como suma (sumando lo contrario), la propiedad de suma de igualdad también se puede usar para restar. Entonces así como puedes sumar el mismo valor a cada lado de una ecuación sin cambiar el significado de la ecuación, puedes restar el mismo valor de cada lado de una ecuación.

Ejemplo

Resolver$\ x+7=42$.

Solución

$\ x+7=42$

Ya que se está sumando 7 a la variable, resta 7 para aislar la variable.

\ (\\ begin {array} {rr}
x+7= & 42\\
\ -7\\\\ & -7\
\ hline x+0= & 35
\ end {array}\)

Para mantener la ecuación equilibrada, restar 7 de ambos lados de la ecuación.

Esto te da$\ x+0=35$.

$\ x=35$

Ejemplo Avanzado

Resolver$\ 12.5+x=-7.5$.

Solución

$\ 12.5+x=-7.5$

Dado que 12.5 se está agregando a la variable, reste 12.5 para aislar la variable.

\ (\\ begin {array} {rr}
12.5+x= & -7.5\\
-12.5\\\\\\\\\\ & -12.5\\
\ hline 0+x= & -20\\\
\ end {array}\\)

Para mantener la ecuación equilibrada, reste 12.5 de ambos lados de la ecuación.

Esto te da$\ 0+x=-20$.

$\ x=-20$

Los ejemplos anteriores a veces se denominan ecuaciones de un solo paso porque solo requieren un paso para resolverlos. En estos ejemplos, o bien sumó o restó una constante de ambos lados de la ecuación para aislar la variable y resolver la ecuación.

Ejercicio

¿Qué harías para aislar la variable en la siguiente ecuación, usando solo un paso?

$\ x+10=65$

Sumar 10 a ambos lados de la ecuación.
Restar 10 del lado izquierdo de la ecuación solamente.
Sumar 65 a ambos lados de la ecuación.
Restar 10 de ambos lados de la ecuación.

Contestar

Incorrecto. Sumando 10 a ambos lados de la ecuación da una ecuación equivalente$\ x+20=65+10$, pero este paso no obtiene la variable sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Restar 10 de ambos lados de la ecuación.
Incorrecto. Restar 10 del lado izquierdo aislará la variable, pero restar 10 de un solo lado de la ecuación no mantiene la ecuación equilibrada. De acuerdo con las propiedades de igualdad, debes realizar la misma operación exacta a cada lado de la ecuación, por lo que también debes restar 10 de 65 para mantener equilibrada la ecuación. La respuesta correcta es: Restar 10 de ambos lados de la ecuación.
Incorrecto. Este paso no aislará la variable. Sólo dará una ecuación equivalente. $\ x+10+65=65+65$. La respuesta correcta es: Restar 10 de ambos lados de la ecuación.
Correcto. Al restar 10 de cada lado de la ecuación se obtiene una ecuación equivalente con la variable aislada para dar la solución:$\ x+10-10=65-10$, entonces$\ x=55$.

Pregunta Avanzada

¿Qué harías para aislar la variable en la siguiente ecuación, usando solo un paso? $\ x-\frac{1}{4}=\frac{7}{2}$

Restar$\ \frac{1}{4}$ de ambos lados de la ecuación.
$\ \frac{1}{4}$Sumar a ambos lados de la ecuación.
Restar$\ \frac{7}{2}$ de ambos lados de la ecuación.
$\ \frac{7}{2}$Sumar a ambos lados de la ecuación.

Contestar

Incorrecto. Restar$\ \from both sides of the equation gives the equation,frac{1}{4}$ de ambos lados de la ecuación da la ecuación,$\ x-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{7}{2}-\frac{1}{4}$, que es la misma que$\ x-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{14}{4}-\frac{1}{4}$ o$\ x-\frac{1}{2}=\frac{13}{4}$. Sin embargo, este paso no obtiene la variable sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Agregar$\ \frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.
Correcto. Al$\ \frac{1}{4}$ sumar a cada lado de la ecuación se obtiene una ecuación equivalente y aísla la variable:$\ x-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{7}{2}+\frac{1}{4}$ y$\ x=\frac{14}{4}+\frac{1}{4}$, entonces$\ x=\frac{15}{4}$.
Incorrecto. Restar$\ \frac{7}{2}$ de ambos lados dará como resultado la expresión equivalente$\ x-\frac{1}{4}-\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\frac{7}{2}$, que se puede reescribir$\ x-\frac{1}{4}-\frac{14}{4}=0$, o$\ x-\frac{15}{4}=0$, pero este paso no obtiene la variable sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Agregar$\ \frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.
Incorrecto. Agregar$\ \frac{7}{2}$ a ambos lados dará como resultado la expresión equivalente$\ x-\frac{1}{4}+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}$, que se puede reescribir$\ x-\frac{1}{4}+\frac{14}{4}=\frac{14}{2}$, o$\ x+\frac{13}{4}=7$, pero este paso no obtiene la variable sola en un lado de la ecuación. La respuesta correcta es: Agregar$\ \frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

Con cualquier ecuación, puede verificar su solución sustituyendo el valor por la variable en la ecuación original. En otras palabras, evalúas la ecuación original usando tu solución. Si obtiene una declaración verdadera, entonces su solución es correcta.

Ejemplo

Resolver$\ x+10=-65$. Consulta tu solución.

Solución

$\ x+10=-65$

Dado que se está sumando 10 a la variable, restar 10 de ambos lados.

\ (\\ comenzar {alineado}
x+10=&-65\
\ -10\\\\ &-10\\
\ hline x=&-75
\ end {alineado}\)

Tenga en cuenta que restar 10 es lo mismo que sumar -10. Se obtiene$\ x=-75$.

Comprobar:

\ (\\ comenzar {alineado}
x+10 &=-65\\
-75+10 &=-65\\
-65 &=-65
\ final {alineado}\)

Para verificar, sustituya la solución, -75 por$\ x$ en la ecuación original.

Simplificar. Esta ecuación es cierta, por lo que la solución es correcta.

$\ x=-75$es la solución a la ecuación

$\ x+10=-65$.

Siempre es una buena idea verificar tu respuesta ya sea que se solicite o no.

Uso de la Propiedad de la Multiplicación de Igualdad

Así como puedes sumar o restar la misma cantidad exacta en ambos lados de una ecuación, también puedes multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad para escribir una ecuación equivalente. Veamos una ecuación numérica,$\ 5 \cdot 3=15$, para comenzar. Si multiplicas ambos lados de esta ecuación por 2, seguirás teniendo una ecuación verdadera.

\ (\\ comenzar {alineado}
5\ cdot 3 &=15\\
5\ cdot 3\ cdot 2 &=15\ cdot 2\\
30 &=30
\ end {alineado}\)

Esta característica de las ecuaciones se generaliza en la propiedad de multiplicación de la igualdad.

Multiplicación Propiedad de Igualdad

Para todos los números reales$\ a$$\ b$,, y$\ c$: Si$\ a=b$, entonces$\ a \cdot c=b \cdot c$ (o$\ a b=a c$).

Si dos expresiones son iguales entre sí y multiplicas ambos lados por el mismo número, las expresiones resultantes también serán equivalentes.

Cuando la ecuación implica multiplicación o división, puede “deshacer” estas operaciones usando la operación inversa para aislar la variable. Cuando la operación es multiplicación o división, tu objetivo es cambiar el coeficiente a 1, la identidad multiplicativa.

Ejemplo

Resolver$\ 3 x=24$. Consulta tu solución.

Solución

$\ 3 x=24$	Divide ambos lados de la ecuación por 3 para aislar la variable (tener un coeficiente de 1).
\ (\\ begin {array} {l} \ frac {3 x} {3} &=\ frac {24} {3}\\ x&=8 \ end {array}\)	Dividir por 3 es lo mismo que haber multiplicado por$\ \frac{1}{3}$.
\ (\\ comenzar {alineado} 3 x &=24\\ 3\ cdot 8 &=24\\ 24 &=24 \ end {alineado}\)	Verifique sustituyendo su solución, 8, por la variable en la ecuación original. ¡la solución es correcta!

$\ x=8$

¡También puedes multiplicar el coeficiente por el inverso multiplicativo (recíproco) para cambiar el coeficiente a 1!

Ejemplo

Resolver$\ \frac{1}{2} x=8$. Consulta tu solución.

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ frac {1} {2} x=8\\ 2\ izquierda (\ frac {1} {2} x\ derecha) =2 (8) \ end {array}\)	El coeficiente de$\ \frac{1}{2} x$ es$\ \frac{1}{2}$. Dado que el inverso multiplicativo de$\ \frac{1}{2}$ es 2, puede multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 para obtener un coeficiente de 1 para la variable.
\ (\\ comenzar {alineado} \ frac {2} {2} x &=16\\ x &=16 \ final {alineado}\)	Multiplicar.
$\ \frac{1}{2}(16)=8$	Verifique sustituyendo su solución en la ecuación original.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {16} {2} =8\\ 8=8 \ end {array}\)	¡La solución es correcta!

$\ x=16$

Ejemplo

Resolver$\ \left(-\frac{1}{4}\right) x=2$. Consulta tu solución.

Solución

$\ \left(-\frac{1}{4}\right) x=2$	El coeficiente de la variable es$\ -\frac{1}{4}$. Multiplique ambos lados por el inverso multiplicativo de$\ -\frac{1}{4}$, que es -4.
$\ (-4)\left(-\frac{1}{4}\right) x=(-4) 2$	Multiplicar.
\ (\\ begin {array} {r} \ text {(1)} x=-8\ x=-8 \ end {array}\)	Cualquier número multiplicado por su inverso multiplicativo es igual a 1, entonces$\ x=-8$.
\ (\\ begin {array} {r} \ left (-\ frac {1} {4}\ derecha) (-8) =2\\ \ frac {8} {4} =2\\ 2=2 \ end {array}\)	Verifique sustituyendo su solución en la ecuación original. La solución es correcta.

$\ x=-8$

Ejemplo Avanzado

Resolver$\ -\frac{7}{2}=\frac{x}{10}$. Consulta tu solución.

Solución

\ (\\ comenzar {alineado}
10\ izquierda (-\ frac {7} {2}\ derecha) &=10\ izquierda (\ frac {x} {10}\ derecha)\
-\ frac {70} {2} &=\ frac {10 x} {10}\
-\ frac {70} {2} &=x\\
-35 &=x
\ end {alineado}\)

Este problema contiene dos fracciones. Multiplique ambos lados por 10 para aislar la variable$\ x$.

Entonces simplifica las fracciones.

Cheque

\ (\\ comenzar {alineado}
-\ frac {7} {2} &=\ frac {x} {10}\
-\ frac {7} {2} &=\ frac {-35} {10}\
-\ frac {7} {2}\ cdot\ frac {5} {5} &=\ frac {-35} {10}\
-\ frac ac {35} {10} &=\ frac {-35} {10}
\ end {alineado}\)

Comprueba tu respuesta sustituyendo -35 pulgadas por$\ x$.

La solución es correcta.

$\ x=-35$

Ejercicio

Resolver para$\ x$:$\ 5 x=-100$

$\ x=20$
$\ x=-20$
$\ x=500$
$\ x=-500$

Contestar

Incorrecto. Para aislar la variable, se pueden dividir ambos lados por 5, ya que cualquier número dividido por sí mismo es 1. $\ \frac{-100}{5}=-20$. La respuesta correcta es -20.
Correcto. Dividiendo ambos lados por 5, lo encuentras$\ x=-20$. Para verificar esta respuesta, puede sustituir -20 in for$\ x$ en la ecuación original para obtener una declaración verdadera:$\ 5(-20)=-100$.
Incorrecto. Probablemente multiplicaste ambos lados por -5. Para aislar la variable, recuerde dividir, no multiplicar, ambos lados por 5 porque cualquier número dividido por sí mismo es 1. La respuesta correcta es -20.
Incorrecto. Probablemente multiplicaste ambos lados por 5. Para aislar la variable, recuerde dividir, no multiplicar, ambos lados por 5 porque cualquier número dividido por sí mismo es 1. La respuesta correcta es -20.

Pregunta Avanzada

Resolver para$\ y$:$\ 4.2=7 y$

$\ y=0.6$
$\ y=29.4$
$\ y=1.67$
$\ y=-2.8$

Contestar

Correcto. Para aislar la variable del$\ y$ lado derecho de la ecuación, hay que dividir ambos lados de la ecuación por$\ \text { 7. } \frac{4.2}{7}=0.6$, entonces$\ y=0.6$.
Incorrecto. Parece que multiplicaste$\ 4.2 \cdot 7$ para obtener una respuesta de 29.4. Recuerda que si multiplicas el lado izquierdo por 7, también tienes que multiplicar el derecho por 7; ¡esto no aísla la variable! La respuesta correcta es$\ y=0.6$.
Incorrecto. Parece que dividiste 7 por 4.2 para obtener una respuesta de 1.67. Sin embargo, ¡dividir ambos lados por 4.2 no aísla la variable! La respuesta correcta es$\ y=0.6$.
Incorrecto. Parece que restaste 7 de 4.2 para obtener una respuesta de -2.8. Recuerda que la expresión$\ 7y$ significa “7 veces”$\ y$. Para aislar la variable, es necesario utilizar la inversa de la multiplicación, no la resta. La respuesta correcta es$\ y=0.6$.

Resumen

Las ecuaciones son declaraciones matemáticas que combinan dos expresiones de igual valor. Una ecuación algebraica se puede resolver aislando la variable en un lado de la ecuación usando las propiedades de igualdad. Para verificar la solución de una ecuación algebraica, sustituya el valor de la variable en la ecuación original.

\(\ 3 x=24\)	Divide ambos lados de la ecuación por 3 para aislar la variable (tener un coeficiente de 1).
\ (\\ begin {array} {l} \ frac {3 x} {3} &=\ frac {24} {3}\\ x&=8 \ end {array}\)	Dividir por 3 es lo mismo que haber multiplicado por\(\ \frac{1}{3}\).
\ (\\ comenzar {alineado} 3 x &=24\\ 3\ cdot 8 &=24\\ 24 &=24 \ end {alineado}\)	Verifique sustituyendo su solución, 8, por la variable en la ecuación original. ¡la solución es correcta!

\ (\\ begin {array} {r} \ frac {1} {2} x=8\\ 2\ izquierda (\ frac {1} {2} x\ derecha) =2 (8) \ end {array}\)	El coeficiente de\(\ \frac{1}{2} x\) es\(\ \frac{1}{2}\). Dado que el inverso multiplicativo de\(\ \frac{1}{2}\) es 2, puede multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 para obtener un coeficiente de 1 para la variable.
\ (\\ comenzar {alineado} \ frac {2} {2} x &=16\\ x &=16 \ final {alineado}\)	Multiplicar.
\(\ \frac{1}{2}(16)=8\)	Verifique sustituyendo su solución en la ecuación original.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {16} {2} =8\\ 8=8 \ end {array}\)	¡La solución es correcta!

\(\ \left(-\frac{1}{4}\right) x=2\)	El coeficiente de la variable es\(\ -\frac{1}{4}\). Multiplique ambos lados por el inverso multiplicativo de\(\ -\frac{1}{4}\), que es -4.
\(\ (-4)\left(-\frac{1}{4}\right) x=(-4) 2\)	Multiplicar.
\ (\\ begin {array} {r} \ text {(1)} x=-8\ x=-8 \ end {array}\)	Cualquier número multiplicado por su inverso multiplicativo es igual a 1, entonces\(\ x=-8\).
\ (\\ begin {array} {r} \ left (-\ frac {1} {4}\ derecha) (-8) =2\\ \ frac {8} {4} =2\\ 2=2 \ end {array}\)	Verifique sustituyendo su solución en la ecuación original. La solución es correcta.