15.1.4: Expresiones racionales Complejas

Objetivos de aprendizaje

• Simplifica expresiones racionales complejas.

Introducción

Las fracciones y expresiones racionales se pueden interpretar como cocientes. Cuando tanto el dividendo (numerador) como el divisor (denominador) incluyen fracciones o expresiones racionales, se tiene algo más complejo de lo habitual. ¡No temas! ¡Tienes todas las herramientas que necesitas para simplificar estos cocientes!

Fracciones Complejas

Una fracción compleja es el cociente de dos fracciones. Estas fracciones complejas nunca se consideran en la forma más simple, pero siempre se pueden simplificar usando la división de fracciones.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{10}}$

Solución

$\ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{10}}=\frac{3}{4} \div \frac{9}{10}$	Reescribir la fracción compleja como problema de división.
\ (\\ begin {alineado} =&\ frac {3} {4}\ cdot\ frac {10} {9}\\ &=\ frac {30} {36} \ end {alineado}\)	Reescribir la división como multiplicación, utilizando el recíproco del divisor.
\ (\\ comenzar {alineado} &=\ frac {5\ cdot 6} {6\ cdot 6}\\ &=\ frac {5} {6}\ cdot\ frac {6} {6}\\ &=\ frac {5} {6}\ cdot 1 \ end {alineado}\)	Multiplique y simplifique si es posible.

$\ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{10}}=\frac{5}{6}$

Antes de multiplicar los números, a menudo es útil factorial los números. Luego puede usar los factores para crear una fracción igual a 1.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{\frac{12}{35}}{\frac{6}{7}}$

Solución

$\ \frac{\frac{12}{35}}{\frac{6}{7}}=\frac{12}{35} \div \frac{6}{7}$	Reescribir la fracción compleja como problema de división.
$\ =\frac{12}{35} \cdot \frac{7}{6}$	Reescribir la división como multiplicación, utilizando el recíproco del divisor.
\ (\\ begin {array} {l} =\ frac {2.6\ cdot 7} {5\ cdot 7\ cdot 6}\\ =\ frac {2} {5}\ cdot\ frac {6\ cdot 7} {6\ cdot 7}\\ =\ frac {2} {5}\ cdot 1 \ end {array}\)	Facturar el numerador y el denominador, buscando factores comunes, antes de multiplicar números juntos.

$\ \frac{\frac{12}{35}}{\frac{6}{7}}=\frac{2}{5}$

Si aparecen dos fracciones en el numerador o denominador (o ambos), primero combínelas. Después, simplifique el cociente como se muestra arriba.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{\frac{3}{5}+\frac{1}{5}}{\frac{4}{7}-\frac{1}{7}}$

Solución

$\ \frac{\frac{3}{5}+\frac{1}{5}}{\frac{4}{7}-\frac{1}{7}}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{7}}$	Primero combina el numerador y el denominador sumando o restando.
$\ \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{7}}=\frac{4}{5} \div \frac{3}{7}$	Reescribir la fracción compleja como problema de división.
$\ =\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3}$	Reescribir la división como multiplicación, utilizando el recíproco del divisor.
$\ =\frac{28}{15}$	Multiplique y simplifique según sea necesario.

$\ \frac{\frac{3}{5}+\frac{1}{5}}{\frac{4}{7}-\frac{1}{7}}=\frac{28}{15}$

Ejercicio

Simplificar. $\ \frac{\frac{21}{52}}{\frac{10}{13}}$

1. $\ \frac{105}{338}$
2. $\ \frac{273}{520}$
3. $\ \frac{21}{40}$
4. $\ \frac{21}{10}$

Contestar

1. Incorrecto. Es posible que hayas multiplicado$\ \frac{21}{52}$ por$\ \frac{10}{13}$ en lugar de dividirlo. La fracción compleja es equivalente a$\ \frac{21}{52} \div \frac{10}{13}$, que es$\ \frac{21}{52} \cdot \frac{13}{10}$. La respuesta correcta es$\ \frac{21}{40}$.
2. Incorrecto. Encontraste correctamente que la fracción compleja es equivalente a$\ \frac{21}{52} \cdot \frac{13}{10}$, pero esto se puede simplificar aún más eliminando el factor común de 13 en el numerador y denominador:$\ \frac{21}{4(13)} \cdot \frac{13}{10}$. La respuesta correcta es$\ \frac{21}{40}$.
3. Correcto. La fracción compleja es equivalente a$\ \frac{21}{52} \div \frac{10}{13}$, que es$\ \frac{21}{52} \cdot \frac{13}{10}$. Ahora quita el factor común de 13 del numerador y denominador:$\ \frac{21}{4(13)} \cdot \frac{13}{10}$. Esto deja$\ \frac{21}{40}$ como la fracción simplificada.
4. Incorrecto. Antes de intentar eliminar cualquier factor común, reescriba la fracción compleja as$\ \frac{21}{52} \div \frac{10}{13}$, que es$\ \frac{21}{52} \cdot \frac{13}{10}$. Luego retire el factor común de 13 del numerador y denominador:$\ \frac{21}{4(13)} \cdot \frac{13}{10}$. La respuesta correcta es$\ \frac{21}{40}$.

Expresiones racionales complejas

Una expresión racional compleja es un cociente con expresiones racionales en el dividendo, divisor, o en ambos. Simplifica estos exactamente de la misma manera que lo harías con una fracción compleja.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{\frac{x+5}{x^{2}-16}}{\frac{x^{2}-25}{x-4}}$

Solución

$\ =\frac{x+5}{x^{2}-16} \div \frac{x^{2}-25}{x-4}$	Reescribir la expresión compleja como problema de división.
$\ =\frac{x+5}{x^{2}-16} \cdot \frac{x-4}{x^{2}-25}$	Reescribir la división como multiplicación, utilizando el recíproco del divisor. Obsérvese que los valores excluidos para esto son -4, 4, -5 y 5, porque esos valores hacen que los denominadores de una de las fracciones sean cero.
\ (\\ begin {alineado} &=\ frac {(x+5) (x-4)} {(x+4) (x-4) (x+5) (x-5)}\\ =&\ frac {(x+5) (x-4)} {(x+5) (x-4) (x-4)}\ cdot\ frac {1} {(x+4) (x-5)} \ end {alineado}\)	Factorizar el numerador y denominador, buscando factores comunes. En este caso,$\ x+5$ y$\ x-4$ son factores comunes del numerador y denominador. Observe que$\ \frac{(x+5)(x-4)}{(x+5)(x-4)}$ es igual a 1.
$\ \frac{\frac{x+5}{x^{2}-16}}{\frac{x^{2}-25}{x-4}}=\frac{1}{(x+4)(x-5)}$	$\ x \neq-4,4,-5,5$

Las mismas ideas se pueden utilizar a la hora de simplificar expresiones racionales complejas que incluyen más de una expresión racional en el numerador o denominador. Sin embargo, hay un atajo que se puede utilizar. Compara estos dos ejemplos de simplificación de una fracción compleja.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{1-\frac{9}{x^{2}}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}$

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} =\ frac {\ frac {x^ {2}} {x^ {2}} -\ frac {9} {x^ {2}}} {\ frac {x^ {2}} {x^ {2}} +\ frac {5 x} {x^ {2}} +\ frac {6} {x^ {2}}\ =\ frac {\ frac {x^ {2} -9} {x^ {2}}} {\ frac {x^ {2} +5 x+6} {x^ {2}}} \ final {alineado}\)	Combina las expresiones en el numerador y denominador. Para ello, reescribe las expresiones usando un denominador común. Hay un valor excluido de 0 porque esto hace que los denominadores de las fracciones sean cero.
$\ =\frac{x^{2}-9}{x^{2}} \div \frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}}$	Reescribir la expresión racional compleja como problema de división. (Cuando te sientes cómodo con el paso de reescribir la fracción racional compleja como un problema de división, podrías saltarte este paso e ir directo a reescribirla como multiplicación).
$\ =\frac{x^{2}-9}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}+5 x+6}$	Reescribir la división como multiplicación, utilizando el recíproco del divisor.
\ (\\ begin {array} {r} =\ frac {(x+3) (x-3) x^ {2}} {x^ {2} (x+3) (x+2)}\\ =\ frac {x-3} {x+2}\ cdot\ frac {x^ {2} (x+3)} {x^ {2} (x+3)} \ end {array}\)	Factorizar el numerador y denominador, buscando factores comunes. En este caso,$\ x+3$ y$\ x^{2}$ son factores comunes. Ahora podemos ver que hay dos valores adicionales excluidos, -2 y -3.

$\ \frac{1-\frac{9}{x^{2}}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}=\frac{x-3}{x+2} \quad x \neq-3,-2,0$

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{1-\frac{9}{x^{2}}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}$

Solución

$\ =\frac{1-\frac{9}{x^{2}}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$	Antes de combinar las expresiones, encuentra un denominador común para todas las expresiones racionales. (En este caso,$\ x^{2}$ es un denominador común.)
\ (\\ comenzar {matriz} {l} =\ frac {\ izquierda (1-\ frac {9} {x^ {2}}\ derecha) x^ {2}} {\ izquierda (1+\ frac {5} {x} +\ frac {6} {x^ {2}}\ derecha) x^ {2}}\\ =\ frac {x^ {2} -9} {x^ {2} +5 x+6} \ end {array}\)	Multiplique por 1 en forma de fracción con el denominador común tanto en numerador como denominador. (En este caso, multiplicar por$\ \frac{x^{2}}{x^{2}}$.) Hay un valor excluido de 0 porque esto hace que los denominadores de las fracciones sean cero.
\ (\\ begin {array} {l} =\ frac {(x+3) (x-3)} {(x+3) (x+2)}\\ =\ frac {x+3} {x+3}\ cdot\ frac {x-3} {x+2}\\ =1\ cdot\ frac {x-3} {x+2} \ end {array}\)	¡Observe que la expresión ya no es compleja! Se puede simplificar factorizando e identificando factores comunes. Ahora podemos ver que hay dos valores adicionales excluidos, -2 y -3.
$\ \frac{1-\frac{9}{x^{2}}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}=\frac{x-3}{x+2}$	$\ x \neq-3,-2,0$

Es posible que el segundo método sea más fácil de usar. Pruebe ambos métodos en el siguiente problema.

Ejercicio

Simplificar. $\ \frac{1+\frac{2}{3 x}}{\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x}}$

1. $\ 1$
2. $\ \frac{x}{3}$
3. $\ \frac{3 x^{2}+2 x}{6+9 x}$
4. $\ \frac{x^{2}+2 x}{2+3 x}$

Contestar

1. Incorrecto. Probablemente intentaste multiplicar la expresión usando un denominador común, pero usaste un multiplicador$\ (3 x)$ para las expresiones en el numerador y otro diferente$\ \left(x^{2}\right)$ para las expresiones en el denominador. El denominador común de todos los términos tanto en el numerador como en el denominador es$\ 3 x^{2}$. Multiplicando la expresión por$\ \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ da$\ \frac{3 x^{2}+2 x}{6+9 x}$. El numerador y denominador en esta expresión tienen un factor común de$\ (3 x+2)$, por lo que la respuesta correcta es$\ \frac{x}{3}$.
2. Correcto. El denominador común de todos los términos tanto en numerador como denominador es$\ 3 x^{2}$. Multiplicando la expresión por$\ \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ da$\ \frac{3 x^{2}+2 x}{6+9 x}$. El numerador y denominador en esta expresión tienen un factor común de$\ (3 x+2)$, por lo que la respuesta correcta es$\ \frac{x}{3}$.
3. Incorrecto. Usted ha simplificado correctamente la expresión racional compleja a la expresión racional simple$\ \frac{3 x^{2}+2 x}{6+9 x}$, pero esto puede simplificarse aún más. El numerador y denominador en esta expresión tienen un factor común de$\ (3 x+2)$, por lo que la respuesta correcta es$\ \frac{x}{3}$.
4. Incorrecto. Es posible que haya utilizado$\ x^{2}$ más que$\ 3 x^{2}$ como denominador común de todas las expresiones racionales, y olvidado el 3 en el denominador de$\ \frac{2}{3 x}$. Multiplicando la expresión por$\ \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ da$\ \frac{3 x^{2}+2 x}{6+9 x}$. El numerador y denominador en esta expresión tienen un factor común de$\ (3 x+2)$, por lo que la respuesta correcta es$\ \frac{x}{3}$.

Resumen

Las expresiones racionales complejas son cocientes con expresiones racionales en el divisor, dividendo o ambos. Cuando se escriben en forma fraccionaria, parecen ser fracciones dentro de una fracción. Estos pueden simplificarse tratando primero el cociente como un problema de división. Entonces puedes reescribir la división como multiplicación usando el recíproco del divisor. O se puede simplificar la expresión racional compleja multiplicando tanto el numerador como el denominador por un denominador común a todas las expresiones racionales dentro de la expresión compleja. Esto puede ayudar a simplificar la expresión compleja aún más rápido.