16.2.4: Racionalización de denominadores

Objetivos de aprendizaje

• Racionalizar un denominador con un monomio que contenga una raíz cuadrada.
• Racionalizar un denominador que contenga dos términos.

Introducción

Aunque los radicales siguen las mismas reglas que los enteros, a menudo es difícil averiguar el valor de una expresión que contiene radicales. Por ejemplo, probablemente tengas un buen sentido de cuánto\(\ \frac{4}{8}\), 0.75, y\(\ \frac{6}{9}\) son, pero ¿qué pasa con las cantidades\(\ \frac{1}{\sqrt{2}}\) y\(\ \frac{1}{\sqrt{5}}\)? Estos son mucho más difíciles de visualizar.

Dicho esto, a veces hay que trabajar con expresiones que contienen muchos radicales. A menudo el valor de estas expresiones no queda claro de inmediato. En los casos en que se tiene una fracción con un radical en el denominador, se puede utilizar una técnica llamada racionalizar un denominador para eliminar al radical. El punto de racionalizar un denominador es facilitar la comprensión de cuál es realmente la cantidad eliminando radicales de los denominadores.

¿Qué es la racionalización de un denominador?

La idea de racionalizar un denominador tiene un poco más de sentido si se considera la definición de “racionalizar”. Recordemos que los números 5\(\ \frac{1}{2}\),, y\(\ 0.75\) son todos conocidos como números racionales porque cada uno puede expresarse como una relación de dos enteros (\(\ \frac{5}{1}\),\(\ \frac{1}{2}\), y\(\ \frac{3}{4}\) respectivamente). Algunos radicales son números irracionales porque no pueden representarse como una relación de dos enteros. En consecuencia, el punto de racionalizar un denominador es cambiar la expresión para que el denominador se convierta en un número racional.

Aquí algunos ejemplos de denominadores irracionales y racionales.

Irracional		Racional
\(\ \frac{1}{\sqrt{2}}\)	=	\(\ \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)	=	\(\ \frac{2 \sqrt{3}+3}{3}\)

Ahora examinemos cómo pasar de denominadores irracionales a racionales.

Racionalización de denominadores con un término

Empecemos con la fracción\(\ \frac{1}{\sqrt{2}}\). Su denominador es\(\ \sqrt{2}\), un número irracional. Esto hace que sea difícil averiguar el valor de\(\ \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Puedes renombrar esta fracción sin cambiar su valor, si la multiplica por 1. En este caso, establecer 1 igual a\(\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\). Vigila lo que sucede.

\(\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

El denominador de la nueva fracción ya no es radical (fíjese, sin embargo, que el numerador es).

Entonces, ¿por qué elegir multiplicar\(\ \frac{1}{\sqrt{2}}\) por\(\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)? Sabías que la raíz cuadrada de un número de veces en sí será un número entero. En términos algebraicos, esta idea está representada por\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\). Mirar hacia atrás a los denominadores en la multiplicación de\(\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1\). ¿Ves dónde\(\ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{4}=2\)?

Aquí hay algunos ejemplos más. Observe cómo el valor de la fracción no se cambia en absoluto; simplemente se está multiplicando por otro nombre por 1.

Ejemplo

Racionalizar el denominador. \(\ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Solución

\(\ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)	El denominador de esta fracción es\(\ \sqrt{3}\). Para convertirlo en un número racional, multiplíquelo por\(\ \sqrt{3}\), ya que\(\ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}=3\).
\(\ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)	Multiplique toda la fracción por otro nombre para 1,\(\ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\).
\(\ \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\)
\(\ \frac{2 \sqrt{3}+\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{9}}\)	Utilice la Propiedad Distributiva para multiplicar\(\ \sqrt{3}(2+\sqrt{3})\).
\(\ \frac{2 \sqrt{3}+\sqrt{9}}{\sqrt{9}}\)	Simplificar los radicales, cuando sea posible. \(\ \sqrt{9}=3\).

\(\ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}+3}{3}\)

Se puede utilizar el mismo método para racionalizar denominadores para simplificar fracciones con radicales que contienen una variable. Siempre y cuando multipliques la expresión original por otro nombre por 1, puedes eliminar un radical en el denominador sin cambiar el valor de la expresión misma.

Ejemplo

Racionalizar el denominador. \(\ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\), donde\(\ x \neq 0\)

Solución

\(\ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)	El denominador es\(\ \sqrt{x}\), por lo que toda la expresión se puede\(\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) multiplicar por para deshacerse del radical en el denominador.
\(\ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}\)
\(\ \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}+\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}\)	Utilice la Propiedad Distributiva. Simplificar los radicales, cuando sea posible. Recuerda eso\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\).

\(\ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=\frac{x+\sqrt{x y}}{x}\)

Ejemplo

Racionalizar el denominador y simplificar. \(\ \sqrt{\frac{100 x}{11 y}}\), donde\(\ y \neq 0\)

Solución

\(\ \frac{\sqrt{100 x}}{\sqrt{11 y}}\)	Reescribir\(\ \sqrt{\frac{a}{b}}\) como\(\ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
\(\ \frac{\sqrt{100 x}}{\sqrt{11 y}} \cdot \frac{\sqrt{11 y}}{\sqrt{11 y}}\)	El denominador es\(\ \sqrt{11 y}\), por lo que multiplicar toda la expresión por\(\ \frac{\sqrt{11 y}}{\sqrt{11 y}}\) racionalizará el denominador.
\(\ \frac{\sqrt{100 \cdot 11 x y}}{\sqrt{11 y} \cdot \sqrt{11 y}}\)	Multiplique y simplifique los radicales, cuando sea posible.
\(\ \frac{\sqrt{100} \cdot \sqrt{11 x y}}{\sqrt{11 y} \cdot \sqrt{11 y}}\)	100 es un cuadrado perfecto. Recuerda eso\(\ \sqrt{100}=10\) y\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\).

\(\ \sqrt{\frac{100 x}{11 y}}=\frac{10 \sqrt{11 x y}}{11 y}\)

Ejercicio

Racionalizar el denominador y simplificar. \(\ \frac{3}{\sqrt{7}}\)

1. \(\ \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)
2. \(\ 3\)
3. \(\ \frac{7 \sqrt{3}}{3}\)
4. \(\ \frac{3 \sqrt{7}}{7}\)

Responder

1. Incorrecto. Después de racionalizar un denominador, el denominador no debe estar en forma radical. Intenta multiplicar la fracción por\(\ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\). La respuesta correcta es\(\ \frac{3 \sqrt{7}}{7}\).
2. Incorrecto. El proceso de racionalización no quita el denominador, solo cambia la fracción para que el denominador ya no sea radical. Intenta multiplicar el numerador y el denominador por\(\ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\). La respuesta correcta es\(\ \frac{3 \sqrt{7}}{7}\).
3. Incorrecto. Es posible que hayas racionalizado la fracción\(\ \frac{7}{\sqrt{3}}\) en vez de\(\ \frac{3}{\sqrt{7}}\). Intenta multiplicar el numerador y el denominador por\(\ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\). La respuesta correcta es\(\ \frac{3 \sqrt{7}}{7}\).
4. Correcto. Para racionalizar el denominador, multiplicar\(\ \frac{3}{\sqrt{7}}\) por\(\ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\). Esto creará un entero en el denominador, por lo que la fracción se habrá racionalizado.

Racionalización de denominadores con dos términos

Los denominadores no siempre contienen un solo término, como se muestra en los ejemplos anteriores. En ocasiones, verás expresiones como\(\ \frac{3}{\sqrt{2}+3}\) donde el denominador está compuesto por dos términos,\(\ \sqrt{2}\) y\(\ +3\).

Desafortunadamente, no se puede racionalizar estos denominadores de la misma manera que racionaliza a los denominadores de término único. Si multiplicas\(\ \sqrt{2}+3\) por\(\ \sqrt{2}\), obtienes\(\ 2+3 \sqrt{2}\). El original\(\ \sqrt{2}\) se ha ido, pero ahora\(\ 3 \sqrt{2}\) ha aparecido la cantidad, ¡pero esto no es mejor!

Para racionalizar este denominador, se quiere cuadrar el término radical y de alguna manera evitar que el término entero se multiplique por un radical. ¿Esto es posible?

Es posible, ¡y ya has visto cómo hacerlo!

Recordemos que cuando se\(\ (a+b)(a-b)\) multiplican los binomios de la forma, el producto es\(\ a^{2}-b^{2}\). Entonces, por ejemplo,\(\ (x+3)(x-3)=x^{2}-3 x+3 x-9=x^{2}-9\); fíjate que los términos\(\ -3 x\) y\(\ +3 x\) se combinan a 0. Ahora, para la conexión con la racionalización de los denominadores: ¿y si se sustituye por\(\ x\)\(\ \sqrt{2}\)?

Mira los ejemplos a continuación. Así como\(\ -3 x+3 x\) combina a 0 en el ejemplo superior,\(\ -3 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}\) combina a 0 en el ejemplo inferior.

\ (\\ begin {array} {l}
(x+3) (x-3)\
= x^ {2} -3 x+3 x-9\\
=x^ {2} -9
\ end {array}\)

\ (\\ begin {array} {l}
(\ sqrt {2} +3) (\ sqrt {2} -3)\\
=(\ sqrt {2}) ^ {2} -3\ sqrt {2} +3\ sqrt {2} -9\\
=(\ sqrt {2}) ^ {2} -9\
=2-9\
=-7
\ end {array}\)

¡Ahí lo tienes! Multiplicando\(\ \sqrt{2}+3\) por\(\ \sqrt{2}-3\) eliminado un radical sin agregar otro.

En este ejemplo,\(\ \sqrt{2}-3\) se conoce como un conjugado,\(\ \sqrt{2}+3\) y\(\ \sqrt{2}-3\) se conocen como un par conjugado. Para encontrar el conjugado de un binomio que incluya radicales, cambie el signo del segundo término a su opuesto como se muestra en la siguiente tabla.

Término	Conjugado	Producto
\(\ \sqrt{2}+3\)	\(\ \sqrt{2}-3\)	\(\ (\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3)=(\sqrt{2})^{2}-(3)^{2}=2-9=-7\)
\(\ \sqrt{x}-5\)	\(\ \sqrt{x}+5\)	\(\ (\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)=(\sqrt{x})^{2}-(5)^{2}=x-25\)
\(\ 8-2 \sqrt{x}\)	\(\ 8+2 \sqrt{x}\)	\(\ (8-2 \sqrt{x})(8+2 \sqrt{x})=(8)^{2}-(2 \sqrt{x})^{2}=64-4 x\)
\(\ 1+\sqrt{x y}\)	\(\ 1-\sqrt{x y}\)	\(\ (1+\sqrt{x y})(1-\sqrt{x y})=(1)^{2}-(\sqrt{x y})^{2}=1-x y\)

Ejemplo

Racionalizar el denominador y simplificar. \(\ \frac{5-\sqrt{7}}{3+\sqrt{5}}\)

Solución

\(\ \frac{5-\sqrt{7}}{3+\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\)	Encuentra el conjugado de\(\ 3+\sqrt{5}\). Después multiplica toda la expresión por\(\ \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\).
\(\ \frac{(5-\sqrt{7})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}\)
\(\ \frac{5 \cdot 3-5 \sqrt{5}-3 \sqrt{7}+\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot 3-3 \sqrt{5}+3 \sqrt{5}-\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\)	Usa la Propiedad Distributiva para multiplicar los binomios en el numerador y denominador.
\(\ \frac{15-5 \sqrt{5}-3 \sqrt{7}+\sqrt{35}}{9-3 \sqrt{5}+3 \sqrt{5}-\sqrt{25}}\)	Ya que multiplicaste por el conjugado del denominador, los términos radicales en el denominador se combinarán a 0.
\ (\\ begin {array} {l} \ frac {15-5\ sqrt {5} -3\ sqrt {7} +\ sqrt {35}} {9-\ sqrt {25}}\ \ frac {15-5\ sqrt {5} -3\ sqrt {7} +\ sqrt {35}} {9-5} \ end {array}\)	Simplifique los radicales cuando sea posible.

\(\ \frac{5-\sqrt{7}}{3+\sqrt{5}}=\frac{15-5 \sqrt{5}-3 \sqrt{7}+\sqrt{35}}{4}\)

Ejemplo

Racionalizar el denominador y simplificar. \(\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)

Solución

\(\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)	Encuentra el conjugado de\(\ \sqrt{x}+2\). Después multiplica el numerador y el denominador por\(\ \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\).
\(\ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}\)
\(\ \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}-2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}-2 \sqrt{x}+2 \sqrt{x}-2 \cdot 2}\)	Usa la Propiedad Distributiva para multiplicar los binomios en el numerador y denominador.
\(\ \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}-2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}-2 \sqrt{x}+2 \sqrt{x}-4}\)	Simplificar. Recuerda eso\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\). Ya que multiplicaste por el conjugado del denominador, los términos radicales en el denominador se combinarán a 0.

\(\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\frac{x-2 \sqrt{x}}{x-4}\)

Una palabra de precaución: este método funcionará para binomios que incluyan una raíz cuadrada, pero no para binomios con raíces mayores a 2. Esto se debe a que al cuadrar una raíz que tenga un índice mayor a 2 no se elimina la raíz, como se muestra a continuación.

\ (\\ begin {array} {l}
(\ sqrt [3] {10} +5) (\ sqrt [3] {10} -5)\\
=(\ sqrt [3] {10}) ^ {2} -5\ sqrt [3] {10} +5\ sqrt [3] {10} -25\\ =(\ sqrt [3] {10}) ^ {2} -25\\
=(\ sqrt [3] {10}) ^ {2} -25\\
=\ sqrt [3] {100} -25
\ end {array}\)

\(\ \sqrt[3]{100}\)no se puede simplificar más, ya que sus factores primos son\(\ 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5\). ¡No hay números en cubos para sacar! Multiplicar\(\ \sqrt[3]{10}+5\) por su conjugado no da como resultado una expresión libre de radicales.

Ejercicio

Identificar el conjugado del denominador. \(\ \frac{x+2}{\sqrt{2 x}-7}\)

1. \(\ \sqrt{2 x}+7\)
2. \(\ \sqrt{2 x}-7\)
3. \(\ 2 x+\sqrt{7}\)
4. \(\ (2 x)^{2}+7\)

Responder

1. Correcto. El conjugado será el binomio que, al multiplicarse por el denominador, elimina al radical. El conjugado es\(\ \sqrt{2 x}+7\).
2. Incorrecto. El denominador no es el conjugado. Busca el binomio que, al multiplicarse por el denominador, elimina al radical. La respuesta correcta es\(\ \sqrt{2 x}+7\).
3. Incorrecto. Multiplicar el denominador por no\(\ 2 x+\sqrt{7}\) eliminará al radical. Busca el binomio que sigue el patrón\(\ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\). La respuesta correcta es\(\ \sqrt{2 x}+7\).
4. Incorrecto. Multiplicar el denominador por no\(\ (2 x)^{2}+7\) eliminará al radical. Busca el binomio que sigue el patrón\(\ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\). La respuesta correcta es\(\ \sqrt{2 x}+7\).

Resumen

Cuando te encuentras con una fracción que contiene un radical en el denominador, puedes eliminarlo usando un proceso llamado racionalizar el denominador. Para racionalizar un denominador, es necesario encontrar una cantidad que, al multiplicarse por el denominador, creará un número racional (sin términos radicales) en el denominador. Cuando el denominador contiene un solo término, como en\(\ \frac{1}{\sqrt{5}}\), multiplicar la fracción por\(\ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) eliminará el radical del denominador. Cuando el denominador contiene dos términos, como en\(\ \frac{2}{\sqrt{5}+3}\), identifica el conjugado del denominador, aquí\(\ \sqrt{5}-3\), y multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado.