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1.1: Porcentajes

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    En los debates vicepresidenciales de 2004, Edwards afirmó que las fuerzas estadounidenses han sufrido “el 90% de las bajas de la coalición” en Irak. Cheney disputó esto, diciendo que de hecho las fuerzas de seguridad iraquíes y los aliados de la coalición “se han llevado casi el 50 por ciento” de las bajas (1). ¿Quién es correcto? ¿Cómo podemos darle sentido a estos números?

    Por ciento significa literalmente “por 100”, o “partes por cien”. Cuando escribimos 40%, esto equivale a la fracción\(\dfrac{40}{100}\) o al decimal 0.40. Observe que 80 de 200 y 10 de 25 también son 40%, ya que\(\dfrac{80}{200} = \dfrac{10}{25} = \dfrac{40}{100} \).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    243 personas de 400 afirman que les gustan los perros. ¿Qué porcentaje es este?

    Solución

    \( \dfrac{243}{400} = 0.6075 = \dfrac{60.75}{100} \). Esto es\(60.75%\)

    Observe que el porcentaje se puede encontrar a partir del decimal equivalente moviendo el punto decimal dos lugares hacia la derecha.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Escribe cada uno como un porcentaje: a)\(\dfrac{1}{4}\) b) 0.02 c) 2.35

    Solución

    a)\(\dfrac{1}{4}\) = 0.25 = 25% b) 0.02 = 2% c) 2.35 = 235%

    Definición: Porcentaje

    Si tenemos una parte que es algo por ciento de un todo, entonces

    \(\text{percent} = \dfrac{\text{part}}{\text{whole}}\), o equivalentemente,\(\text{part} = \text{percent} \cdot \text{whole}\).

    Para hacer los cálculos, escribimos el porcentaje como decimal. Recordemos, para reescribir el porcentaje como decimal, movemos el decimal sobre dos lugares a la izquierda, o, de manera equivalente, dividimos el número por ciento por 100.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    El impuesto a las ventas en una localidad es de 9.4%. ¿Cuánto impuesto va a pagar en una compra de $140?

    Solución

    Aquí, $140 es el todo, y queremos encontrar 9.4% de $140. Comenzamos escribiendo el porcentaje como decimal moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda (lo que equivale a dividir por 100). Luego podemos calcular:

    impuestos = 0.094 (140) = $13.16

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    En las noticias, se oye “se espera que la matrícula aumente 7% el próximo año”. Si la matrícula de este año es de 1.200 dólares por trimestre, ¿cuál será el próximo año?

    Solución

    La matrícula del próximo año será la matrícula vigente más un 7% adicional, por lo que será el 107% de la matrícula de este año:

    $1200 (1.07) = $1,284

    Alternativamente, podríamos haber calculado primero 7% de $1200: $1200 (0.07) = $84. Observe que esta no es la matrícula esperada para el próximo año (solo podríamos desear). En cambio, este es el aumento esperado, por lo que para calcular la matrícula esperada, tendremos que agregar este cambio a la matrícula del año anterior:

    $1200 + $84 = $1,284.

    Pruébalo ahora 1

    Un televisor originalmente con un precio de $799 está a la venta con un 30% de descuento. Entonces hay un impuesto a las ventas de 9.2%. Encuentra el precio después de incluir el descuento y el impuesto sobre las ventas.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    El valor de un automóvil bajó de $7,400 a $6,800 en el último año. ¿Qué porcentaje de disminución es esta?

    Solución

    Para calcular el cambio porcentual, primero necesitamos encontrar el cambio en el valor del dólar: $6800-$7400 = -$600. A menudo, tomamos el valor absoluto de esta cantidad, que se llama el cambio absoluto: |-600| = 600.

    Dado que estamos calculando la disminución porcentual relativa al valor inicial, calculamos este porcentaje de $7,400:

    \(\dfrac{600}{7400} = 0.081 =8.1 \)% de disminución. Esto se llama un cambio relativo.

    Definición: Cambio absoluto y relativo

    Dadas dos cantidades,

    Cambio absoluto = |cantidad final − cantidad inicial|

    Cambio relativo:\(\dfrac{\text{ending quantity}}{\text{starting quantity}}\)

    El cambio absoluto tiene las mismas unidades que la cantidad original.

    El cambio relativo da un cambio porcentual.

    A la cantidad inicial se le llama la base del cambio porcentual.

    La base de un porcentaje es muy importante. Por ejemplo, mientras Nixon era presidente, se argumentó que la marihuana era una droga “puerta de entrada”, alegando que el 80% de los fumadores de marihuana pasaron a consumir drogas más duras como la cocaína. El problema es que esto no es cierto. La verdadera afirmación es que el 80% de los consumidores de drogas más duras primero fumaban marihuana. La diferencia es una de base: 80% de los fumadores de marihuana que consumen drogas duras, vs. 80% de los consumidores de drogas duras que han fumado marihuana. Estos números no son equivalentes. Resulta que solo uno de cada 2,400 consumidores de marihuana en realidad pasa a consumir drogas más duras (2).

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Hay alrededor de 75 supermercados QFC en Estados Unidos Albertsons tiene alrededor de 215 tiendas. Compara el tamaño de las dos empresas.

    Solución

    Cuando hacemos comparaciones, debemos preguntarnos primero si una comparación absoluta o relativa. La diferencia absoluta es 215 — 75 = 140. A partir de esto, podríamos decir “Albertsons tiene 140 tiendas más que QFC”. No obstante, si escribiste esto en un artículo o papel, ese número no significa mucho. La diferencia relativa puede ser más significativa. Hay dos cambios relativos diferentes que podríamos calcular, dependiendo de qué tienda usemos como base:

    Usando QFC como base,\(\dfrac{140}{75} = 1.867\).

    Esto nos dice que Albertsons es 186.7% más grande que QFC.

    Usando Albertsons como base,\(\dfrac{140}{215} = 0.651\)

    Esto nos dice que QFC es 65.1% más pequeño que Albertsons.

    Observe que ambos están mostrando diferencias porcentuales. También podríamos calcular el tamaño de Albertsons relativo a QFC:\(\dfrac{215}{75} = 2.867\), lo que nos dice Albertsons es 2.867 veces el tamaño de QFC. De igual manera, podríamos calcular el tamaño de QFC relativo a Albertsons:\(\dfrac{75}{215} = 0.349\), lo que nos dice que QFC es 34.9% del tamaño de Albertsons.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos que una acción baja de valor en 60% una semana, luego aumenta de valor la semana siguiente en 75%. ¿El valor es mayor o menor que donde empezó?

    Solución

    Para responder a esta pregunta, supongamos que el valor comenzó en $100. Después de una semana, el valor bajó 60%:

    $100 - $100 (0.60) = $100 - $60 = $40.

    En la próxima semana, observe que la base del porcentaje ha cambiado al nuevo valor, $40. Computando el incremento del 75%:

    $40 + $40 (0.75) = $40 + $30 = $70.

    Al final, la acción sigue siendo $30 menor, o\(\dfrac{$30}{$100} = 30 \%\) menor, valorada de lo que inició.

    Pruébalo ahora 2

    La deuda federal de Estados Unidos a finales de 2001 era de 5.77 billones de dólares, y creció a $6.20 billones para fines de 2002. A finales de 2005, era de 7.91 billones de dólares, y creció a 8.45 billones de dólares a finales de 2006 (3). Calcular el incremento absoluto y relativo para 2001-2002 y 2005-2006. ¿En qué año se registró un aumento mayor en la deuda federal?

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Un artículo del Seattle Times sobre las tasas de graduación de la escuela secundaria reportó “El número de escuelas que graduaron 60 por ciento o menos estudiantes en cuatro años —a veces denominadas “fábricas de deserción ”— disminuyó en 17 durante ese período de tiempo. El número de niños que asistían a escuelas con tasas de graduación tan bajas se redujo a la mitad”.

    a) ¿Es útil el número de “disminuir en 17” una comparación útil?

    b) Considerando la última frase, ¿podemos concluir que el número de “fábricas desertoras” era originalmente 34?

    Solución

    a) Este número es difícil de evaluar, ya que no tenemos base para juzgar si se trata de un cambio mayor o pequeño. Si el número de “fábricas desertoras” bajara de 20 a 3, ese sería un cambio muy significativo, pero si el número bajara de 217 a 200, eso sería una mejora menor.

    b) La última frase proporciona un cambio relativo que ayuda a poner la primera oración en perspectiva. Podemos estimar que el número de “fábricas desertoras” probablemente antes rondaba 34. Sin embargo, es posible que los estudiantes simplemente movieran escuelas en lugar de mejorar la escuela, por lo que esa estimación podría no ser completamente precisa.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    En los debates vicepresidenciales de 2004, Edwards afirmó que las fuerzas estadounidenses han sufrido “el 90% de las bajas de la coalición” en Irak. Cheney disputó esto, diciendo que de hecho las fuerzas de seguridad iraquíes y los aliados de la coalición “se han llevado casi el 50 por ciento” de las bajas. ¿Quién es correcto?

    Solución

    Sin más información, nos cuesta juzgar quién es correcto, pero podemos concluir fácilmente que estos dos porcentajes están hablando de cosas diferentes, por lo que uno no necesariamente contradice al otro. El reclamo de Edward fue un por ciento con las fuerzas de coalición como base del porcentaje, mientras que el reclamo de Cheney fue un por ciento con las fuerzas de seguridad de coalición e iraquíes como base del porcentaje. Resulta que ambas estadísticas son, de hecho, bastante precisas.

    Pruébalo ahora 3

    En las elecciones presidenciales de 2012, un candidato argumentó que “el plan del presidente recortará $716 mil millones de Medicare, lo que llevará a menos servicios para los adultos mayores”, mientras que el otro candidato rechaza que “nuestro plan no recorta el gasto corriente y en realidad amplía los beneficios para los adultos mayores, al tiempo que implementa el ahorro de costos medidas.” ¿Estas afirmaciones están en conflicto, de acuerdo, o no son comparables porque están hablando de cosas diferentes?

    Terminaremos nuestra revisión de porcentajes con un par de precauciones. Primero, al hablar de un cambio de cantidades que ya se miden en porcentajes, hay que tener cuidado en cómo describimos el cambio.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    El apoyo de un político aumenta del 40% de los votantes al 50% de los votantes. Describir el cambio.

    Solución

    Podríamos describir esto usando un cambio absoluto: | 50% - 40% | = 10%. Observe que dado que las cantidades originales eran porcentajes, este cambio también tiene las unidades de porcentaje. En este caso, lo mejor es describirlo como un incremento de 10 puntos porcentuales.

    En contraste, podríamos calcular el porcentaje de cambio:\(\dfrac{10 \%}{40 \%} = 0.25 = 25 \% \) incremento. Este es el cambio relativo, y diríamos que el apoyo del político ha aumentado un 25%. Por último, una cautela contra el promedio de porcentajes.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Un jugador de basquetbol anota en 40% de intentos de gol de campo de 2 puntos, y en 30% de intentos de gol de campo de 3 puntos. Encuentra el porcentaje general de goles de campo del jugador.

    Solución

    Es muy tentador promediar estos valores, y afirmar que el promedio general es del 35%, pero esto probablemente sea incorrecto ya que la mayoría de los jugadores hacen muchos más intentos de 2 puntos que intentos de 3 puntos. En realidad no tenemos suficiente información para responder a la pregunta. Supongamos que el jugador intentó 200 goles de campo de 2 puntos y 100 goles de campo de 3 puntos. Después hicieron 200 (0.40) = 80 tiros de 2 puntos y 100 (0.30) = 30 tiros de 3 puntos. En general, hicieron 110 tiros de 300, para un porcentaje\(\dfrac{110}{300} = 0.367 =36.7 \%\) general de gol de campo.


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