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1.2: Proporciones y Tarifas

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    Si quisieras alimentar la ciudad de Seattle usando energía eólica, ¿cuántos molinos de viento necesitarías instalar? Preguntas como estas pueden ser respondidas usando tasas y proporciones.

    Definición: Tarifas

    Una tasa es la relación (fracción) de dos cantidades.

    Una tasa unitaria es una tasa con un denominador de uno.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Tu auto puede conducir 300 millas en un tanque de 15 galones. Exprese esto como tarifa.

    Solución

    Expresado como una tasa,\(\dfrac{300 \text{ miles}}{15 \text{ gallons}}\). Podemos dividir para encontrar una tarifa unitaria:\(\dfrac{20 \text{ miles}}{1 \text{ gallon}}\), que también podríamos escribir como\(20 \dfrac{\text{ miles}}{\text{ gallon}}\), o solo 20 millas por galón.

    Definición: Ecuación de Proporción

    Una ecuación de proporción es una ecuación que muestra la equivalencia de dos tasas o proporciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Resolver la proporción\(\dfrac{5}{3} = \dfrac{6}{x}\) para el valor desconocido x.

    Solución

    Esta proporción nos está pidiendo encontrar una fracción con denominador 6 que sea equivalente a la fracción\(\dfrac{5}{3}\). Podemos resolver esto multiplicando ambos lados de la ecuación por 6, dando\(x = \dfrac{5}{3} \cdot 6 = 10\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Una escala de mapa indica que ½ pulgada en el mapa corresponde con 3 millas reales. ¿A cuántas millas de distancia hay dos ciudades que están a\(2\dfrac{1}{4}\) centímetros de distancia en el mapa?

    Solución

    Podemos establecer una proporción estableciendo dos\(\dfrac{\text{map inches}}{\text{real miles}}\) tasas iguales e introduciendo una variable, x, para representar la cantidad desconocida, la distancia de millas entre las ciudades.

    Multiplica ambos lados por x y reescribiendo el número mixto:

    \(\dfrac{\dfrac{1}{2} \text{ map inch}}{3 \text{ miles}} = \dfrac{2\dfrac{1}{4} \text{ map inches}}{x \text{ miles}} \)

    Multiplica ambos lados por 3:

    \(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{3} \cdot x = \dfrac{9}{4}\)

    Multiplica ambos lados por 2 (o divide por ½):

    \(\dfrac{1}{2}x = \dfrac{27}{4} \\[0.5in] x = \dfrac{27}{2} = 13\dfrac{1}{2} \text{ miles} \)

    Muchos problemas de proporción también se pueden resolver mediante el análisis dimensional, el proceso de multiplicar una cantidad por tasas para cambiar las unidades.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Tu auto puede conducir 300 millas en un tanque de 15 galones. ¿Hasta dónde puede conducir con 40 galones?

    Solución

    Ciertamente podríamos responder a esta pregunta usando una proporción:\(\dfrac{300 \text{ miles}}{15 \text{ gallons}} = \dfrac{x \text{ miles}}{40 \text{ gallons}}\)

    Sin embargo, antes encontramos que 300 millas en 15 galones da una tasa de 20 millas por galón. Si multiplicamos la cantidad dada de 40 galones por esta tasa, las unidades de galones se reducen y nos quedamos con un número de millas:

    \(40 \text{ gallons} \cdot \dfrac{20 \text{ miles}}{\text{gallon}} = \dfrac{40 \text{ gallons}}{1} \cdot \dfrac{20 \text{ miles}}{\text{gallon}} = 800 \text{ miles} \)

    Observe si en cambio nos preguntaron “¿cuántos galones se necesitan para conducir 50 millas?” podríamos responder a esta pregunta invirtiendo la tasa de 20 millas por galón para que las unidades de millas se reduzcan y nos quedemos con galones:

    \(50 \text{ miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{20 \text{ miles}} = \dfrac{50 \text{ miles}}{1} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{20 \text{ miles}} = \dfrac{50 \text{ gallons}}{20} = 2.5 \text{ gallons} \)

    El análisis dimensional también se puede utilizar para realizar conversiones unitarias. Aquí hay algunas conversiones de unidades para referencia.

    Definición: Conversión de unidades

    Largo

    1 pie (ft) = 12 pulgadas (pulg.)

    1 yarda (yd) = 3 pies (ft)

    1 milla = 5,280 pies

    1000 milímetros (mm) = 1 metro (m)

    100 centímetros (cm) = 1 metro

    1000 metros (m) = 1 kilómetro (km)

    2.54 centímetros (cm) = 1 pulgada

    Peso y Masa

    1 libra (lb) = 16 onzas (oz)

    1 tonelada = 2000 libras

    1000 miligramos (mg) = 1 gramo (g)

    1000 gramos = 1 kilogramo (kg)

    1 kilogramo = 2.2 libras (en la tierra)

    Capacidad

    1 taza = 8 onzas líquidas (fl oz) *

    1 pinta = 2 tazas

    1 cuarto de galón = 2 pintas = 4 tazas

    1 galón = 4 cuartos = 16 tazas

    1000 mililitros (ml) = 1 litro (L)

    * Las onzas fluidas son una medida de capacidad para líquidos. 1 onza líquida ≈ 1 onza (peso) solo para agua.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Una bicicleta viaja a 15 millas por hora. ¿Cuántos pies recorrerá la bicicleta en 20 segundos?

    Solución

    Para responder a esta pregunta, necesitamos convertir 20 segundos en pies. Si conocemos la velocidad de la bicicleta en pies por segundo, esta pregunta sería más sencilla. Como no lo hacemos, tendremos que hacer conversiones adicionales de unidades. Vamos a necesitar saber que 5280 ft = 1 milla. Podríamos comenzar convirtiendo los 20 segundos en horas:

    \(20 \text{ seconds} \cdot \dfrac{1 \text{ minute}}{60 \text{ seconds}} \cdot \dfrac{1 \text{ hour}}{60 \text{ minutes}} = \dfrac{1}{180} \text{ hour}\)

    Ahora podemos multiplicar por 15 millas/hr:

    \(\dfrac{1}{180} \text{ hour} \cdot \dfrac{15 \text{ miles}}{1 \text{ hour}} = \dfrac{1}{12} \text{ mile}\)

    Ahora podemos convertir a pies:

    \(\dfrac{1}{12} \text{ mile} \cdot \dfrac{5280 \text{ feet}}{1 \text{ mile}} = 440 \text{ feet}\)

    También podríamos haber hecho todo este cálculo en un largo conjunto de productos:

    \(20 \text{ seconds} \cdot \dfrac{1 \text{ minute}}{60 \text{ seconds}} \cdot \dfrac{1 \text{ hour}}{60 \text{ minutes}} \cdot \dfrac{15 \text{ miles}}{1 \text{ hour}} \cdot \dfrac{5280 \text{ feet}}{1 \text{ mile}} = 440 \text{ feet} \)

    Pruébalo ahora 4

    Un carrete de 1,000 pies de alambre de cobre desnudo calibre 12 pesa 19.8 libras. ¿Cuánto pesarán 18 pulgadas del alambre, en onzas?

    Observe que con el ejemplo de millas por galón, si duplicamos las millas conducidas, doblamos el gas utilizado. Así mismo, con el ejemplo de distancia del mapa. Si la distancia del mapa se duplica, la distancia real se duplica. Esta es una característica clave de las relaciones proporcionales, y debemos confirmar antes de asumir que dos cosas están relacionadas proporcionalmente.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Supongamos que está alicatando el piso de una habitación de 10 pies por 10 pies y encuentre que se necesitan 100 baldosas. ¿Cuántas baldosas se necesitan para revestir el piso de una habitación de 20 pies por 20 pies?

    Solución

    En este caso, mientras que el ancho que ha duplicado la habitación, el área se ha cuadruplicado. Dado que el número de baldosas necesarias corresponde con el área del piso, no con el ancho, se necesitarán 400 baldosas. Podríamos encontrar esto usando una proporción basada en las áreas de las habitaciones:

    \(\dfrac{100 \text{ tiles}}{100 \text{ ft}^2} = \dfrac{n \text{ tiles}}{400 \text{ ft}^2} \)

    Otras cantidades simplemente no escalan proporcionalmente en absoluto.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos que una pequeña empresa gasta $1,000 en una campaña publicitaria, y gana 100 nuevos clientes de ella. ¿Cuántos clientes nuevos deberían esperar si gastan 10.000 dólares?

    Solución

    Si bien es tentador decir que ganarán 1,000 nuevos clientes, es probable que la publicidad adicional sea menos efectiva que la publicidad inicial. Por ejemplo, si la compañía es una tienda de jacuzzi, es probable que solo haya un número fijo de personas interesadas en comprar una bañera de hidromasaje, por lo que puede que ni siquiera haya 1000 personas en la ciudad que serían clientes potenciales.

    A veces, cuando se trabaja con tasas, proporciones y porcentajes, el proceso puede ser más desafiante por la magnitud de los números involucrados. A veces, los grandes números son simplemente difíciles de comprender.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Compare el presupuesto militar de Estados Unidos de 2010 de 683.7 mil millones de dólares con otras cantidades.

    Solución

    Aquí tenemos un número muy grande, unos 683,700,000,000 de dólares escritos. Por supuesto, imaginar mil millones de dólares es muy difícil, por lo que puede ayudar a compararlo con otras cantidades.

    Si esa cantidad de dinero se utilizara para pagar los salarios de los 1.4 millones de empleados de Walmart en Estados Unidos, cada uno ganaría más de 488,000 dólares.

    Hay alrededor de 300 millones de personas en Estados Unidos El presupuesto militar es de unos 2.200 dólares por persona.

    Si pusieras 683.7 mil millones de dólares en billetes de 100 dólares, y contaras 1 por segundo, tardarías 216 años en terminar de contarlo.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Compara el consumo de electricidad per cápita en China con la tasa en Japón.

    Solución

    Para abordar esta pregunta, primero necesitaremos datos. Desde el sitio web de la CIA (4) podemos encontrar el consumo de electricidad en 2011 para China fue de 4,693,000,000,000 KWH (kilovatios-hora), o 4.693 billones de KWH, mientras que el consumo para Japón fue de 859.700,000,000, o 859.7 mil millones de KWH. Para encontrar la tasa per cápita (por persona), también necesitaremos la población de los dos países. Del Banco Mundial (5), podemos encontrar que la población de China es de 1,344,130 mil, o 1.344 mil millones, y la población de Japón es de 127,817,277, o 127.8 millones.

    Cálculo del consumo per cápita para cada país:

    \( \text{China: } \dfrac{4,693,000,000,000 \text{ KWH}}{1,344,130,000 \text{ people}} ≈ 3491.5 \text{ KWH per person} \)

    \(\text{Japan: } \dfrac{859,700,000,000 \text{ KWH}}{127,817,277 \text{ people}} ≈ 6726 \text{ KWH per person} \)

    Si bien China utiliza más de 5 veces la electricidad de Japón en general, debido a que la población de Japón es mucho más pequeña, resulta que Japón utiliza casi el doble de la electricidad por persona en comparación con China.


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