2.2: El Sistema de Número y Conteo de la Civilización Inca
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Antecedentes
Generalmente faltan libros y material de investigación sobre los fundamentos históricos de las Américas. La mayor parte de la información “importante” disponible se concentra en el hemisferio oriental, con Europa como foco central. Las razones de esto pueden ser dobles: primero, se piensa que hubo una falta de matemáticas especializadas en las regiones americanas; segundo, muchos de los secretos de las matemáticas antiguas en las Américas han sido cuidadosamente guardados [6]. El sistema peruano no parece ser una excepción aquí. Dos investigadores, Leland Locke y Erland Nordenskiold, han realizado investigaciones que han intentado descubrir qué conocimientos matemáticos conocían los incas y cómo utilizaron el quipu peruano, un sistema de conteo que utiliza cordones y nudos, en sus matemáticas. Estos investigadores han llegado a ciertas creencias sobre el quipu que resumiremos aquí.
Tableros Contadores
Cabe señalar que los incas no contaban con un complicado sistema de cómputo. Donde otros pueblos de las regiones, como los mayas, estaban haciendo cálculos relacionados con sus rituales y calendarios, los incas parecen haberse preocupado más por la tarea más sencilla de mantener registros. Para ello, utilizaron lo que se llama el “quipu” para registrar cantidades de artículos. (Los describiremos con más detalle en un momento.) Sin embargo, primero a menudo necesitaban hacer cálculos cuyos resultados se registrarían en quipu. Para hacer estos cálculos, en ocasiones utilizarían una tabla de conteo construida con una losa de piedra. En la losa se cortaron compartimentos rectangulares y cuadrados de manera que se dejó una región octogonal (de ocho lados) en el medio. Se levantaron dos rectángulos de esquina opuestos. Otras dos secciones se montaron en la superficie original de la losa de manera que en realidad había tres niveles disponibles. En la figura mostrada, las regiones de esquina sombreadas más oscuras representan el más alto, tercer nivel. Las regiones sombreadas más claras que rodean las esquinas son los segundos niveles más altos, mientras que los rectángulos blancos claros son los compartimentos cortados en la losa de piedra.
Se utilizaron guijarros para llevar cuentas y sus posiciones dentro de los diversos niveles y compartimentos dieron totales. Por ejemplo, un guijarro en un compartimento más pequeño (blanco) representaba una unidad. Tenga en cuenta que hay 12 de esos cuadrados alrededor del borde exterior de la figura. Si se ponía un guijarro en uno de los dos compartimentos rectangulares más grandes (blancos), su valor se duplicaba. Cuando se puso un guijarro en la región octogonal en medio de la losa, su valor se triplicó. Si se colocaba un guijarro en el segundo nivel (sombreado), su valor se multiplicaba por seis. Y finalmente, si se encontraba un guijarro en uno de los dos niveles de esquina más altos, su valor se multiplicaba por doce. Diferentes objetos podrían contarse al mismo tiempo representando diferentes objetos mediante guijarros de diferentes colores.
Supongamos que tiene la siguiente tabla de conteo con dos tipos diferentes de lugares de guijarros como se ilustra. Deje que el guijarro negro sólido represente a un perro y el guijarro rayado represente a un gato. ¿Cuántos perros están siendo representados?
Solución
Hay dos guijarros negros en las regiones cuadradas exteriores... estas representan 2 perros.
Hay tres guijarros negros en los compartimentos rectangulares más grandes (blancos). Estos representan 6 perros. Hay un guijarro negro en la región media... esto representa 3 perros. Hay tres guijarros negros en el segundo nivel... estos representan 18 perros. Por último, hay un guijarro negro en el nivel más alto de la esquina... esto representa 12 perros. Entonces tenemos un total de 2+6+3+18+12 = 41 perros.
¿Cuántos gatos están representados en este tablero?
El Quipu
Este tipo de placa era buena para hacer cálculos rápidos, pero no proporcionaba una buena manera de mantener un registro permanente de cantidades o cálculos. Para ello, utilizaron el quipu. El quipu es una colección de cordones con nudos en ellos. Estos cordones y nudos están cuidadosamente dispuestos para que la posición y tipo de cordón o nudo brinde información específica sobre cómo descifrar el cordón.
Un quipu se compone de un cordón principal que tiene otros cordones (ramas) atados a él. Ver fotos a la derecha [7].
Locke llamó a las ramas H cordones. Están adheridas al cordón principal. Cordones B, a su vez, se sujetaron a los cordones H. La mayoría de estos cordones tendrían nudos en ellos. Rara vez se encuentran nudos en el cordón principal, sin embargo, y tienden a ser principalmente en los cordones H y B. Un quipu también podría tener un cable “totalizador” que resume toda la información sobre el grupo de cables en un solo lugar.
Locke señala que existen tres tipos de nudos, cada uno representando un valor diferente, dependiendo del tipo de nudo utilizado y su posición en el cordón. Los incas, como nosotros, tenían un sistema decimal (base-diez), por lo que cada tipo de nudo tenía un valor decimal específico. El nudo Único, representado en la mitad del diagrama [8] se utilizó para denotar decenas, cientos, miles y diez mil. Estarían en los niveles superiores de los cordones H. El nudo en forma de ocho en el extremo se utilizó para denotar el entero “uno”. Cada otro número entero del 2 al 9 se representó con un nudo largo, mostrado a la izquierda de la figura. (A veces se usaban nudos largos para representar decenas y cientos.) Tenga en cuenta que el nudo largo tiene varias vueltas en él... el número de vueltas indica qué entero se está representando. Las unidades (unas) se colocaron más cerca de la parte inferior del cordón, luego decenas justo encima de ellas, luego las centenas, y así sucesivamente.
Para facilitar la lectura de estas imágenes, adoptaremos una convención que sea consistente. Para el nudo largo con giros en él (representando los números del 2 al 9), usaremos la siguiente notación:
Las cuatro barras horizontales representan cuatro giros y el arco curvo de la derecha une las cuatro vueltas entre sí. Esto representaría el número 4.
Representaremos el nudo único con un punto grande (•) y representaremos el nudo en forma de ocho con un ocho lateral (∞).
¿Qué número se representa en el cable que se muestra?
Solución
En el cordón, vemos un nudo largo con cuatro vueltas en él... esto representa cuatro en el lugar de unos. Entonces aparecen 5 nudos simples en la posición de las decenas inmediatamente por encima de eso, lo que representa 5 decenas, o 50. Por último, 4 nudos simples están empatados por cientos, lo que representa cuatro 4 cientos, o 400. De esta manera, el total que se muestra en este cordón es 454.
¿Qué números están representados en cada uno de los cuatro cordones que cuelgan del cordón principal?
Los colores de las cuerdas tenían sentido y podían distinguir un objeto de otro. Un color podría representar llamas, mientras que otro color podría representar ovejas, por ejemplo. Cuando se agotaron todos los colores disponibles, tendrían que ser reutilizados. Debido a esto, la capacidad de leer el quipu se convirtió en una tarea complicada y individuos especialmente capacitados hicieron este trabajo. Se les llamaba Quipucamayoc, que significa guardián del quipus. Construirían, custodiarían y descifrarían quipus.
Como se puede ver en esta fotografía de un quipu real, podrían llegar a ser bastante complejos.
Había diversos propósitos para el quipu. Algunos creen que fueron utilizados para llevar una cuenta de sus tradiciones e historia, utilizando nudos para registrar la historia en lugar de algún otro sistema formal de escritura. Un escritor incluso ha sugerido que el quipu reemplazó a la escritura ya que formó un papel en el sistema postal inca [9]. Otro uso propuesto del quipu es como herramienta de traducción. Después de la conquista de los incas por los españoles y la posterior “conversión” al catolicismo, un inca supuestamente podría usar el quipu para confesar sus pecados a un sacerdote. Otro uso propuesto del quipu fue registrar números relacionados con la magia y la astronomía, aunque esta no es una interpretación ampliamente aceptada.
Los misterios del quipu aún no han sido completamente explorados. Recientemente, Ascher y Ascher han publicado un libro, The Code of the Quipu: A Study in Media, Mathematics, and Culture, que es “una extensa elaboración del sistema lógico-numérico del quipu. [10]”
Estamos tan acostumbrados a ver los símbolos 1, 2, 3, 4, etc. que puede ser algo sorprendente ver una forma tan creativa e innovadora de calcular y registrar números. Desafortunadamente, a medida que procedemos a través de nuestra educación matemática en primaria y preparatoria, recibimos muy poca información sobre la amplia gama de sistemas numéricos que han existido y que aún existen en todo el mundo. Eso no quiere decir que nuestro propio sistema no sea importante ni eficiente. El hecho de que haya sobrevivido durante cientos de años y no muestre signos de desaparecer pronto sugiere que finalmente hayamos encontrado un sistema que funcione bien y puede que no necesite más mejoras, pero solo el tiempo lo dirá si esa conjetura es válida o no. Pasamos ahora a una breve mirada histórica sobre cómo nuestro sistema actual se desarrolló a lo largo de la historia.