2.4: El desarrollo y uso de diferentes bases numéricas
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Introducción y Conceptos Básicos
Durante las discusiones anteriores, nos hemos referido a los sistemas de bases posicionales. En esta sección del capítulo, exploraremos exactamente qué es un sistema base y qué significa si un sistema es “posicional”. Lo haremos primero mirando nuestro propio sistema familiar de base diez y luego profundizando nuestra exploración observando otros posibles sistemas base. En la siguiente parte de esta sección, viajaremos de regreso a la civilización maya y veremos su sistema base único, que se basa en el número 20 en lugar del número 10.
Un sistema base es una estructura dentro de la cual contamos. La forma más fácil de describir un sistema base es pensar en nuestro propio sistema base diez. El sistema base-diez, al que llamamos sistema “decimal”, requiere un total de diez símbolos/dígitos diferentes para escribir cualquier número. Ellos son, por supuesto, 0, 1, 2,..., 9.
El sistema decimal es también un ejemplo de un sistema base posicional, lo que simplemente significa que la posición de un dígito da su valor posicional. No todas las civilizaciones tenían un sistema posicional a pesar de que sí tenían una base con la que trabajaban.
En nuestro sistema de base diez, un número como 5,783,216 tiene sentido para nosotros porque estamos familiarizados con el sistema y sus lugares. Como sabemos, hay seis, ya que hay un 6 en el lugar de unos. De igual manera, hay siete “cientos miles”, ya que el 7 reside en ese lugar. Cada dígito tiene un valor que está determinado explícitamente por su posición dentro del número. Hacemos una distinción entre dígito, que es solo un símbolo como 5, y un número, que está compuesto por uno o más dígitos. Podemos tomar este número y asignar un valor a cada uno de sus dígitos. Una forma de hacerlo es con una tabla, que sigue:
| 5,000,000 | = 5 × 1,000,000 | = 5 × 10 6 | Cinco millones | |||
| +700,000 | = 7 × 100,000 | = 7 × 10 5 | setecientos mil | |||
| +80.000 | = 8 × 10,000 | = 8 × 10 4 | Ochenta mil | |||
| +3,000 | = 3 × 1000 | = 3 × 10 3 | Tres mil | |||
| +200 | = 2 × 100 | = 2 × 10 2 | Doscientos | |||
| +10 | = 1 × 10 | = 1 × 10 1 | Diez | |||
| +6 | = 6 × 1 | = 6 × 10 0 | Seis | |||
| 5,783,216 | Cinco millones setecientos ochenta y tres mil doscientos dieciséis | |||||
De la tercera columna de la tabla podemos ver que cada lugar es simplemente un múltiplo de diez. Desde luego, esto tiene sentido dado que nuestra base es diez. Los dígitos que se están multiplicando cada lugar simplemente nos dicen cuántos de ese lugar tenemos. Estamos restringidos a tener como máximo 9 en cualquier lugar antes de tener que “trasladar” al siguiente lugar. No podemos, por ejemplo, tener 11 en el lugar de los cientos. En cambio, llevaríamos 1 al lugar de miles y retendríamos 1 en el lugar de los cientos. Esto no nos sorprende ya que vemos fácilmente que 11 cientos es lo mismo que mil, cien. El transporte es una ocurrencia bastante típica en un sistema base.
Sin embargo, la base diez no es la única opción que tenemos. Prácticamente cualquier entero positivo mayor o igual a 2 se puede utilizar como base para un sistema numérico. Dichos sistemas pueden funcionar igual que el sistema decimal excepto que el número de símbolos será diferente y cada posición dependerá de la base misma.
Otras Bases
Por ejemplo, supongamos que adoptamos un sistema de base cinco. Los únicos dígitos modernos que necesitaríamos para este sistema son 0,1,2,3 y 4. ¿Cuáles son los valores positorios en tal sistema? Para responder a eso, comenzamos con el lugar de unos, como lo hacen la mayoría de los sistemas base. No obstante, si tuviéramos que contar en este sistema, sólo podíamos llegar a cuatro (4) antes de que tuviéramos que saltar al siguiente lugar. Nuestra base es 5, después de todo! ¿Cuál es ese próximo lugar al que saltaríamos? No serían decenas, ya que ya no estamos en la base diez. Estamos en un mundo numérico diferente. A medida que el sistema de base diez avanza de 10 0 a 10 1, también lo hace el sistema de base cinco se mueve de 5 0 a 5 1 = 5. Así, pasamos de los unos a los cincos. Después de los cincos, nos trasladaríamos al lugar 52, o los veinticinco. Tenga en cuenta que en base−diez, habríamos pasado de las decenas a las centenas, que es, por supuesto, 10 2.
Después de los cincos, nos trasladaríamos al lugar 5 2, o los veinticinco. Tenga en cuenta que en base−diez, habríamos pasado de las decenas a las centenas, que es, por supuesto, 10 2.
Tomemos un ejemplo y construyamos una mesa. Considera el número 30412 en la base cinco. Escribiremos esto como 30412 5, donde el subíndice 5 no forma parte del número sino que indica la base que estamos usando. En primer lugar, tenga en cuenta que este NO es el número “treinta mil, cuatrocientos doce”. Debemos tener cuidado de no imponer el sistema de base diez a este número. Así es como podría verse nuestra mesa. Lo usaremos para convertir este número a nuestro sistema de base diez más familiar.
| Base 5 | Esta columna se funde a base−diez | En Base−Ten | ||
| 3 × 5 4 | = 3 × 625 | = 1875 | ||
| + | 0 × 5 3 | = 0 × 125 | = 0 | |
| + | 4 × 5 2 | = 4 × 25 | = 100 | |
| + | 1 × 5 1 | = 1 × 5 | = 5 | |
| + | 2 × 5 0 | = 2 × 1 | = 2 | |
| Total | 1982 | |||
Como puede ver, el número 30412 5 equivale a 1,982 en base−diez. Diremos 30412 5 = 1982 10. Todo esto puede parecerte extraño, pero eso es sólo porque estás tan acostumbrado al único sistema que has visto alguna vez.
Convierta 6234 7 a un número base-10
Solución
Primero notamos que se nos da un número de base 7 que vamos a convertir. Así, nuestros lugares comenzarán en los (7 0), y luego se moverán hasta los 7's, 49's (7 2), etc. Aquí está el desglose:
| Base 7 | Convertir | Base 10 | |
| = 6 × 7 3 | = 6 × 343 | = 2058 | |
| + | = 2 × 7 2 | = 2 × 49 | = 98 |
| + | = 3 × 7 | = 3 × 7 | = 21 |
| + | = 4 × 1 | = 4 × 1 | = 4 |
| Total | 2181 |
Así, 6234 7 = 2181 10
Convierte 41065 7 a un número base-10.
Conversión de Base 10 a Otras Bases
Convertir de una base desconocida al sistema decimal familiar no es tan difícil una vez que lo dominas. Es sólo cuestión de identificar cada lugar y luego multiplicar cada dígito por el poder apropiado. Sin embargo, ir en otra dirección puede ser un poco más complicado. Supongamos que tiene un número de base diez y desea convertir a base cinco. Empecemos con algunos ejemplos sencillos antes de llegar a uno más complicado.
Convierte doce a un número de base cinco.
Solución
Probablemente podamos ver fácilmente que podemos reescribir este número de la siguiente manera: 12 = (2 × 5) + (2 × 1)
De ahí que tengamos dos cincos y 2 unos. De ahí que en la base cinco, escribiéramos doce como 22 5. Así, 12 10 = 22 5.
Convierta sesenta y nueve a un número base cinco.
Solución
Podemos ver ahora que tenemos más de 25, así que reescribimos sesenta y nueve de la siguiente manera: 69 = (2 × 25) + (3 × 5) + (4 × 1)
Aquí, tenemos dos veinticinco, 3 cincos y 4 unos. De ahí que en la base cinco tenemos 234. Así, 69 10 = 234 5.
Convierte el número base-siete 32617 a base 10.
Solución
Los poderes de 7 son
7 0 = 1
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
Etc...
3261 7 = (3×343) + (2×49) + (6×7) + (1×1) = 1170 10.
Así 3261 7 = 1170 10.
Convierte 143 a un número de base 5.
Convierte el número base3 21021 3 a la base 10.
En general, al convertir de la base diez a alguna otra base, a menudo es útil determinar la potencia más alta de la base que se dividirá en el número dado al menos una vez. En el último ejemplo, 5 2 = 25 es la mayor potencia de cinco que está presente en 69, así que ese fue nuestro punto de partida. Si hubiéramos pasado a 5 3 = 125, entonces 125 no se dividiría en 69 al menos una vez.
- Encuentra el poder más alto de la base b que se dividirá en el número dado al menos una vez y luego dividirá.
- Anote la parte del número entero, luego use el resto de la división en el siguiente paso.
- Repita el paso dos, dividiendo por la siguiente potencia más alta de la base b, anotando la parte del número entero (incluyendo 0) y usando el resto en el siguiente paso.
- Continuar hasta que el resto sea más pequeño que la base. Este último resto estará en el lugar de los “unos”.
- Recoge todas tus partes de números enteros para obtener tu número en notación base b
Convierta el número 348 de base diez a base cinco.
Solución
Los poderes de cinco son
5 0 = 1
5 1 = 5
5 2 = 25
5 3 = 125
5 4 = 625
Etc...
Dado que 348 es menor que 625, pero mayor que 125, vemos que 5 3 =125 es la potencia más alta de cinco presentes en 348. Entonces, dividimos 125 en 348 para ver cuántos 125 se dividen en 348:
348÷125 = 2 con resto 98
Anotamos toda la parte, 2, y continuamos con el resto. Quedan 98, así que vemos cuántos 25 (el siguiente poder más pequeño de cinco) hay en el resto:
98÷25 = 3 con resto 23
Anotamos toda la parte, 2, y continuamos con el resto. Quedan 23, así que nos fijamos en el siguiente lugar, los 5's:
23÷5 = 4 con resto 3
Esto nos deja con 3, que es menor que nuestra base, por lo que este número estará en el lugar “unos”. Estamos listos para armar nuestro número base cinco:
348 = (2 ×5 3) + (3 ×5 2) + (4 ×5 1) + (3 ×1)
De ahí que nuestro número de base cinco sea 2343. Digamos que 348 10 = 2343 5.
Convierta el número de base diez 4,509 a base siete.
Solución
Los poderes de 7 son
7 0 = 1
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2401
7 5 = 16807
Etc...
El poder más alto de 7 que se dividirá en 4,509 es 7 4 = 2401.
Con división, vemos que irá en 1 tiempo con un resto de 2108. Entonces tenemos 1 en el lugar 7 4.
El siguiente apagón es 7 3 = 343, que entra en 2108 seis veces con un nuevo resto de 50. Entonces tenemos 6 en el lugar 7 3.
El siguiente apagado es 7 2 = 49, que entra en 50 una vez con un nuevo resto de 1. Entonces hay un 1 en el lugar 7 2.
El siguiente apagón es 7 1 pero solo quedaba un resto de 1, así que eso significa que hay un 0 en el lugar de los 7's y todavía tenemos 1 como resto.
Eso, por supuesto, significa que tenemos 1 en el lugar de unos.
4,509 ÷ 7 4 = 1 R 2108
2108 ÷ 7 3 = 6 R 50
50 ÷ 7 2 = 1 R 1
1 ÷ 7 1 = 0 R 1
1 ÷ 7 0 = 1
4.509 10 = 16101 7
Juntar todo esto significa que 4,509 10 = 16101 7.
Convierte 657 10 en un número base 4.
Convierte 8377 10 en un número base 8.
Otro método para convertir de base 10 a otras bases
Al leer la solución a este último ejemplo e intentar los problemas de “Pruébalo ahora”, es posible que haya tenido que detenerse repetidamente y pensar en lo que estaba pasando. El hecho de que probablemente estés luchando por seguir la explicación y reproducir el proceso tú mismo se debe principalmente a que los sistemas no decimales te son tan desconocidos. De hecho, el único sistema con el que probablemente te sientes cómodo es el sistema decimal.
Como matemáticos en ciernes, siempre deberías estar haciendo preguntas como “¿Cómo podría simplificar este proceso?” En general, esa es una de las principales cosas que hacen los matemáticos... buscan formas de tomar situaciones complicadas y hacerlas más fáciles o más familiares. En esta sección, intentaremos hacerlo.
Para ello, comenzaremos por mirar nuestro propio sistema decimal. Lo que hacemos puede parecer obvio y tal vez incluso intuitivo pero ese es el punto. Queremos encontrar un proceso que reconozcamos fácilmente obras y que tenga sentido para nosotros en un sistema familiar y luego usarlo para extender nuestros resultados a un sistema diferente y desconocido.
Empecemos con el número decimal, 4863 10. Vamos a convertir este número a la base 10. Sí, sé que ya está en la base 10, pero si sigues cuidadosamente lo que estamos haciendo, verás que hace que las cosas salgan muy bien con otras bases más adelante. Primero notamos que la potencia más alta de 10 que se dividirá en 4863 al menos una vez es 10 3 = 1000. En general, este es el primer paso en nuestro nuevo proceso; encontramos el poder más alto que una base dada que dividirá al menos una vez en nuestro número dado.
Ahora dividimos 1000 en 4863:
4863 ÷ 1000 = 4.863
Esto dice que hay cuatro miles en 4863 (obviamente). No obstante, también dice que hay 0.863 miles en 4863. Esta parte fraccional es nuestro resto y será convertida a potencias inferiores de nuestra base (10). Si tomamos ese decimal y multiplicamos por 10 (ya que esa es la base en la que estamos) obtenemos lo siguiente:
0.863 × 10 = 8.63
¿Por qué multiplicar por 10 en este punto? Tenemos que reconocer aquí que 0.863 miles es lo mismo que 8.63 cientos. Piensa en eso hasta que se hunda.
(0.863) (1000) = 863
(8.63) (100) = 863
Estas dos declaraciones son equivalentes. Entonces, lo que realmente estamos haciendo aquí multiplicando por 10 es reformular o convertir de un lugar (miles) al siguiente lugar abajo (cientos).
0.863×10 ⇒ 8.63
(Partes de Miles) × 10 ⇒ Cientos
Ahora tenemos 8 cientos y un resto de 0.63 cientos, lo que es lo mismo que 6.3 decenas. Esto lo podemos volver a hacer con el 0.63 que queda tras este primer paso.
0.63 × 10 ⇒ 6.3
Cientos × 10 ⇒ Decenas
Entonces, tenemos seis decenas y 0.3 decenas, que es lo mismo que 3, nuestro último valor posicional.
Ahora aquí está la línea de golpe. Pongamos todos los juntos en un solo lugar:
4863 ÷ 1000 = 4.863
0.863 × 10 = 8.63
0.63 × 10 = 6.3
0.3 × 10 = 3.0
Tenga en cuenta que en cada paso, el resto se lleva hasta el siguiente paso y se multiplica por 10, la base. También, en cada paso, la parte del número entero, que está enmarcada en un círculo, da el dígito que pertenece a ese lugar en particular. ¡Lo que es asombroso es que esto funciona para cualquier base! Entonces, para convertir de un número base 10 a alguna otra base, b, tenemos los siguientes pasos que podemos seguir:
- Encuentra el poder más alto de la base b que se dividirá en el número dado al menos una vez y luego dividirá.
- Conservar la parte del número entero, y multiplicar la parte fraccionaria por la base b.
- Repita el paso dos, manteniendo la parte del número entero (incluyendo 0), llevando la parte fraccionaria al siguiente paso hasta que solo se obtenga un resultado de número entero.
- Recoge todas tus partes de números enteros para obtener tu número en notación base b.
Ilustraremos este procedimiento con algunos ejemplos.
Convertir el número base 10, 348 10, a base 5.
Solución
Esta es en realidad una conversión que hemos hecho en un ejemplo anterior. Los poderes de cinco son
5 0 = 1
5 1 = 5
5 2 = 25
5 3 = 125
5 4 = 625
Etc...
El poder más alto de cinco que entrará en 348 al menos una vez es 5 3. Dividimos por 125 y luego procedemos:
348 ÷ 5 3 = 2.784
0.784 × 5 = 3.92
0.92 × 5 = 4.6
0.6 × 5 = 3.0
Al mantener todas las partes del número entero, de arriba abajo, da 2343 como nuestro número base 5. Así, 2343 5 = 348 10.
Podemos comparar nuestro resultado con lo que vimos anteriormente, o simplemente consultar con nuestra calculadora, y encontrar que estos dos números realmente son equivalentes entre sí.
Convertir el número base 10, 3007 10, a base 5.
Solución
La potencia más alta de 5 que divide al menos una vez en 3007 es 5 4 = 625. Así, tenemos:
3007 ÷ 625 = 4.8112
0.8112 × 5 = 4.066
0.056 × 5 = 0.28
0.28 × 5 = 1.4
0.4 × 5 = 2.0
Esto nos da que 3007 10 = 44012 5. Observe que en la tercera línea que multiplicar por 5 nos dio 0 para nuestra parte de número entero. ¡No descartamos eso! El cero nos dice que un cero en ese lugar. Es decir, no hay 5 2's en este número.
Este último ejemplo muestra la importancia de usar una calculadora en ciertas situaciones y tener cuidado de evitar borrar la memoria o visualización de la calculadora hasta llegar al final del proceso.
Convertir el número base 10, 63201 10, a base 7.
Solución
Los poderes de 7 son
7 0 = 1
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2401
7 5 = 16807
Etc...
El poder más alto de 7 que dividirá al menos una vez en 63201 es 7 5. Cuando hacemos la división inicial en una calculadora, obtenemos lo siguiente:
63201 ÷ 7 5 = 3.760397453
La parte decimal en realidad llena la visualización de las calculadoras y no sabemos si termina en algún momento o tal vez incluso se repite en el camino. Entonces, si borramos nuestra calculadora en este punto, introduciremos un error que probablemente impida que este proceso termine nunca. Para evitar este problema, dejamos el resultado en la calculadora y simplemente restamos 3 de esto para obtener la parte fraccionaria por sí misma. ¡NO REDONDEAR! La resta y luego la multiplicación por siete da:
63201 ÷ 7 5 = 3.760397453
0.760397453 × 7 = 5.322782174
0.322782174 × 7 = 2.259475219
0.259475219 × 7 = 1 .816326531
0.816326531 × 7 = 5.714285714
0.714285714 × 7 = 5.000000000
Sí, lo creas o no, ese último producto es exactamente 5, siempre y cuando no borres nada en tu calculadora. Esto nos da nuestro resultado final: 63201 10 = 352155 7. Si redondeamos, incluso a dos decimales en cada paso, despejando nuestra calculadora en cada paso del camino, obtendremos una serie de números que no terminan, sino que comienzan a repetirse sin cesar. (¡Pruébalo!) Terminamos con algo que no tiene ningún sentido, al menos no en este contexto. Así que tenga cuidado de usar su calculadora con cautela en estos problemas de conversión.
Además, recuerda que si tu primera división es por 7 5, entonces esperas tener 6 dígitos en la respuesta final, correspondientes a los lugares para 7 5, 7 4, y así sucesivamente bajando a 7 0. Si te encuentras con más de 6 dígitos debido a errores de redondeo, sabes que algo salió mal.
Convertir el número base-10, 9352 10, a base 5.
Convertir el número base-10, 1500, a la base 3.
Tenga cuidado de no borrar su calculadora en este caso. Además, si no tienes cuidado en cada paso, es posible que no obtengas todos los dígitos que estás buscando, así que muévete despacio y con precaución.