2.5: El Sistema Numérico Maya
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Como se puede imaginar, el desarrollo de un sistema base es un paso importante para hacer más eficiente el proceso de conteo. Nuestro propio sistema base diez probablemente surgió del hecho de que tenemos 10 dedos (incluyendo pulgares) en dos manos. Este es un desarrollo natural. Sin embargo, otras civilizaciones han tenido una variedad de bases distintas a diez. Por ejemplo, los nativos de Queensland utilizaron un sistema base−dos, contando de la siguiente manera: “uno, dos, dos y uno, dos, dos, mucho”. Algunas tribus sudamericanas modernas tienen un sistema base cinco contando de esta manera: “uno, dos, tres, cuatro, mano, mano y uno, mano y dos”, y así sucesivamente. Los babilonios utilizaron un sistema base-60 (sexigesimal). En este capítulo, terminamos con un ejemplo específico de una civilización que en realidad usaba un sistema base distinto al 10.
La civilización maya está fechada generalmente del 1500 a.C.E al 1700 C.E. La Península de Yucatán (ver mapa [31]) en México fue escenario para el desarrollo de una de las civilizaciones más avanzadas del mundo antiguo. Los mayas tenían un sofisticado sistema ritual que era supervisado por una clase sacerdotal. Esta clase de sacerdotes desarrolló una filosofía con el tiempo como divina y eterna [32]. El calendario, y los cálculos relacionados con él, fueron así muy importantes para la vida ritual de la clase sacerdotal, y de ahí del pueblo maya. De hecho, gran parte de lo que sabemos de esta cultura proviene de sus registros de calendario y datos astronómicos. Otra importante fuente de información sobre los mayas son los escritos del padre Diego de Landa, quien fue a México como misionero en 1549.
Había dos sistemas numéricos desarrollados por los mayas, uno para la gente común y otro para los sacerdotes. No sólo estos dos sistemas utilizaron símbolos diferentes, sino que también utilizaron diferentes sistemas base. Para los sacerdotes, el sistema de números se regía por el ritual. Se pensaba que los días del año eran dioses, por lo que los símbolos formales para los días eran cabezas decoradas [33], como la muestra a la izquierda [34] Dado que el calendario básico se basaba en 360 días, el sistema numérico sacerdotal utilizó un sistema de base mixta empleando múltiplos de 20 y 360. Esto hace que sea un sistema confuso, cuyos detalles nos saltaremos.
El sistema de números mayas
En cambio, nos centraremos en el sistema de numeración de la gente “común”, que utilizó un sistema de base más consistente. Como señalamos anteriormente, los mayas utilizaron un sistema base−20, llamado el sistema “vigesimal”. Al igual que nuestro sistema, es posicional, es decir, que la posición de un símbolo numérico indica su valor posicional. En la siguiente tabla, se puede ver el valor posicional en su formato vertical [35].
| Poderes | Valor Base−Ten | Nombre del lugar |
| 20 7 | 12,800,000,000 | Hablat |
| 20 6 | 64,000,000 | Alau |
| 20 5 | 3,200,000 | Kinchil |
| 20 4 | 160,000 | Cábala |
| 20 3 | 8,000 | Pic |
| 20 2 | 400 | Bak |
| 20 1 | 20 | Kal |
| 20 0 | 1 | Hun |
Para anotar números, solo se necesitaban tres símbolos en este sistema. Una barra horizontal representaba la cantidad 5, un punto representaba la cantidad 1 y un símbolo especial (que se cree que es un shell) representaba cero. El sistema maya pudo haber sido el primero en hacer uso del cero como marcador de posicio/número. Los primeros 20 números se muestran en la tabla de la derecha [36].
A diferencia de nuestro sistema, donde el lugar uno comienza a la derecha y luego se mueve hacia la izquierda, los sistemas mayas colocan los que están en la parte inferior de una orientación vertical y se mueven hacia arriba a medida que aumenta el valor posicional.
Cuando los números se escriben en forma vertical, nunca debe haber más de cuatro puntos en un solo lugar. Al escribir números mayas, cada grupo de cinco puntos se convierte en una barra. Además, nunca debería haber más de tres barras en un solo lugar... cuatro barras se convertirían a un punto en el siguiente lugar arriba. Es lo mismo que 10 conseguir convertido a un 1 en el siguiente lugar arriba cuando llevamos durante la adición.
¿Cuál es el valor de este número, que se muestra en forma vertical?
Solución
Partiendo de abajo, tenemos el lugar de unos. Hay dos barras y tres puntos en este lugar. Ya que cada barra vale 5, tenemos 13 unos cuando contamos los tres puntos en el lugar de unos. Mirando al valor posicional por encima de él (los lugares de los veinte), vemos que hay tres puntos así que tenemos tres veinte.
De ahí que podamos escribir este número en base diez como
(3 × 20 1) + (13 × 20 0) = (3 × 20) + (13 × 1)
= 60 +13
= 73
¿Cuál es el valor del siguiente número maya?
Solución
Este número tiene 11 en el lugar unos, cero en el lugar de los 20, y 18 en el lugar 20 2 = 400's. Por lo tanto, el valor de este número en la base diez es
(18 × 400) + (0 × 20) + (11 × 1) = 7211.
Convierte el número maya de abajo a la base 10.
Convierta el número base-10 3575 10 en números mayas.
Solución
Este problema se realiza en dos etapas. Primero, necesitamos convertir a un número base 20. Lo haremos utilizando el método proporcionado en la última sección del texto. El segundo paso es convertir ese número a símbolos mayas.
El poder más alto de 20 que dividirá en 3575 es 202 = 400, así que comenzamos dividiendo eso y luego procedemos de ahí:
3575 ÷ 400 = 8.9375
0.9375 × 20 = 18.75
0.75 × 20 = 15.0
Esto significa que 357510 = 8,18,15 20
El segundo paso es convertir esto a la notación maya. Este número indica que tenemos 15 en la posición unos. Eso son tres barras en la parte inferior del número. También tenemos 18 en el lugar de los 20, así que son tres compases y tres puntos en la segunda posición. Por último, tenemos 8 en el lugar de los 400, así que eso es una barra y tres puntos en la parte superior. Obtenemos lo siguiente
Obsérvese que en el ejemplo anterior se utilizó una nueva notación cuando escribimos 8,18,15 20. Las comas entre los tres números 8, 18 y 15 están separando ahora los valores posicionales para que podamos mantenerlos separados entre sí. Este uso de la coma es ligeramente diferente de cómo se usan en el sistema decimal. Cuando escribimos un número en la base 10, como 7,567,323, las comas se utilizan principalmente como un ayudante para leer el número fácilmente pero no separan valores de un solo lugar entre sí. Necesitaremos esta notación siempre que la base que usamos sea mayor a 10.
Cuando la base de un número sea mayor que 10, separe cada “dígito” con una coma para que la separación de dígitos sea clara.
Por ejemplo, en base 20, para escribir el número correspondiente a 17×20 2 + 6×20 1 + 13×20 0, escribiríamos 17,6,13 20.
Convierte el número base 10 10553 10 en números mayas.
Convierte la base 10 número 5617 10 en números mayas.
Sumando números mayas
Al sumar números mayas, adoptaremos un esquema que probablemente los mayas no usaron pero que nos facilitará un poco la vida.
Sumar, en maya, los números 37 y 29 [37]:
Solución
Primero dibuja una caja alrededor de cada uno de los lugares verticales. Esto ayudará a evitar que los valores posicionales se mezclen.
A continuación, pon todos los símbolos de ambos números en un solo conjunto de lugares (casillas), y a la derecha de este nuevo número dibuja un conjunto de cajas vacías donde colocarás la suma final:
Ya estás listo para comenzar a llevar. Comienza por el lugar que tiene el valor más bajo, igual que lo haces con los números arábigos. Comienza en el lugar inferior, donde cada punto vale 1. Hay seis puntos, pero se permite un máximo de cuatro en cualquier lugar; una vez que llegues a cinco puntos, debes convertirlo en una barra. Como cinco puntos forman una barra, dibujamos una barra a través de cinco de los puntos, dejándonos con un punto que está por debajo del límite de cuatro puntos. Pon este punto en el lugar inferior del conjunto de cajas vacías que acabas de dibujar:
Ahora mira las barras en el lugar inferior. Hay cinco, y el número máximo que puede ocupar el lugar es tres. Cuatro barras son iguales a un punto en el siguiente lugar más alto.
Siempre que tengamos cuatro barras en un solo lugar lo convertiremos automáticamente en un punto en el siguiente lugar hacia arriba. Dibujamos un círculo alrededor de cuatro de las barras y una flecha hacia arriba hasta la sección de puntos del lugar superior. Al final de esa flecha, dibuja un nuevo punto. Ese punto representa 20 igual que los otros puntos en ese lugar. Sin contar las barras rodeadas en el lugar inferior, queda una barra. Una barra está por debajo del límite de tres barras; ponla debajo del punto en el conjunto de lugares vacíos a la derecha.
Ahora sólo hay tres puntos en el siguiente lugar más alto, así que dibujarlos en la casilla vacía correspondiente.
Podemos ver aquí que tenemos 3 veinteañeros (60), y 6 unos, para un total de 66. Comprobamos y notamos que 37 + 29 = 66, por lo que hemos hecho esta adición correctamente. ¿Es más fácil simplemente hacerlo en base−ten? Probablemente, pero eso es sólo porque te resulta más familiar. Tu tarea aquí es tratar de aprender un nuevo sistema base y cómo se puede hacer la adición de formas ligeramente diferentes a las que has visto en el pasado. Tenga en cuenta, sin embargo, que todavía se usa el concepto de acarreo, tal como lo está en nuestro propio algoritmo de adición.
Intenta sumar 174 y 78 en maya convirtiendo primero a números mayas y luego trabajando completamente dentro de ese sistema. No agregue en base diez (decimal) hasta el final cuando revise su trabajo.
Notas:
31) http://www.gorp.com/gorp/location/latamer/map_maya.htm
32) Bidwell, James; Maestra de Aritmética Maya en Matemáticas, Número 74 (Nov., 1967), p. 762−68.
33) http://www.ukans.edu/~lctls/Mayan/numbers.html
34) http://www.ukans.edu/~lctls/Mayan/numbers.html