2.3: El sistema numérico hindu-árabe

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La evolución de un sistema

Nuestro propio sistema numérico, compuesto por los diez símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} se llama el sistema hindu-árabe. Se trata de un sistema de base diez (decimal) ya que los valores posicionales aumentan en potencias de diez. Además, este sistema es posicional, lo que significa que la posición de un símbolo tiene relación con el valor de ese símbolo dentro del número. Por ejemplo, la posición del símbolo 3 en el número 435,681 le da un valor mucho mayor que el valor del símbolo 8 en ese mismo número. Exploraremos más a fondo los sistemas base más adelante. El desarrollo de estos diez símbolos y su uso en un sistema posicional nos llega principalmente de la India [11].

No fue sino hasta el ^siglo XV que los símbolos con los que hoy conocemos primero tomaron forma en Europa. No obstante, la historia de estos números y su desarrollo se remonta a cientos de años. Una fuente importante de información sobre este tema es el escritor Al−biruni, cuya imagen se muestra aquí [12]. Al−Biruni, quien nació en la actual Uzbekistán, había visitado la India en varias ocasiones e hizo comentarios sobre el sistema numérico indio. Cuando miramos los orígenes de los números que encontró Al−Biruni, tenemos que remontarnos al siglo III a.C.E. para explorar sus orígenes. Es entonces cuando se estaban utilizando los números Brahmi.

Los números Brahmi eran más complicados que los utilizados en nuestro propio sistema moderno. Tenían símbolos separados para los números del 1 al 9, así como símbolos distintos para 10, 100, 1000,..., también para 20, 30, 40,..., y otros para 200, 300, 400,..., 900. Los símbolos Brahmi para 1, 2 y 3 se muestran a continuación [13].

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Estos números se utilizaron hasta el siglo IV d.C., con variaciones a través del tiempo y la ubicación geográfica. Por ejemplo, en el siglo I C.E., un conjunto particular de números Brahmi tomó la siguiente forma [14]:

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Desde el ^{siglo IV} en adelante, en realidad se pueden trazar varios caminos diferentes que tomaron los números Brahmi para llegar a diferentes puntos y encarnaciones. Uno de esos caminos condujo a nuestro actual sistema numérico, y pasó por lo que se llaman los números Gupta. Los números Gupta fueron prominentes durante una época regida por la dinastía Gupta y se extendieron por todo ese imperio mientras conquistaban tierras durante los ^{^siglos} IV al VI. Tienen la siguiente forma [15]:

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La forma en que los números llegaron a su forma Gupta está abierto a un debate considerable. Se han ofrecido muchas hipótesis posibles, la mayoría de las cuales se reduce a dos tipos básicos [16]. El primer tipo de hipótesis establece que los números provienen de las letras iniciales de los nombres de los números. Esto no es infrecuente... los números griegos se desarrollaron de esta manera. El segundo tipo de hipótesis establece que se derivaron de algún sistema numérico anterior. No obstante, existen otras hipótesis que se ofrecen, una de las cuales es de la investigadora Ifrah. Su teoría es que originalmente había nueve números, cada uno representado por un número correspondiente de líneas verticales. Una posibilidad es esta [17]:

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Debido a que estos símbolos habrían tardado mucho en escribir, eventualmente evolucionaron hacia símbolos cursivos que podrían escribirse más rápidamente. Si comparamos estos con los números de Gupta anteriores, podemos tratar de ver cómo pudo haber tenido lugar ese proceso evolutivo, pero nuestra imaginación sería casi todo de lo que tendríamos que depender ya que no sabemos exactamente cómo se desarrolló el proceso.

Los números Gupta finalmente evolucionaron hacia otra forma de números llamados números Nagari, y estos continuaron evolucionando hasta el ^siglo XI, momento en el que se veían así [18]:

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Tenga en cuenta que para este momento, ¡ya ha aparecido el símbolo de 0! Los mayas en las Américas tenían un símbolo para cero mucho antes de esto, sin embargo, como veremos más adelante en el capítulo.

Estos números fueron adoptados por los árabes, muy probablemente en el siglo VIII durante incursiones islámicas en la parte norte de la India [19]. Se cree que los árabes fueron instrumentales para difundirlos a otras partes del mundo, incluida España (ver abajo).

Otros ejemplos de variaciones hasta el siglo XI incluyen:

Devangari, siglo VIII [20]:

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Gobar árabe occidental, siglo X [21]:

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España, 976 B.C.E. [22]:

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Finalmente, un gráfico más [23] muestra diversas formas de estos números a medida que se desarrollaron y finalmente convergieron al siglo XV en Europa.

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El sistema posicional

Más importante que la forma de los símbolos numéricos es el desarrollo del sistema de valor posicional. Aunque está en ligera disputa, el documento más antiguo conocido en el que el sistema indio muestra un sistema posicional se remonta al 346 E.C. Sin embargo, algunas pruebas sugieren que en realidad pueden haber desarrollado un sistema posicional ya en el siglo I C.E.

Los indios no fueron los primeros en utilizar un sistema posicional. Los babilonios (como veremos en el Capítulo 3) utilizaron un sistema posicional con 60 como base. Sin embargo, no hay mucha evidencia de que el sistema babilónico haya tenido mucho impacto en los sistemas numéricos posteriores, excepto con los griegos. Además, los chinos tenían un sistema base-10, probablemente derivado del uso de una tabla de conteo [24]. Algunos creen que el sistema posicional utilizado en la India se derivó del sistema chino.

Dondequiera que se haya originado, parece que alrededor del 600 C.E., los indios abandonaron el uso de símbolos para números superiores a nueve y comenzaron a usar nuestro sistema familiar donde la posición del símbolo determina su valor general [25]. Numerosos documentos del siglo VII demuestran el uso de este sistema posicional.

Curiosamente, las primeras inscripciones fechadas que utilizan el sistema con un símbolo para cero provienen de Camboya. En 683, el año ⁶⁰⁵ de la era Saka se escribe con tres dígitos y un punto en el medio. El año ⁶⁰⁸ utiliza tres dígitos con un 0 moderno en el medio [26]. El punto como símbolo para cero también aparece en una obra china (Chiu−chih li). El autor de este documento da una descripción sorprendentemente clara de cómo funciona el sistema indio:

Utilizando los números [indios] se llevan a cabo la multiplicación y división. Cada número está escrito en un trazo. Cuando un número se cuenta a diez, se avanza al lugar superior. En cada lugar vacante siempre se pone un punto. Así, el numeral siempre se denota en cada lugar. En consecuencia, no puede haber error en determinar el lugar. Con los números, los cálculos son fáciles... [27]”

Transmisión a Europa

No se sabe del todo cómo se transmitió el sistema a Europa. Los comerciantes y viajeros de la costa mediterránea pueden haberlo llevado allí. Se encuentra en un manuscrito español del siglo X y puede haber sido introducido en España por los árabes, que invadieron la región en 711 CE y estuvieron allí hasta 1492.

$clipboard_eb6d02658d0f2a1f105464aadfbfa8b14.png$ En muchas sociedades, se formó una división entre quienes usaban números y cálculos para negocios prácticos, cotidianos y quienes los usaban con fines rituales o para negocios estatales [28]. Los primeros suelen utilizar sistemas más antiguos, mientras que los segundos se inclinaban a usar los números escritos más nuevos y más elitistas. La competencia entre los dos grupos surgió y continuó desde hace bastante tiempo.

En un manuscrito del ^siglo XIV de Boecio 'Las consolaciones de la filosofía, aparece un conocido dibujo de dos matemáticos. Uno es un comerciante y está usando un ábaco (el “abacista”). El otro es un filósofo pitagórico (el “algorísta”) usando sus números “sagrados”. Están en una competencia que está siendo juzgada por la diosa del número. Para 1500 C.E., sin embargo, los símbolos y el sistema más nuevos habían ganado y ha perseverado hasta hoy. El Seattle Times informó recientemente que el sistema de números hindu−árabes ha sido incluido en el libro The Greatest Inventions of the Past 2000 Years [29].

Una pregunta a responder es por qué los indios desarrollarían tal notación posicional. Desafortunadamente, actualmente no se conoce una respuesta a esa pregunta. Algunos sugieren que el sistema tiene sus orígenes con los tableros de conteo chinos. Estas tablas eran portátiles y se piensa que los viajeros chinos que pasaron por la India se llevaron sus tablas con ellas y encendieron una idea en las matemáticas indias [30]. Otros, como G. G. Joseph proponen que es la fascinación india por los números muy grandes lo que los impulsó a desarrollar un sistema mediante el cual este tipo de grandes números podrían escribirse fácilmente. En esta teoría, el sistema se desarrolló enteramente dentro del marco matemático indio sin una influencia considerable de otras civilizaciones.