2.5: Sistemas numéricos
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Nuestro sistema numérico es una adaptación occidental del sistema numérico hindu-árabe desarrollado en algún lugar entre los siglos I y IV d.C. Sin embargo, a lo largo de la historia se han registrado números con marcas de conteo. El Hueso Ishango [1] de África tiene unos 25 mil años de antigüedad. Es el hueso de la parte inferior de la pierna de un babuino, y contiene marcas de conteo. Sabemos que las marcas se utilizaron para el conteo porque aparecen en distintos grupos.
Esta cornamenta de reno [2] de Francia tiene alrededor de 15 mil años, y también muestra marcas de recuento claramente agrupadas.
Por supuesto, ¡todavía usamos marcas de conteo hoy! [3]
Los números base diez (los que probablemente hayas estado usando toda tu vida) y los números base b (los que has estado aprendiendo en este capítulo) son ambos sistemas de números posicionales.
Un sistema de números posicionales es una forma de escribir números. Tiene símbolos únicos para 1 a b — 1, donde b es la base del sistema. Los sistemas modernos de números posicionales también incluyen un símbolo para 0.
El valor posicional de cada símbolo depende de su posición en el número:
- El valor posicional de un símbolo en la primera posición es solo su valor nominal.
- El valor posicional de un símbolo en la segunda posición es b veces su valor.
- El valor posicional de un símbolo en la tercera posición es
multiplicado por su valor. - Y así sucesivamente.
El valor de un número es la suma de los valores posicionales de sus dígitos.
En un sistema numérico aditivo, el valor de un número escrito es la suma de los valores faciales de los símbolos que componen el número. El único símbolo necesario para un sistema numérico aditivo es un símbolo para 1, sin embargo muchos sistemas numéricos aditivos contienen otros símbolos.
Historia: números romanos
Los antiguos romanos utilizaban una versión de un sistema numérico aditivo. Los romanos representaban los números de esta manera:
| Número | Número romano |
|---|---|
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1,000 | M |
Por lo que el número 2013 estaría representado como MMXIII. Esto se lee como 2,000 (dos M), uno diez (una X), y tres (tres I).
Para cualquier sistema numérico aditivo, los números muy grandes se vuelven poco prácticos de escribir. ¡Para representar el número uno millón en números romanos se necesitarían mil M's!
Sin embargo, los números romanos sí tenían una ventaja de eficiencia: El orden de los símbolos importaba. Si un símbolo a la izquierda fuera más pequeño que el símbolo de la derecha, se restaría en lugar de agregarlo. Entonces, por ejemplo, nueve se representa como IX en lugar de VIIII.
Si aún no sabes cómo usar los números romanos, investiga un poco. Entonces conteste a estas preguntas.
- Escribe los números 1—20 en números romanos.
- ¿Cuál es el número máximo de símbolos necesarios para escribir cualquier número entre 1 y 1,000 en números romanos? Justifica tu respuesta.
Los primeros sistemas de números posicionales se atribuyen a los babilonios (base 60) y a los mayas (base 20). Estos sistemas posicionales fueron desarrollados antes de que tuvieran un símbolo o un concepto claro para cero. En lugar de usar 0, se utilizó un espacio en blanco para indicar que se saltó un valor posicional particular. Esto podría llevar a la ambigüedad.
Supongamos que no teníamos un símbolo para 0, y alguien escribió el número
\[2 \quad 3 \ldotp \nonumber \]
Sería imposible saber si significan 23, 203, 2003, o tal vez dos números separados (dos y tres).
Leonardo Pisano Bigollo, más comúnmente conocido como Fibonacci [4], jugó un papel fundamental en guiar a Europa fuera de un largo período en el que la importancia y el desarrollo de las matemáticas estuvo en marcado declive. Nació en Italia alrededor del año 1170 CE hijo de Guglielmo Bonacci, un exitoso comerciante. Guglielmo llevó a su hijo con él a lo que hoy es Argelia, y allí se educó Leonardo en matemáticas matemáticas.
Fibonacci
En su momento, los números romanos dominaban Europa, y el medio oficial de cálculo era el ábaco. Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī [5] describió el uso del sistema hindu-árabe en su libro Sobre el cálculo con números hindúes en 825 d.C., pero no era conocido en Europa.
Estatua de al-Khwarizmi en la Universidad Tecnológica de Amirkabir
El libro de Fibonacci, Liber Abaci, describió el sistema hinduo-árabe y sus aplicaciones comerciales para lectores europeos. Su libro fue bien recibido en toda Europa, y marcó el comienzo de un resurgimiento de las matemáticas europeas.
Historia: números hawaianos
El sistema numérico hindu-árabe ahora se utiliza casi exclusivamente en todo el mundo. Pero muchas culturas tenían sus propios sistemas numéricos antes de que el contacto y el comercio con otros países difundieran la obra de al-Khwārizmī por todo el mundo.
Existe evidencia de que los hawaianos previos al contacto en realidad utilizaron dos sistemas numéricos diferentes. Dependiendo de lo que estuvieran contando, podrían usar la base 4 en su lugar (o un sistema mixto base-10 y base-4). Una teoría es que ciertos objetos (peces, taro, etc.) a menudo se ponían en haces de 4, por lo que eran más naturales contar por 4 que por 10. El número cuatro también tuvo significado espiritual en la cultura hawaiana.
Los humanos tienen 5 dedos en cada mano [6], haciendo de la base diez una opción natural para contar. Pero hay 4 huecos entre los dedos, lo que significa que una mano puede llevar cuatro peces o plantas de taro u objetos similares, haciendo de la base cuatro una opción natural para algunas culturas.
En el sistema base mixta, en lugar de potencias de 10, los números se desglosan en sumas de números que parecen 4 veces una potencia de 10 (40, 400, 4000, etc.).
| 1 | 'ekahi |
| 2 | 'elua |
| 3 | 'ekolu |
| 4 | 'ehā (o kauna) |
| 5 | 'elima |
| 6 | 'eono |
| 7 | 'ehiku |
| 8 | 'ewalu |
| 9 | 'eiwa |
| 10 | 'umi |
| 11—19 | 'umi kumamā {kahi, lua, kolu, hā, etc.} |
| 20 | iwakālua |
| 21—29 | Iwakālua kumamā {kahi, lua, kolu, hā, etc.} |
| 30 | kanakolu |
| 31—39 | kanakolu kumamā {kahi, lua, etc.} |
| 40 | kanahā |
| 400 | lau |
| 4,000 | mano |
| 40,000 | kini |
| 400,000 | lehu |
Aquí hay algunos ejemplos (consulte la tabla anterior para ver los nombres hawaianos de los números):
'ekolu kini, 'ewalu lau me 'ekahi
se traduce en tres 40.000, ocho 400's y uno;
3 ⋅ 40000 + 8 ⋅ 400 + 1 = 123201
5207 = 1 ⋅ 4000 + 3 ⋅ 400 + 7
sería 'ekahi mano, 'ekolu lau me 'ehiku
Por su cuenta
Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.
- Traduce este número hawaiano al inglés y luego escríbalo en base diez. $$\ text {'ekahi kanahā me kanakolu kumamāiwa} $$
- Traduce este número base‐ten al hawaiano. $$1,573$$
¿Cómo es valioso para ti como futuro maestro aprender sobre diferentes sistemas numéricos (incluyendo representar números en diferentes bases)?
- Imagen de hueso de Ishango de Ben2 (Obra propia), CC-BY-SA-3.0 o CC BY-SA 2.5-2.0-1.0], vía Wikimedia Commons.
- Imagen de cornamenta Por Ryan Somma de Occoquan, Estados Unidos [CC BY-SA 2.0], vía Wikimedia Commons
- Imagen de la señal de advertencia de playa Hanakapiai de God of War en la Wikipedia en idioma inglés [GFDL o CC-BY-SA-3.0], vía Wikimedia Commons.
- Imagen de Fibonacci vía Wikimedia Commons, en el dominio público.
- Imagen de la estatua de al-Khwarizmi de M. Tomczak [CC BY-SA 3.0], vía Wikimedia Commons.
- Imagen de mano de pixabay.com, licenciada bajo CC0 Creative Commons.