2.7: Banco de problemas

Problema 28

1. Si estuvieras contando en la base cuatro, ¿qué número dirías justo antes de decirlo\(100_{four}\)?
2. ¿Qué número es uno más de\(133_{four}\)?
3. ¿Cuál es el mayor número de tres dígitos que se puede escribir en la base cuatro? ¿Qué números vienen justo antes y justo después de ese número?

Problema 29

Explique qué tiene de malo escribir\(313_{two}\) o\(28_{eight}\).

Problema 30

1. Escriba los tres números base del\(1_{three}\) al\(200_{three}\).
2. Escriba los cinco números base del\(1_{five}\) al\(100_{five}\).
3. Escribe los cuatro números base seis que vienen después\(154_{six}\).

Problema 31

Convertir cada número base diez en un número base cuatro. Explica cómo lo hiciste.

\[13, \qquad 8, \qquad 24, \qquad, 49 \nonumber \]

Desafíos:

\[0.125, \qquad 0.11111 \cdots = 0. \bar{1} \nonumber \]

Problema 32

Para usar la base dieciséis, necesitamos dieciséis dígitos —ellos representarán los números del cero al quince. Podemos usar nuestros dígitos habituales 0—9, pero necesitamos nuevos símbolos para representar los dígitos diez, once, doce, trece, catorce y quince. Aquí hay una convención estándar:

base diez	base dieciséis
7	$$7_ {dieciséis} $$
8	$$8_ {dieciséis} $$
9	$$9_ {dieciséis} $$
10	$$A_ {dieciséis} $$
11	$$B_ {dieciséis} $$
12	$$C_ {dieciséis} $$
13	$$D_ {dieciséis} $$
14	$$E_ {dieciséis} $$
15	$$F_ {dieciséis} $$
16	$$10_ {dieciséis} $$

1. Convierte estos números de la base dieciséis a la base diez y muestra tu trabajo:

   \[6D_{sixteen} \qquad AE_{sixteen} \qquad 9C_{sixteen} \qquad 2B_{sixteen} \nonumber \]

2. Convierte estos números de base diez a base dieciséis, y muestra tu trabajo:

   \[97 \qquad 144 \qquad 203 \qquad 890 \nonumber \]

Problema 33

¿Cuántos símbolos diferentes necesitarías para un sistema base veinticinco? Justifica tu respuesta.

Problema 34

Todos los siguientes números son múltiplos de tres.

\[3, \quad 6, \quad 9, \quad 12, \quad 21, \quad 27, \quad 33, \quad 60, \quad 81, \quad 99 \ldotp \nonumber \]

1. Identificar los poderes de 3 en la lista. Justifica tu respuesta.
2. Escribe cada uno de los números anteriores en la base tres.
3. En la base tres: ¿cómo se puede reconocer un múltiplo de 3? Explica tu respuesta.
4. En la base tres: ¿cómo se puede reconocer un poder de 3? Explica tu respuesta.

Problema 35

Todos los siguientes números son múltiplos de cinco.

\[5, \quad 10, \quad 15, \quad 25, \quad 55, \quad 75, \quad 100, \quad 125, \quad 625, \quad 1000 \ldotp \nonumber \]

1. Identificar los poderes de 5 en la lista. Justifica tu respuesta.
2. Escribe cada uno de los números anteriores en la base cinco.
3. En base cinco: ¿cómo se puede reconocer un múltiplo de 5? Explica tu respuesta.
4. En base cinco: ¿cómo se puede reconocer un poder de 5? Explica tu respuesta.

Problema 36

Convertir cada número a la base dada.

1. \(395_{ten}\)en la base ocho.
2. \(52_{ten}\)en la base dos.
3. \(743_{ten}\)en la base cinco.

Problema 37

¿Qué bases hacen verdaderas estas ecuaciones? Justifica tus respuestas.

1. $$35 = 120\ _\ _\ _$$
2. $$41_ {seis} = 27\ _\ _\ _$$
3. $52_ {siete} = 34\ _\ _\ _$$

Problema 38

¿Qué bases hacen verdaderas estas ecuaciones? Justifica tus respuestas.

1. $$32 = 44\ _\ _\ _$$
2. $57_ {ocho} = 10\ _\ _\ _$$
3. $$31_ {cuatro} = 11\ _\ _\ _$$
4. $$15_ {x} = 30_ {y} $$

Problema 39

1. Encuentra un número base diez que sea el doble del producto de sus dos dígitos. ¿Hay más de una respuesta? Justifica lo que dices.
2. ¿Se puede resolver este problema en cualquier base que no sea diez?

Problema 40

1. Tengo un número de cuatro dígitos escrito en base diez. Cuando multiplico mi número por cuatro, los dígitos se invierten. Encuentra el número.
2. ¿Se puede resolver este problema en cualquier base que no sea diez?

Problema 41

Convertir cada número base cuatro en un número base diez. Explica cómo lo hiciste.

\[13_{four} \quad 322_{four} \quad 101_{four} \quad 1300_{four} \nonumber \]

Desafíos:

\[0.2_{four} \qquad 0.111 \ldots_{four} = 0. \bar{1}_{four} \nonumber \]

Problema 42

Considera este número base diez (lo obtuve escribiendo los números del 1 al 60 en orden uno al lado del otro):

\[12345678910111213 \ldots 57585960 \ldotp \nonumber \]

1. ¿Cuál es el número más grande que se puede producir al borrar cien dígitos del número? (Cuando borras un dígito se va. Por ejemplo, si comienzas con el número 12345 y borras el dígito medio, generas el número 1245.) ¿Cómo sabes que obtuviste el mayor número posible?
2. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede producir al borrar cien dígitos del número? ¿Cómo sabes que obtuviste el menor número posible?

Problema 43

¿Puedes encontrar dos números diferentes (¡no necesariamente de un solo dígito!) y entonces eso\(a_{b} = b_{a}\)? ¿Puedes encontrar más de una solución? Justifica tus respuestas.