3.2: Puntos y Cajas de Adición
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Adición como combinación
Por ahora, nos centraremos en el sistema base-10. Así es como pensamos sobre el número 273 en ese sistema:
Y aquí está el número 512:
Podemos agregarlos de la manera natural: solo combina los montones de puntos. Como ya están en columnas de valor posicionar, podemos combinar puntos de los dos números que están en el mismo cuadro de valor posicionar.
Podemos contar la respuesta: hay 7 puntos en la caja de cientos, 8 puntos en la caja de decenas y 5 puntos en la caja de unos.
\[\begin{split} 273& \\ +\; 512 \\ \hline 785& \end{split} \nonumber \]
Y diciendo el largo camino que tenemos:
- Dos cientos más cinco cientos da 7 cientos.
- Siete decenas más una diez da 8 decenas.
- Tres unos más dos dan 5 unos.
Esto da la respuesta: 785.
Hagamos otra. Considera 163+489.
\[\begin{split} 1\; \; \; 6\; \; \; 3& \\ +\; 4\; \; \; 8\; \; \; 9& \\ \hline 5 | 14 | 12& \end{split} \nonumber \]
Y esto es absolutamente correcto:
- Cien más cuatrocientos son 5 cientos.
- Seis decenas más ocho decenas son 14 decenas.
- Tres unos más nueve son 12 unos.
La respuesta es 5 | 14 | 12, que podríamos tratar de pronunciar como “quinientos cuarenta y doce”. El problema con esta respuesta es que la mayor parte del resto del mundo no entendería de lo que estamos hablando.
Como se trata de un sistema base 10, podemos hacer algunas explosiones.
La respuesta es “seiscientos cincuenta y dos”. Bien, ¡el mundo puede entender este!
\[\begin{split} 1\; \; \; 6\; \; \; 3& \\ +\; 4\; \; \; 8\; \; \; 9& \\ \hline 5 | 14 | 12& = 652 \end{split} \nonumber \]
Resuelve los siguientes ejercicios pensando en los puntos y cajas. (Puedes dibujar los cuadros, o simplemente imaginarlos). Entonces traduzca la respuesta en algo que el resto del mundo pueda entender.
\[\begin{split} 148& \\ +\; 323& \\ \hline \end{split} \qquad \qquad \begin{split} 567& \\ +\; 271& \\ \hline \end{split} \qquad \qquad \begin{split} 310462872& \\ +\; 389107123& \\ \hline \end{split} \nonumber \]
Utiliza la técnica de puntos y cajas para resolver estos problemas. ¡No encubiertos a la base 10! Trate de trabajar directamente en la base dada. Podría ser útil dibujar realmente las imágenes.
\[\begin{split} 20413_{five}& \\ +\; 13244_{five}& \\ \hline \end{split} \qquad \qquad \begin{split} 4052_{nine}& \\ +\; 6288_{nine}& \\ \hline \end{split} \qquad \qquad \begin{split} 3323_{seven}& \\ +\; 3555_{seven}& \\ \hline \end{split} \nonumber \]
El algoritmo estándar para la adición
Volvamos al ejemplo 163+489. A algunos profesores no les gusta escribir:
\[\begin{split} 1\; \; \; 6\; \; \; 3& \\ +\; 4\; \; \; 8\; \; \; 9& \\ \hline 5 | 14 | 12& = 652 \end{split} \nonumber \]
Prefieren enseñar a sus alumnos a comenzar con el 3 y el 9 al final y sumarlos para obtener 12. Esto es, por supuesto, correcto — también obtuvimos 12.
Pero no quieren que los estudiantes escriban o piensen “doce”, así que hacen que sus alumnos escriban algo como esto:
\[\begin{split} 1& \\ 16&3 \\ +\; 48&9 \\ \hline &2 \end{split} \nonumber \]
Esto puede parecer completamente misterioso. ¿Qué está pasando realmente? ¡Están explotando diez puntos, claro!
Ahora seguimos con el problema y sumamos las decenas. A los alumnos se les enseña a escribir:
\[\begin{split} 1& \\ 1&63 \\ +\; 4&89 \\ \hline &52 \end{split} \nonumber \]
Pero lo que esto significa se muestra mejor en esta siguiente imagen. Observe el punto “explotado” (o reagrupado) en la parte superior, que se agrega al cuadro de decenas en la respuesta.
Y ahora terminamos el problema combinando los puntos en las cajas de los cientos:
\[\begin{split} 1& \\ 1&63 \\ +\; 4&89 \\ \hline 6&52 \end{split} \nonumber \]
En el algoritmo estándar, trabajamos de derecha a izquierda, haciendo las “explosiones” a medida que avanzamos. Esto significa que comenzamos a sumar en el lugar de unos y trabajamos hacia el valor posicionar más a la izquierda, “llevando” dígitos que provienen de las explosiones. (Esto realmente no lleva; un término mejor para ello es reagruparse. Diez se convierten en uno diez. Diez decenas se convierten en cien. Y así sucesivamente.)
En el método de puntos y cajas, agregamos en cualquier dirección u orden que nos guste y luego hacemos las explosiones al final.
- ¿Por qué nos gusta el algoritmo estándar? Porque es eficiente.
- ¿Por qué nos gusta el método de puntos y cajas? Porque es fácil de entender.