6.2: Decimales

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Hasta ahora nuestro modelo “Dots & Boxes” ha consistido en una fila de cajas que se extienden infinitamente hacia la izquierda. ¿Por qué no tener cajas extendidas a la derecha también?

Trabajemos específicamente con una regla de 1← 10 y veamos qué podrían significar casillas a la derecha.

$decimal1-1024x171.png$

notación

Se ha convertido en convención separar las casillas a la derecha del lugar unas con un punto decimal. (Al menos, así es como se llama el punto en el mundo base diez... “dec” significa “diez” después de todo!)

¿Cuál es el valor del primer cuadro a la derecha del punto decimal? Si denotamos su valor como x, tenemos que diez x es equivalente a 1. (Recuerda, estamos usando una regla de 1 ← 10.)

$110-1024x325.png$

De eso$10x = 1$ lo conseguimos$x = \frac{1}{10}$.

$110label-1024x193.png$

Llamar el valor de la siguiente casilla a la derecha y.

$1100-1024x349.png$

De$10y = \frac{1}{10}$ nosotros conseguimos$y = \frac{1}{100}$.

Si seguimos haciendo esto, vemos que las casillas a la derecha del punto decimal representan los recíprocos de las potencias de diez.

$decimalsystem-1024x191.png$

Ejemplo: 0.3

El decimal $0.3$ está representado por la imagen:

$0.3-1024x197.png$

Representa tres grupos de$\frac{1}{10}$, es decir:

\[0.3 = \frac{3}{10} \ldotp \nonumber \]

Ejemplo: 0.007

El decimal 0.007 está representado por la imagen:

$0.007-1024x196.png$

Representa siete grupos de$\frac{1}{1000}$.

Por supuesto, algunos decimales representan fracciones que pueden simplificar aún más. Por ejemplo:

\[0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \ldotp \nonumber \]

De igual manera, si una fracción se puede reescribir para tener un denominador que es una potencia de diez, entonces es fácil convertirla a decimal. Por ejemplo,$\frac{3}{5}$ es equivalente a$\frac{6}{10}$, y así tenemos:

\[\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0.6 \ldotp \nonumber \]

Ejemplo: 12 3/4

¿Se puede escribir$12 \frac{3}{4}$ como decimal? Bueno,

\[12 \frac{3}{4} = 12 + \frac{3}{4} \ldotp \nonumber \]

Podemos escribir el denominador como una potencia de diez usando la regla de fracción clave:

\[\frac{3}{4} \cdot \frac{25}{25} = \frac{75}{100} \ldotp \nonumber \]

Entonces vemos que:

\[12 + \frac{3}{4} = 12 + \frac{75}{100} = 12.75 \ldotp \nonumber \]

Pensar/Parejar/Compartir

Dibuja una imagen de “Puntos y cajas” para cada uno de los siguientes decimales. Entonces di qué fracción representa cada decimal: $$0.09,\ quad 0.003,\ quad 0.7,\ quad 0.0000003\ ldotp$$
Dibuja una imagen de “Puntos y Cajas” para cada una de las siguientes fracciones. Luego escribe la fracción como decimal: $$\ frac {1} {1000},\ qquad\ frac {7} {100},\ qquad\ frac {9} {10}\ ldotp$$
¿Qué fracciones (en términos más simples) representan los siguientes decimales? $$0.05,\ qquad 0.2,\ qquad 0.8,\ qquad 0.004\ ldotp$$
Utilice la regla de fracción clave para escribir las siguientes fracciones como decimales. ¡No uses una calculadora! $$\ frac {2} {5},\ quad\ frac {1} {25},\ quad\ frac {1} {20},\ quad\ frac {1} {200},\ quad\ frac {1} {1250}\ ldotp$$
Algunas personas leen 0.6 en voz alta como “punto seis”. Otros lo leyeron en voz alta como “seis décimas”. ¿Cuál es más útil para entender cuál es realmente el número? ¿Por qué lo crees?

Ejemplo: 0.31

Aquí hay una pregunta más interesante: ¿Qué fracción está representada por el decimal 0.31?

$0.31a-1024x183.png$

Hay dos formas de pensar al respecto.

Enfoque 1:

De la imagen del modelo “Dots & Boxes” vemos:

\[0.31 = \frac{3}{10} + \frac{1}{100} \ldotp \nonumber \]

Podemos sumar estas fracciones encontrando un denominador común:

\[\frac{3}{10} + \frac{1}{100} = \frac{30}{100} + \frac{1}{100} = \frac{31}{100} \ldotp \nonumber \]

Entonces

\[0.31 = \frac{31}{100} \ldotp \nonumber \]

Enfoque 2:

Vamos a desexplotar los tres puntos en la$\frac{1}{10}$ posición para producir 30 puntos adicionales en la$\frac{1}{100}$ posición.

$0.31b-1024x189.png$

Así podemos ver de inmediato que

\[0.31 = \frac{31}{100} \ldotp \nonumber \]

Por su cuenta

Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.

1. Brian está teniendo dificultades al ver que 0.47 representa la fracción$\frac{47}{100}$. Describe los dos enfoques que podrías usar para explicarle esto.

2. Un maestro pidió a sus alumnos que cada uno dibujara una imagen de “Dots & Boxes” de la fracción$\frac{319}{1000}$.

Jin dibujó esto:

$Jin-1024x196.png$

Sonia dibujó esto:

$Sonia-1024x197.png$

El profesor marcó a ambos alumnos como correctos.

¿Cada una de estas soluciones es correcta? Explica tu forma de pensar.
Jin dijo que podría obtener la solución de Sonia realizando algunas explosiones. ¿Qué quiso decir con esto? ¿Tiene razón?

Elige la mejor respuesta y justifica tu elección. El decimal 0.23 es igual a: $$ (a)\;\ frac {23} {10}\ qquad (b)\;\ frac {23} {100}\ qquad\ frac {23} {1,000}\ quad (d)\;\ frac {23} {10,000}\ ldotp$$
Elige la mejor respuesta y justifica tu elección. El decimal 0.0409 es igual a: $$ (a)\;\ frac {409} {100}\ qquad\ frac {409} {1,000}\ qquad (c)\;\ frac {409} {10,000}\ qquad (d)\;\ frac {409} {100,000}\ ldotp$$
Elige la mejor respuesta y justifica tu elección. El decimal 0.050 es igual a: $$ (a)\;\ frac {50} {100}\ qquad (b)\;\ frac {1} {20}\ qquad (c)\;\ frac {1} {200}\ qquad (d)\;\ text {Ninguno de estos. } $$
Elige la mejor respuesta y justifica tu elección. El decimal 0.000204 es igual a: $$ (a)\;\ frac {51} {250}\ qquad (b)\;\ frac {51} {2500}\ qquad (c)\ frac {51} {25,000}\ qquad (d)\;\ frac {51} {250,000}\ ldotp$$
¿Qué fracción está representada por cada uno de los siguientes decimales? $$ (a)\; 0.567\ qquad (b)\; 0.031\ qquad (c)\; 0.4077\ qquad (d)\; 0.101\ ldotp$$
Escribe cada una de las siguientes fracciones como decimales. ¡No uses una calculadora! $$ (a)\;\ frac {73} {100}\ qquad\ frac {519} {1,000}\ qquad (c)\;\ frac {71} {1,000}\ qquad (d)\;\ frac {7001} {10,000}\ ldotp$$
Escribe cada una de las siguientes fracciones como decimales. ¡No uses una calculadora! $$ (a)\;\ frac {7} {20}\ qquad (b)\;\ frac {16} {25}\ qquad (c)\;\ frac {301} {500}\ qquad (d)\;\ frac {17} {50}\ qquad (e)\;\ frac {3} {4}\ ldotp$$
Escribe cada uno de los siguientes como una fracción (o número mixto). $$ (a)\; 2.3\ qquad (b)\; 17.04\ qquad (c)\; 1003.1003$$
Escribe cada uno de los siguientes números en notación decimal. $$ (a)\; 5\ frac {3} {10}\ qquad (b)\; 7\ frac {1} {5}\ qquad (c)\; 13\ frac {1} {2}\ qquad (d)\; 106\ frac {3} {20}\ qquad (e)\;\ frac {78} {25}\ qquad (f)\;\ frac {9} {4}\ qquad (g)\;\ frac {131} {40} $$

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¿El 0.19 y el 0.190 representan el mismo número o números diferentes?

Aquí hay dos puntos y cuadros cuadros cuadros para el decimal 0.19.

$0.19a-1024x192.png$

$0.19b-1024x195.png$

Y aquí hay dos puntos y cuadros cuadro para el decimal 0.190.

$0.190a-1024x191.png$

$0.190b-1024x192.png$

Explique cómo una “no explosión” establece que la primera imagen de 0.19 es equivalente a la segunda imagen de 0.19.

Explique cómo varias inexplosiones establecen que el primer cuadro de 0.190 es equivalente al segundo cuadro de 0.190.

Usa explosiones y desexplosiones para demostrar que las cuatro imágenes son equivalentes entre sí.

Entonces... ¿0.19 representa el mismo número que 0.190?