6.8: Operaciones sobre decimales
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Por supuesto que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los números decimales reescribiéndolos como fracciones y usando los algoritmos que ahí conocemos. Por supuesto, a veces es mucho más trabajo convertir a fracciones que simplemente trabajar directamente con los decimales (siempre y cuando sepas lo que estás haciendo). Entonces pensemos en el valor posicional y en la computación con decimales.
Sumando y restando decimales
Recuerda que cuando usamos el modelo “Dots & Boxes” para agregar, se veía así.
Luego realizamos explosiones hasta que haya menos de diez puntos en cada caja, y encontramos que:\[163 + 489 = 652 \ldotp \nonumber \]
La resta fue un poco más complicada.
Comenzamos con la representación de 921:
Como queremos “quitar” 551, eso significa que le quitamos cinco puntos de la caja de los cientos, dejando cuatro puntos.
Ahora queremos quitarle cinco puntos de la caja de decenas, ¡pero no podemos hacerlo! Ahí sólo hay dos puntos. ¿Qué podemos hacer? Bueno, todavía tenemos algunos cientos, así que podemos “desexplotar” un punto de cientos, y poner diez puntos en la caja de decenas en su lugar. Entonces podremos llevarnos a cinco de ellos, dejando siete.
(Observe que también tenemos un punto menos en la caja de los cientos; ahora solo hay tres puntos ahí).
Ahora queremos sacar un punto de la caja unos, y eso no deja puntos ahí.
Concluimos que: 921 - 551 = 370.
Por su cuenta
Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.
- Para cada cálculo, dibuja un modelo de “Puntos y Cajas” y utilícelo para encontrar el resultado del cálculo. $$\ begin {split} &3.56 + 7.95\ quad 1.452 + 32.27\ quad 3.0205 + 409.2019\\ &15.225 - 7.209\ quad 14.793 - 8.95\ quad 12.5 - 3.0002\ ldotp\ end {split} $$
- Para cada cálculo a continuación, agregue los decimales rápidamente usando el mismo razonamiento que en los problemas anteriores. $$0.0066 + 0.9\ qquad 0.25 + 0.0088\ qquad 0. \ overline {20} + 0. \ overline {01}\ ldotp$$
- Chloe agregó 0.2 y 0.02 y obtuvo una respuesta de 0.4. ¿Cuál fue el probable error de Chloe? Como su maestra, ¿cómo podrías ayudar a Chloe a entender mejor el funcionamiento de la adición?
- En la primaria se enseña a los alumnos a sumar y restar decimales “alineando los decimales”. Usa el modelo “Dots & Boxes” para explicar por qué esta taquigrafía tiene sentido.
Multiplicar y dividir: Poderes de 10
Revisemos rápidamente el modelo “Puntos y cajas” para multiplicar números enteros antes de volver a hablar de decimales.
Si queremos computar 243192 × 4, ayuda a recordar qué significa multiplicar. Una interpretación es: Quiero agregarle 243192 a sí mismo un total de cuatro veces. Entonces habrá:
- 2 × 4 puntos en el lugar de unos,
- 9 × 4 puntos en el lugar de las decenas,
- 1 × 4 puntos en el lugar de los cientos,
- y así sucesivamente.
Aquí está el inicio del cómputo:
\[243192 \times 4 = 8\; | \; 16\; | \; 12\; | \; 4\; | \; 36\; | \; 8 \ldotp \nonumber \]
Para terminar el cómputo, necesitamos hacer algunas explosiones para escribir el resultado como una base familiar número 10:
\[243192 \times 4 = 972768 \ldotp \nonumber \]
Por su cuenta
Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.
- Haz cada cómputo, usando razonamiento como en el ejemplo de multiplicación anterior. $$ (a)\; 2.3\ times 10\ quad (b)\; 3.56\ times 10\ quad (c)\; 1.452\ times 100\ ldotp$$
- Haz cada cálculo, usando razonamiento como en los ejemplos de “División y Decimales”. $$7.1\ div 10\ qquad 98.55\ div 10\ qquad 145.2\ div 100\ ldotp$$
Sabes que multiplicar un número entero de base diez por 10 da como resultado agregar un cero al extremo derecho del número. ¡Tu trabajo anterior debería convencerte de que esto no funciona para decimales!
- Escribe una nueva regla que funcione tanto para números enteros como decimales:
Si multiplico un número entero o un decimal por 10, una forma sencilla de encontrar el resultado es
___________________________.
- Justifica el reclamo que hiciste anteriormente.
- Uno puede ir mucho más allá con este pensamiento. ¿Cuál es el efecto de dividir un número escrito en notación decimal por diez? ¿Por cien? Justifica lo que dices.
Multiplicar decimales
Probablemente conozcas un algoritmo para multiplicar números decimales a mano. Pero si piensas detenidamente sobre el algoritmo, debería tener sentido en función de lo que representan los números decimales y lo que significa multiplicar. Empecemos por usar el sentido numérico para pensar en multiplicar números enteros por decimales.
Considera la expresión
\[16 \times \Box \ldotp \nonumber \]
Rellena la casilla con un número entero o decimal para que el producto sea:
- Mayor a 100.
- Mayor a 64 pero menor a 100.
- Al menos 17, pero menos de 32.
- Igual a 16.
- Mayor a 8 pero menor a 16.
- Menos de 8, pero mayores que 0.
Asegúrate de justificar tus respuestas. ¡Deberías usar tu sentido numérico en lugar de computar a mano o con una calculadora!
Una forma de multiplicar los números decimales convirtiéndolos en fracciones y luego usando lo que sabes sobre multiplicar fracciones. Hay otras formas de pensar en multiplicar que se centran en el sentido numérico y el valor posicional más que en la mecánica de la computación.
Supongamos que un estudiante quería computar 321 × 0.4, pero no conocía ya el algoritmo estándar. ¿Qué podría hacer? Aquí hay una idea:
Sé que 321 × 0.4 = 1284. Ya que quiero multiplicar por 0.4 y no por 4, mi respuesta debería ser\(\frac{1}{10}\) de ésta. Entonces\[321 \times 0.4 = 128.4 \ldotp \nonumber \]
Debe notar que el alumno está utilizando la propiedad asociativa de multiplicación:
\[321 \times 0.4 = 321 \times \frac{4}{10} = 321 \times \left(4 \times \dfrac{1}{10} \right) = (321 \times 4) \times \frac{1}{10} \ldotp \nonumber \]
Para cada cómputo a continuación, el resultado del cálculo se muestra correctamente, pero falta el punto decimal. Usa el sentido numérico y el razonamiento para colocar correctamente el punto decimal y justificar brevemente cómo sabes que tienes razón.
(No uses una calculadora, no calcules la multiplicación a mano, y no uses el truco de “contar el número de decimales”. ¡Usa tu sentido numérico!)
\[\begin{split} &(a)\; 855 \times 1.7 = 14535 \qquad (b)\; 549 \times 0.33 = 18117 \\ &(c)\; 2.03 \times 1028 = 208684 \qquad (d)\; 999 \times 0.53 = 52947 \\ &(e)\; 30.02 \times 472 = 1416944 \qquad (f)\; 173 \times 0.09 = 1557 \ldotp \end{split} \nonumber \]
Por su cuenta
Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.
- Escribe cada número dado como fracción. (Escríbelos como “fracciones impropias”, no como “números mixtos”). $$\ begin {split} & (a)\; 15.2\ qquad (b)\; 3.43\\ & (c)\; 0.0021\ qquad (d)\; 13.02026\ ldotp\ end {split} $$
- En el ejercicio (1) anterior, ¿cómo se compara el número de dígitos a la derecha del punto decimal con el número de ceros en el denominador? Usa lo que sabes sobre el valor posicional para explicar por qué tu respuesta siempre es cierta (no solo para los ejemplos anteriores).
- Encuentra cada producto. $$\ begin {split} & (a)\; 10\ times 10000\ qquad (b)\; 100\ times 1000\\ & (c)\; 100000\ times 1000\ qquad (d)\; 10^ {m}\ times 10^ {n}\ ldotp\ end {split} $$
- En el ejercicio (3) anterior, ¿cómo se relaciona el número de ceros en el producto con el número de ceros en los dos factores? Usa lo que sabes sobre el valor posicional para explicar por qué tu respuesta siempre es cierta (no solo para los ejemplos anteriores).
- Si escribe 0.037 como fracción, ¿cuántos ceros habría en el denominador?
- ¿Y si escribes 0.59 como fracción, cuántos ceros habría en el denominador?
- ¿Cuántos ceros estarían en el denominador del producto de 0.037 y 0.59? (¡No computes el producto para responder a esta pregunta!)
- Usa el hecho de que 37 × 59 = 2183 y tus respuestas a los ejercicios anteriores para encontrar 0.037 × 0.59. Explica cómo obtuviste tu respuesta.
El algoritmo estándar para multiplicar números decimales se puede describir de esta manera:
Paso 1
Calcular el producto como si los dos factores fueran números enteros. (Ignorar los puntos decimales.)
Paso 2
Contar el número de dígitos a la derecha del punto decimal en cada factor, y sumar esos números juntos. Llama al resultado
.
Paso 3
La suma que encontraste en el Paso 2 será el número de dígitos a la derecha del punto decimal en el producto. Así que coloca el punto decimal de acuerdo contando el número apropiado de lugares desde la derecha.
- Anote dos ejemplos de multiplicar números decimales usando el algoritmo estándar anterior.
- Use lo que sabe sobre el valor posicional, las fracciones y la multiplicación para explicar cuidadosamente por qué tiene sentido el algoritmo estándar descrito anteriormente.
Dividiendo decimales
Como cabría esperar, dividir decimales es más complicado de explicar que cualquiera de las otras operaciones. Es difícil adaptar nuestro modelo “Dots & Boxes” para la división. Supongamos que queremos computar 15.37 ÷ 0.013. Ciertamente podemos dibujar el cuadro para 15.37, pero ¿cómo podríamos hacer grupos de 0.013 puntos?
Empecemos por compartir lo que ya sabes. Realiza este cálculo (a mano, no con calculadora), mostrando todo tu trabajo. Explique su método a un compañero, y vea si su pareja computó de la misma manera.
\[0.0351 \div 0.074 \ldotp \nonumber \]
Por su cuenta
Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.
- Explique por qué estas dos fracciones son equivalentes. $$\ frac {12.33} {44.1}\ quad y\ quad\ frac {123.3} {441}\ ldotp$$
- Explica por qué estos dos cálculos de división dan el mismo resultado. $$12.33\ div 44.1\ quad y\ quad 123.3\ div 441\ ldotp$$
- Explique por qué estas tres fracciones son equivalentes. $$\ frac {325.5} {75.133},\ quad\ frac {3255} {751.33},\ quad y\ quad\ frac {32550} {7513.3}\ ldotp$$
- Explica por qué estos cálculos de tres divisiones dan el mismo resultado. $325,5\ div 75.133,\ quad 3255\ div 751.33,\ quad y\ quad 32550\ div 7513.3\ ldotp$$
- Rellena la casilla para que la ecuación sea verdadera. Asegúrate de justificar tu respuesta. $$\ frac {325.5} {75.133} =\ frac {\ Caja} {75133}\ ldotp$$
El algoritmo estándar para dividir números representados por expansiones decimales finitas es algo como esto:
Paso 1
Mueva el punto decimal del divisor hasta el final del número.
Paso 2
Mover el punto decimal del dividendo el mismo número de posiciones (la misma distancia y dirección).
Paso 3
Divida el nuevo dividendo decimal (del Paso 2) por el nuevo divisor de número entero (del Paso 1). Como estamos dividiendo por un número entero, nuestros métodos estándar tienen sentido.
Esta es una descripción bastante mecánica, y no da mucha idea de por qué funciona este algoritmo.
Anote al menos dos ejemplos de cómputos con el algoritmo descrito anteriormente. (Haz tus propios números para probar. Asegúrese de mostrar cada paso con claridad.) Puedes hacer la división dibujando una imagen de “Puntos y Cajas” o por otro método (pero no uses una calculadora). Entonces contesta estas preguntas más generales.
- Supongamos que desea calcular a ÷ b donde a y b son números decimales. Explique cuidadosamente por qué (10 • a) ÷ (10 • b) dará el mismo resultado.
- Supongamos que desea calcular a ÷ b donde a y b son números decimales. Explique cuidadosamente por qué (100 • a) ÷ (100 • b) dará el mismo resultado.
- Supongamos que desea calcular a ÷ b donde
y
son números decimales. Explique cuidadosamente por qué (10 k • a) ÷ (10 k • b) dará el mismo resultado. - Supongamos que b tiene una expansión decimal finita. Explica cuidadosamente por qué puedes encontrar una potencia de 10 para que 10 k • b sea un número entero.
Explique cuidadosamente por qué el algoritmo descrito anteriormente en tres pasos funciona para calcular la división de números decimales. Necesitas explicar lo que sucede cuando “mueves el punto decimal” en los Pasos 1 y 2, y por qué el resultado que calculas en el Paso 3 es el mismo que el problema original.