6.9: Órdenes de Magnitud
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¿Qué edad tenía cuando tenía un millón de segundos? (Eso es 1,000,000.)
- Antes de que lo averiguaras, escribe una suposición. ¿Cuál es tu instinto? ¿Alrededor de un día? ¿Una semana? ¿Un mes? ¿Un año? ¿Ya llegaste a esa edad? ¿O tal vez no vivirás tanto?
- ¡Ahora descifralo! ¿Cuándo fue/ será tu cumpleaños de un millón de segundos?
¿Qué edad tenía cuando tenía mil millones de segundos? (Eso es 1,000,000,000.)
- Nuevamente, antes de averiguarlo, anote una suposición.
- ¡Ahora descifralo! ¿Cuándo fue/ será tu cumpleaños de mil millones de segundos?
¿Te sorprendieron las respuestas? La gente (la mayoría de la gente, de todos modos) tiende a tener muy buen sentido para los números pequeños y cotidianos, pero tienen muy malos instintos sobre los números grandes. Un problema es que tendemos a pensar aditivamente, como si mil millones fueran alrededor de un millón más un millón más (dar o recibir). Pero necesitamos pensar mulitplicativamente en situaciones como esta. Mil millones son mil × un millón.
Entonces podrías haber tomado tu respuesta al Problema 17 y multiplicarla por 1,000 para obtener tu respuesta al Problema 18. Por supuesto, probablemente aún necesitarías hacer algunos cálculos para darle sentido a la respuesta.
¿Cuándo cumple un billón de segundos? ¿Qué vas a hacer para celebrar?
La deuda de Estados Unidos es la cantidad total que el gobierno ha pedido prestado. (Este endeudamiento cubre el déficit —la diferencia entre lo que gasta el gobierno y lo que recauda en impuestos). En verano de 2013, la deuda de Estados Unidos era del orden de los 10 billones de dólares. (Eso significa más de 10 billones pero menos de 100 billones. Si escribieras la imagen de puntos y cajas, los puntos estarían tan a la izquierda como el lugar 10,000,000,000,000.)
- Si Estados Unidos paga un centavo cada segundo, ¿se pagará la deuda nacional en su vida? Explica tu respuesta.
- Un titular de abril de 2013 decía: “EU pagará 35 mil millones de dólares en el segundo trimestre”. Supongamos que Estados Unidos paga 35 mil millones de dólares cada trimestre (así que cuatro veces al año). ¿Acerca de cuántos años tardaría en pagar el total de la deuda nacional?
Aquí hay algunos problemas de gran número en los que pensar. ¿Puedes resolverlos?
- Supongamos que tiene un millón de gominolas, y azulejos el piso con ellos. ¿Qué tan grande de área cubrirán? ¿El aula? ¿Un campo de fútbol? ¿Algo más grande? ¿Y si fueran mil millones de jalea?
- Supongamos que tienes un millón de gabletas y las apilas. ¿Qué tan alto sería? ¿Tan alto como tú? ¿Como un árbol? ¿Como rascacielos? ¿Y si fueran mil millones de jalea? Acerca de cuántas gominolas (qué o rder de magnitud) necesitarías apilar para llegar a la luna? Explique sus respuestas.
Problemas de Fermi
James Boswell escribió:
El conocimiento es de dos clases. Conocemos un tema nosotros mismos, o sabemos dónde podemos encontrar información sobre él.
Pero las matemáticas prueban que esto está mal. En realidad hay un tercer tipo de conocimiento: Conocimiento que descubres por ti mismo. De hecho, esto es lo que hacen los científicos y matemáticos para ganarse la vida: ¡crean nuevos conocimientos! Empezando por lo que ya se sabe, hacen preguntas de “y si...”. Y finalmente, descubren algo nuevo, ¡algo que nadie sabía antes!
Incluso por saber que podrías buscar (o preguntarle a alguien), a menudo puedes averiguar la respuesta (o una aproximación cercana a la respuesta) por tu cuenta. Necesitas usar un poco de conocimiento, y un poco de ingenio.
Los problemas de Fermi, llamado así por el físico Enrico Fermi, implican usar tus conocimientos, hacer conjeturas educadas y hacer cálculos razonables para llegar a una respuesta que al principio podría parecer incontestable.
Aquí hay un problema clásico de Fermi: ¿Cuántos maestros de primaria hay en el estado de Hawai?
Podrías pensar: ¿Cómo podría responder a eso? ¿Por qué no solo buscarlo en Google? (Pero algunos problemas de Fermi que encontremos tendrán — ¡jadeo! — respuestas no googleables.)
Primero definamos nuestros términos. Digamos que nos importan los maestros de aula (no administradores, supervisores u otro personal escolar) que tienen un puesto permanente (no un sub, un ayudante, un maestro de sala de recursos o un maestro estudiante) en un aula de grado K—5.
Pero paremos y pensemos. ¿Conoces a la población de Hawái? Se trata de aproximadamente 1,000,000 de personas. (Eso no es exacto, claro. Pero esto es un ejercicio es estimación. Estamos tratando de llegar al orden de magnitud de la respuesta.)
¿Cuántas de esas personas son estudiantes de primaria? Bueno, ¿qué sabes de la población de Hawái? O ¿qué sospechas que es verdad? Una suposición razonable sería que la población está distribuida uniformemente entre todos los grupos de edad. Eso le daría a una población que se ve algo así:
| rango de edad | # de personas |
|---|---|
| 0 — 9 | 125,000 |
| 10 — 19 | 125,000 |
| 20 — 29 | 125,000 |
| 30 — 39 | 125,000 |
| 40 — 49 | 125,000 |
| 50 — 59 | 125,000 |
| 60 — 69 | 125,000 |
| 70 — 79 | 125,000 |
Asumiremos que la gente no vive más allá de los 80. ¡Por supuesto que algunas personas lo hacen! Pero en estos momentos todo se trata de hacer suposiciones simplificadoras. Eso nos da ocho categorías de edad, con alrededor de 125 mil personas en cada categoría.
Una suposición aún mejor (ya que tenemos una universidad grande que atrae a muchos estudiantes) es que hay un “bache” alrededor de la edad universitaria. Y algunas personas viven más allá de los 80, pero probablemente haya menos personas en los grupos de mayor edad. ¿A lo mejor el colapso es algo así? (Si tienes mejores conjeturas, ¡úsalas!)
| rango de edad | # de personas |
|---|---|
| 0 — 9 | 125,000 |
| 10 — 19 | 130,000 |
| 20 — 29 | 140,000 |
| 30 — 39 | 125,000 |
| 40 — 49 | 125,000 |
| 50 — 59 | 125,000 |
| 60 — 69 | 120,000 |
| > 70 | 105,000 |
Entonces, ¿cuántos alumnos de K-5 hay en Hawái? Eso abarca alrededor de seis años del rango 0—9. Si todavía vamos con aproximadamente el mismo número de personas a cada edad, debería haber alrededor de 12,500 en cada grado para un total de 12,500 × 6 = 75,000 alumnos de K—5.
Bien, pero realmente queríamos saber sobre los maestros K—5. Una cosa buena de la primaria: tiende a haber solo un maestro por clase. Entonces necesitamos una estimación de cuántas clases, y eso nos dirá cuántos profesores.
Entonces, ¿cuántos alumnos hay en cada clase? Probablemente varía un poco, con clases de kindergarten más pequeñas (ya que son más ruidosas y necesitan más atención), y clases más grandes de quinto grado. También hay clases más pequeñas en escuelas privadas y escuelas charter, pero clases más grandes en escuelas públicas. Un promedio razonable podría ser de 25 estudiantes por clase en todos los grados K-5 y todas las escuelas.
Así que eso hace 75,000 ÷ 25 = 3,000 aulas K—5 en Hawai. Y eso debería ser lo mismo que el número de maestros K—5.
¿Qué tan buena es esta estimación? ¿Se te ocurre una manera de verificar y averiguarlo con seguridad?
Entonces ahora ves el proceso para abordar un problema de Fermi:
- Defina sus términos.
- Anota lo que sabes.
- Haz algunas conjeturas o estimaciones razonables.
- Haz algunos cálculos simples.
Prueba tu mano en algunos de estos:
¿Cuánto dinero gana tu universidad en ingresos de estacionamiento cada año?
¿Cuántos turistas visitan Waikiki en un año?
¿Cuánto combustible se ahorraría en Hawái si una de cada diez personas cambiara a un viaje compartido?
¿Qué tan alto puede un escalador subir una montaña con la energía en una barra de chocolate?
¿Cuánta pizza consumen cada mes los estudiantes de tu universidad?
¿Cuánto costaría brindar guarderías gratuitas a cada cuatro años en Estados Unidos?
¿Cuántos libros hay en la biblioteca principal de tu universidad?
Crea tu propio problema Fermi... ¿qué te interesaría calcular? ¡Entonces trata de resolverlo!