7.6: Cubos Pintados

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 112680

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Puedes construir cuadrados a partir de cuadrados más pequeños:

$1x1sq.png$	$2x2sq-225x221.png$	$3x3q-300x300.png$
1 × 1 cuadrado	2 × 2 cuadrados	3 × 3 cuadrados

De manera similar, puedes construir cubos a partir de cubos más pequeños:

$512px-Face_colored_cube.png$	$Pocket_cube_solved.jpg$	$Rubiks_cube_scrambled.jpg$
1 × 1 × 1 cubo ^[1]	2 × 2 × 2 cubo ^[2]	3 × 3 × 3 cubo ^[3]

Pensar/Parejar/Compartir

Llamamos a un cubo de 1 × 1 × 1 un cubo unitario.

¿Cuántos cubos unitarios hay en un cubo de 2 × 2 × 2?
¿Cuántos cubos unitarios hay en un cubo de 3 × 3 × 3?
¿Cuántos cubos unitarios hay en un cubo n × n × n?

Explique sus respuestas.

Problema 10

Imagina que construyes un cubo de 3 × 3 × 3 a partir de 27 cubos pequeños de unidad blanca. Entonces tomas tu cubo y lo sumerge en un balde de pintura azul brillante. Después de que el cubo se seque, lo desarma, separando los cubos de la unidad pequeña.

Después de desarmar el cubo, algunos de los cubos unitarios siguen siendo todos blancos (sin pintura azul). ¿Cuántos? ¿Cómo sabes que tienes razón?
Después de desarmar el cubo, algunos de los cubos unitarios tienen pintura azul en una sola cara. ¿Cuántos? ¿Cómo sabes que tienes razón?
Después de desarmar el cubo, algunos de los cubos unitarios tienen pintura azul en dos caras. ¿Cuántos? ¿Cómo sabes que tienes razón?
Después de desarmar el cubo, algunos de los cubos unitarios tienen pintura azul en tres caras. ¿Cuántos? ¿Cómo sabes que tienes razón?
Después de desarmar el cubo, ¿alguno de los cubos unitarios tiene pintura azul en más de tres caras? ¿Cuántos? ¿Cómo sabes que tienes razón?

Problema 11

Generaliza tu trabajo sobre el Problema 10. ¿Y si empezaste con un cubo de 2 × 2 × 2? Responde las mismas preguntas. ¿Qué tal un cubo de 4 × 4 × 4? ¿Qué tal un cubo n × n × n? Asegúrate de justificar lo que dices.

Imagen del software Stella de Robert Webb: http://www.software3d.com/Stella.php, vía Wikimedia Commons.
Imagen de Mike Gonzalez (TheCoffee) (Obra de Mike Gonzalez (TheCoffee)) [CC BY-SA 3.0], vía Wikimedia Commons.
Imagen de Mike Gonzalez (TheCoffee) (Obra de Mike Gonzalez (TheCoffee)) [CC BY-SA 3.0], vía Wikimedia Commons.