3.4: Valor Esperado y Ley de Números Grandes
- Page ID
- 109987
¿Comprarías un boleto de lotería con los números 1, 2, 3, 4, 5? ¿Crees que un boleto ganador con cinco números consecutivos es menos probable que un boleto ganador con los números 2, 14, 18, 23 y 32? Si estás jugando a una máquina tragaperras en Las Vegas y has perdido las últimas 10 veces, ¿sigues jugando la misma máquina porque estás “debido a una victoria?” ¿Alguna vez te has preguntado cómo un casino puede permitirse ofrecer comidas y habitaciones a precios tan económicos? ¿Deberías jugar un juego de azar en un carnaval? ¿Cuánto debe cobrar una organización por los boletos de rifa para su próximo recaudador de fondos? Todas estas preguntas pueden ser respondidas usando probabilidades.
Supongamos que la variable aleatoria\(x\) puede tomar los\(n\) valores\(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\). Si la probabilidad de que ocurra cada uno de estos valores es\(p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n}\), respectivamente, entonces el valor esperado de la variable aleatoria es
\[E(x)=x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+x_{3} p_{3}+\ldots+x_{n} p_{n} \label{expectedvalue} \]
Valley View Elementary está tratando de recaudar dinero para comprar tabletas para sus aulas. La PTA vende 2000 boletos de rifa a $3 cada uno. El primer premio es un televisor de pantalla plana por valor de $500. El segundo premio es una tablet Android por valor de 375 dólares. El tercer premio es un lector electrónico valorado en $200. También se otorgarán cinco certificados de regalo de $25. ¿Cuáles son las ganancias esperadas para una persona que compra un boleto?
Solución
Necesitamos escribir la distribución de probabilidad antes de encontrar el valor esperado.
Un total de ocho boletos son ganadores y los otros boletos de 1992 son perdedores.
| Resultado | Gana $500 | Gana $375 | Gana $200 | Gana $25 | Gana $0 |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | \(\dfrac{1}{2000}\) | \(\dfrac{1}{2000}\) | \(\dfrac{1}{2000}\) | \(\dfrac{5}{2000}=\dfrac{1}{400}\) | \(\dfrac{1992}{2000}=\dfrac{249}{250}\) |
Ahora usa la fórmula para el valor esperado (Ecuación\ ref {valor esperado}).
\ [\ begin {aligned}
E &=\ $500\ izquierda (\ dfrac {1} {2000}\ derecha) +\ $375\ izquierda (\ dfrac {1} {2000}\ derecha) +\ $200\ izquierda (\ dfrac {1} {2000}\ derecha) +\ $25\ izquierda (\ dfrac {1} {400}\ derecha) +\ $0\ izquierda (dfrac {1} {400}\ derecha) +\ $0\ izquierda (dfrac\ frac {249} {250}\ derecha)\\
&=0.60
\ fin {alineado}\ nonumber\]
Cuesta $3 comprar un boleto pero solo ganamos un promedio de $0.60 por boleto. Eso significa que las ganancias esperadas por boleto son $0.60 - $3 = -$2.40.
Esperaríamos perder un promedio de $2.40 por cada boleto comprado. Esto significa que la escuela ganará un promedio de $2.40 por cada boleto comprado con un beneficio de $2.40 ∙ 2000 = $4800.
Un inversionista inmobiliario compra una parcela de terreno por $150,000. Estima que la probabilidad de que pueda venderla por 200.000 dólares sea de 0.40, la probabilidad de que pueda venderla por 160.000 dólares sea 0.45 y la probabilidad de que pueda venderla por 125,000 para ser 0.15. ¿Cuál es el beneficio esperado para esta compra?
Solución
Encuentre primero la ganancia para cada situación. $200,000 — $150,000 = $50,000 de ganancia, $160,000 - $150,000 = $10,000 de ganancia, y $125,000 - $150,000 = -$25,000 de ganancia (pérdida).
La distribución de probabilidad es
| Resultado | $50,000 | $10,000 | -$25,000 |
|---|---|---|---|
| Probabilidad | 0.40 | 0.45 | 0.15 |
\ [\ begin {alineado}
E &=50,000 (0.40) +10,000 (0.45) + (-25,000) (0.15)\\
&=\ $20.750
\ end {alineado}\ nonumber\]
El beneficio esperado de la compra es de 20.750 dólares.
El costo de una póliza de seguro de vida de $50,000 es de $150 al año para una persona que tiene 21 años de edad. Asumir que la probabilidad de que una persona muera a los 21 años es 0.001. ¿Cuál es el beneficio esperado de la compañía si vende 10,000 pólizas a jóvenes de 21 años?
Solución
Hay dos resultados. Si la persona vive la compañía aseguradora obtiene un beneficio de $150. La probabilidad de que la persona viva es 1-0.001=0.999. Si la persona muere la compañía toma $150 y paga $50.000 por una pérdida de $49,850.
| Resultado | $150 | -49,850 |
|---|---|---|
| Probabilidad | 0.999 | 0.001 |
El valor esperado para una política es:
\[E(x)=\operatorname{Sis} 0(0.999)+(-\$ 49,850)(0.001)=\$ 149.80 \nonumber \]
Si la compañía vende 10,000 pólizas con una ganancia de $149.80 cada una, la ganancia total esperada es.
Un juego que tiene un valor esperado de cero se llama juego limpio.
Un juego de carnaval consiste en dibujar dos bolas sin reemplazo de una bolsa que contiene cinco bolas rojas y ocho blancas. Si ambas bolas son rojas ganas $6.00. Si ambas bolas son blancas pierdes $1.50. De lo contrario pierdes $1.00. ¿Es esto un juego justo? ¿Qué esperarías que pasara si jugaras el juego muchas veces?
Solución
Primero necesitamos encontrar la distribución de probabilidad. Estas son probabilidades condicionales ya que las bolas se dibujan sin reemplazo.
\[P(\text {both red})=\dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{20}{156}=\dfrac{5}{39} \nonumber \]
\[P(\text {both white})=\dfrac{8}{13} \cdot \dfrac{7}{12}=\dfrac{56}{156}=\dfrac{14}{39} \nonumber \]
\[\begin{align*} P(\text{1 red and 1 white}) &= P(\text{red then white}) \, \text{or}\, (\text{white then red}) \\[4pt] &=P(\text{red then white}) + P(\text{white then red}) \\[4pt] &=\dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{8}{12}+\dfrac{8}{13} \cdot \dfrac{5}{12} \\[4pt] &=\dfrac{80}{156}=\dfrac{20}{39} \end{align*} \nonumber \]
Comprobar que la suma de las probabilidades sea 1.00.
\[\dfrac{5}{39}+\dfrac{14}{39}+\dfrac{20}{39}=\dfrac{39}{39}=1.00 \nonumber \]
Así, la distribución de probabilidad es válida y se muestra a continuación:
| Resultado | Gana $6.00 | Pierde $1.50 | Pierde $1.00 |
|---|---|---|---|
| Probabilidad | \(\dfrac{5}{39}\) | \(\dfrac{14}{39}\) | \(\dfrac{20}{39}\) |
Ahora encuentra el valor esperado (Ecuación\ ref {valor esperado}):
\[E=\dfrac{5}{39}(6.00)+\dfrac{14}{39}(-1.50)+\dfrac{20}{39}(-1.00) \approx-0.28 \nonumber \]
Dado que el valor esperado no es cero esto no es un juego limpio. Sacar dos bolas de la bolsa es un experimento aleatorio así que no podemos predecir qué pasará si jugamos el juego una vez. Podemos predecir qué pasará si jugamos el juego muchas veces. Esperaríamos perder un promedio de $0.28 por cada juego que jugamos. Eso significa que el carnaval hará un promedio de $0.28 por cada juego jugado. En este ejemplo nos referiríamos al carnaval como la “casa”.
¿Alguna vez te has preguntado cómo ganan dinero los casinos cuando anuncian una recuperación del 99% en sus máquinas tragamonedas? Los juegos en un casino no son juegos justos ya que el valor esperado no es cero. El valor esperado del juego para un jugador es un pequeño número negativo como -$0.01. Para un juego en particular el jugador puede ganar o el jugador puede perder. Es un experimento aleatorio y no podemos predecir el resultado. Lo que podemos predecir es qué pasará si el jugador sigue jugando el juego muchas veces. Si el valor esperado es -$0.01, el jugador esperará perder un promedio de $0.01 por cada juego jugado. Si juega 100 juegos, esperará perder 100 (0.01) = $1.00. Cada centavo que el jugador pierde el casino guarda. Si cientos de jugadores juegan cientos de juegos cada uno, todos los días del año todos esos centavos suman millones de dólares. El casino se conoce como la “casa” y los 0.01 dólares que la casa espera ganar por cada juego jugado se llama la “ventaja de la casa”.
La ventaja de la casa es la cantidad que la casa puede esperar ganar por cada apuesta en dólares.
Una rueda de ruleta consta de 38 ranuras numeradas 0, 00 y 1 a 36, espaciadas uniformemente alrededor de una rueda. La rueda se hace girar en una dirección y se hace rodar una bola alrededor de la rueda en la dirección opuesta. Eventualmente la pelota caerá en una de las ranuras numeradas. Un jugador apuesta $1 en un solo número. Si la pelota cae en la ranura para ese número, el jugador gana $35, de lo contrario el jugador pierde el $1. Encuentra la ventaja de la casa para este tipo de apuesta.
Solución
El borde de la casa es el valor esperado por lo que necesitamos encontrar la distribución de probabilidad y luego el valor esperado.
Hay 38 ranuras. Una ranura gana y las otras 37 ranuras pierden así
\[P(\text{win}) = \dfrac{1}{38}\) and \(P(\text{lose}) = \dfrac{37}{38}. \nonumber \]
La distribución de probabilidad es
| Resultado | Gana $35 | Pierde $1 |
|---|---|---|
| Probabilidad | \(\dfrac{1}{38}\) | \(\frac{37}{38}\) |
El valor esperado es:
\[E = $35(\dfrac{1}{38}) + (-1)(\dfrac{37}{38}) \approx -$0.0526 \nonumber \]
El valor esperado del juego es de -0.0526 dólares. Esto significa que el jugador esperaría perder un promedio de 5.26 centavos por cada juego jugado. La casa ganaría un promedio de 5.26 centavos por cada partido jugado.
El borde de la casa es de 5.26 centavos.
Falacia y rayas de los jugadores
Muchas veces un jugador en una racha perdedora seguirá apostando en la creencia de que su suerte pronto debe cambiar. Considera voltear una moneda justa. Cada lanzamiento de la moneda es independiente de todos los demás tirados. Supongamos que la moneda ha aterrizado de cabeza las últimas ocho veces. Algunas personas creen erróneamente que es más probable que la moneda aterrice colas en el siguiente lanzamiento. En realidad, la moneda todavía tiene un 50% de posibilidades de aterrizar colas. No importa lo que pasó los últimos ocho tiradas.
La falacia del jugador es la creencia equivocada de que una racha de mala suerte hace que una persona se deba a una racha de buena suerte.
Lanza siete veces una moneda justa y registra qué lado aterriza. Por ejemplo, HHTHTTT representaría obtener una cabeza en el primer, segundo y cuarto lanzamiento y una cola en los otros tirados. ¿Es una racha de todas las cabezas menos probable que los otros posibles resultados?
Solución
Como veremos en la Sección 3.5, hay 128 formas posibles de lanzar una moneda siete veces. Algunas de las posibilidades son\(HHTTHHT\),\(HTHTHTH\),\(HHHHTTT\), y\(HTTHTTH\). Debido a que lanzar monedas son eventos independientes y la moneda es justa cada una de estas 128 posibilidades tiene la misma probabilidad.
\[P(\mathrm{HHTTHHT})=\dfrac{1}{128} \nonumber \]
\[P(\mathrm{HTHTHTH})=\dfrac{1}{128} \nonumber \]
etc.
Esto también significa que la probabilidad de conseguir todas las cabezas es
\[P(\mathrm{HHHHHHH})=\dfrac{1}{128}. \nonumber \]
Conseguir una racha de todas las cabezas tiene exactamente la misma probabilidad que cualquier otro resultado posible.
Ley de Grandes Números
Al estudiar probabilidades, muchas veces se aplicará la ley de grandes números. Si quieres observar cuál es la probabilidad de que se levanten las colas al voltear una moneda, podrías hacer un experimento. Supongamos que volteas una moneda 20 veces y la moneda sube colas nueve veces. Entonces, usando una probabilidad empírica, la probabilidad de obtener colas es 9/20 = 45%. Sin embargo, sabemos que la probabilidad teórica de obtener colas debe ser de 1/2 = 50%. ¿Por qué es esto diferente? Es porque hay un error inherente a los métodos de muestreo. Sin embargo, si volteas la moneda 100 veces o 1000 veces, y usas la información para calcular una probabilidad empírica de subir las colas, entonces las probabilidades que observarás se acercarán a la probabilidad teórica del 50%. Esta es la ley de los grandes números.
La ley de grandes números significa que con un mayor número de ensayos de un experimento la probabilidad empírica observada de un evento se acercará a la probabilidad teórica calculada del mismo evento.