4.3: Casos especiales: duplicar el tiempo y la vida media
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Digamos que el 1 de abril digo que te voy a dar un centavo, el 2 de abril dos centavos, cuatro centavos el 3 de abril, y que duplicaré la cantidad cada día hasta fin de mes. ¿Cuánto dinero habría accedido a darte el 30 de abril? Con\(P_{0} = $0.01\), obtenemos la siguiente tabla:
| Día | Monto en dólares |
|---|---|
| Abril 1 =\(P_{0}\) | 0.01 |
| Abril 2 =\(P_{1}\) | 0.02 |
| Abril 3 =\(P_{2}\) | 0.04 |
| Abril 4 =\(P_{3}\) | 0.08 |
| Abril 5 =\(P_{4}\) | 0.16 |
| Abril 6 =\(P_{5}\) | 0.32 |
| ... | ... |
| Abril 30 =\(P_{29}\) | ? |
En este ejemplo, el dinero que se recibe cada día es 100% más que el día anterior. Si usamos el modelo de crecimiento exponencial\(P(t) = P_{0}(1+r)^{t}\) con r = 1, obtenemos el modelo de tiempo de duplicación.
\[P(t) = P_{0}(1+1)^{t} = P_{0}(2)^{t} \nonumber \]
Lo usamos para encontrar la cantidad en dólares cuando\(t = 29\) representa el 30 de abril
\[P(29) = 0.01(2)^{29} = $5,368,709.12 \nonumber \]
¿Sorprendido? Eso son muchos centavos.
Modelo de tiempo de duplicación
Un tanque de agua arriba en los Picos de San Francisco está contaminado con una colonia de 80 mil bacterias E. coli. La población se duplica cada cinco días. Queremos encontrar un modelo para la población de bacterias presentes después de\(t\) días. El tiempo que tarda la población en duplicarse es de cinco días, por lo que esta es nuestra unidad de tiempo. Después de que hayan pasado los\(t\) días, entonces\(t/5\) es el número de unidades de tiempo que han pasado. Comenzando con la cantidad inicial de 80.000 bacterias, nuestro modelo de duplicación se convierte en:
\[P(t) = 80,000(2)^{\frac{t}{5}} \nonumber \]
Usando este modelo, ¿qué tan grande es la colonia en dos semanas? Tenemos que tener cuidado de que las unidades en los tiempos sean las mismas; 2 semanas = 14 días.
Solución
\[P(14) = 80,000(2)^{\frac{14}{5}} = 557,152 \nonumber \]
La colonia es ahora 557,152 bacterias.
Si\(D\) es el tiempo de duplicación de una cantidad (la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en duplicar) y\(P_{0}\) es la cantidad inicial de la cantidad, entonces la cantidad de la cantidad presente después de\(t\) unidades de tiempo es\(P(t) = P_{0}(2)^{\frac{t}{D}}\)
El tiempo de duplicación de una población de moscas es de ocho días. Si inicialmente hay 100 moscas, ¿cuántas moscas habrá en 17 días?
Solución
Para resolver este problema, utilice el modelo de tiempo de duplicación con\(D=8\) y\(P_{0} = 100\) así el modelo de tiempo de duplicación para este problema es:
\[P(t) = 100(2)^{t/8} \nonumber \]
Cuando\(t = 17\, days\),
\[P(17) = 100(2)^{\frac{17}{8}} = 436 \nonumber \]
Hay 436 moscas después de 17 días.
Nota: La población de moscas sigue un modelo de crecimiento exponencial.
A veces queremos resolver el tiempo que tarda una determinada población en crecer dado su tiempo de duplicación. Para resolver para el exponente, utilizamos el botón de registro en la calculadora.
Supongamos que una población de bacterias se duplica cada seis horas. Si la población inicial es de 4000 individuos, ¿cuántas horas tardaría la población en aumentar a 25 mil?
Solución
\(P_{0} = 4000\)y\(D = 6\), entonces el modelo de tiempo de duplicación para este problema es:
\[P(t) = 4000(2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
Ahora, encuentra t cuando\(P(t) = 25,000\)
\[25,000 = 4000(2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
\[\dfrac{25,000}{4000} = \dfrac{\cancel{4000}(2)^{\frac{t}{6}}}{\cancel{4000}}\nonumber \]
\[6.25 = (2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
Ahora, toma el log de ambos lados de la ecuación.
\[\text{log}6.25 = \text{log}(2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
El exponente baja usando reglas de logaritmos.
\[\text{log}6.25 = (\dfrac{t}{6}) \text{log}(2) \nonumber \]
Ahora, calcula log6.25 y log2 con tu calculadora.
\[\begin{align*} 0.7959 &= (\dfrac{t}{6}) \cdot 0.3010 \\ \dfrac{0.7959}{0.3010} &= \dfrac{t}{6} \\ 2.644 &= \dfrac{t}{6} \\ t &= 15.9 \end{align*} \nonumber \]
La población aumentaría a 25 mil bacterias en aproximadamente 15.9 horas.
Regla de 70
Existe una fórmula simple para aproximar el tiempo de duplicación de una población. Se llama la regla del 70 y es una aproximación para tasas de crecimiento inferiores al 15%. No utilice esta fórmula si la tasa de crecimiento es del 15% o mayor.
Para una cantidad que crece a una tasa de porcentaje constante (no escrita como decimal)\(R\), por periodo de tiempo, el tiempo de duplicación viene dado aproximadamente por
\[D \approx \dfrac{70}{R} \nonumber \]
Una población de aves en una determinada isla tiene una tasa de crecimiento anual de 2.5% anual. Aproximar el número de años que tardará la población en duplicarse. Si la población inicial es de 20 aves, utilícela para encontrar la población de aves de la isla en 17 años.
Solución
Para resolver este problema, primero aproximar la población duplicando el tiempo.
Duplicando\(D \approx \dfrac{70}{2.5} = 28\) años de tiempo.
Con la población de aves duplicándose en 28 años, utilizamos el modelo de tiempo de duplicación para encontrar que la población es de 17 años.
\[P(t) = 20(2)^{\frac{t}{28}} \nonumber \]
Cuando\(t = 17\) años
\[P(16) = 20(2)^{\frac{17}{28}} = 30.46 \nonumber \]
Habrá 30 aves en la isla en 17 años.
Un cierto tumor canceroso duplica su tamaño cada seis meses. Si el tamaño inicial del tumor es de cuatro células, ¿cuántas células habrá en tres años? ¿En siete años?
Solución
Para calcular el número de células en el tumor, utilizamos el modelo de tiempo de duplicación. Cambiar las unidades de tiempo para que sean las mismas. El tiempo de duplicación es de seis meses = 0.5 años.
\[P(t) = 4(2)^{\frac{t}{0.5}} \nonumber \]
Cuando\(t = 3\) años
\[P(3) = 4(2)^{\frac{3}{0.5}} = 256 \text{cells} \nonumber \]
Cuando\(t = 7\) años
\[P(7) = 4(2)^{\frac{7}{0.5}} = 65,536 \text{cells} \nonumber \]
Supongamos que la población de cierta ciudad se duplica cada 12 años. ¿Cuál es la tasa aproximada de crecimiento anual de la ciudad?
Solución
Al resolver el modelo de tiempo de duplicación para la tasa de crecimiento, podemos resolver este problema.
\[\begin{align*} D &\approx \dfrac{70}{R} \\ R \cdot D &\approx \dfrac{70}{\cancel{R}} \cdot \cancel{R} \\ RD &\approx 70 \\ \dfrac{R\cancel{D}}{D} &\approx \dfrac{70}{D} \\ \text{Annual growth rate R} &\approx \dfrac{70}{D} \\ R &= \dfrac{70}{12} = 5.83 \% \end{align*} \nonumber \]
La tasa de crecimiento anual de la ciudad es de aproximadamente 5.83%
Decaimiento exponencial y modelo de vida media
La vida media de un material es el tiempo que tarda una cantidad de material en cortarse por la mitad. Este término se usa comúnmente cuando se describen metales radiactivos como el uranio o el plutonio. Por ejemplo, la vida media del carbono-14 es de 5730 años.
Si una sustancia tiene una vida media, esto significa que la mitad de la sustancia desaparecerá en una unidad de tiempo. Es decir, la cantidad disminuye en un 50% por unidad de tiempo. Utilizando el modelo de crecimiento exponencial con una disminución del 50%, tenemos
\[P(t) = P_{0}(1-0.5)^{t} = P_{0}(\dfrac{1}{2})^{t} \nonumber \]
Digamos que una sustancia tiene una vida media de ocho días. Si ahora hay 40 gramos presentes, ¿cuánto queda después de tres días?
Solución
Queremos encontrar un modelo para la cantidad de la sustancia que queda después de t días. El tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad es de ocho días, por lo que esta es nuestra unidad de tiempo. Después de que hayan pasado t días, entonces t8 es el número de unidades de tiempo que han pasado. Comenzando con la cantidad inicial de 40, nuestro modelo de vida media se convierte en:
\[P(t) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{8}} \nonumber \]
Con\(t=3\)
\[P(3) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{3}{8}} = 30.8 \nonumber \]
Quedan 30.8 gramos de la sustancia después de tres días.
Si\(H\) es la vida media de una cantidad (la cantidad de tiempo que tarda la cantidad se corta a la mitad) y\(P_{0}\) es la cantidad inicial de la cantidad entonces la cantidad de la cantidad presente después de t unidades de tiempo es
\[P(t) = P_{0}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{H}} \nonumber \]
El plomo-209 es un isótopo radiactivo. Tiene una vida media de 3.3 horas. Supongamos que en un experimento se crean 40 miligramos de este isótopo, ¿cuánto queda después de 14 horas?
Solución
Utilice el modelo de vida media para resolver este problema.
\(P_{0} = 40\)y\(H = 3.3\), entonces el modelo de vida media para este problema es:
\[P(t) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{3.3}} \nonumber \]
Con\(t=14\) horario,
\[P(14) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{14}{3.3}} = 2.1 \nonumber \]
Quedan 2.1 miligramos de Plomo-209 después de 14 horas.
Nota: Los miligramos de Plomo-209 restantes siguen un modelo de crecimiento exponencial decreciente.
Nobelio-259 tiene una vida media de 58 minutos. Si tienes 1000 gramos, ¿cuánto te quedará en dos horas?
Solución
Resolvemos este problema utilizando el modelo de vida media. Antes de comenzar, es importante anotar las unidades de tiempo. La vida media se da en minutos y queremos saber cuánto queda en dos horas. Convertir horas a minutos al usar el modelo: dos horas = 120 minutos.
\(P_{0} = 1000\)y\(H = 58\) minutos, por lo que el modelo de vida media para este problema es:
\[P(t) = 1000(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{58}} \nonumber \]
Con\(t=120\) minutas,
\[P(120) = 1000(\dfrac{1}{2})^{\frac{120}{58}} = 238.33 \nonumber \]
Quedan 238 gramos de Nobelio-259 después de dos horas.
El carbono radiactivo-14 se utiliza para determinar la edad de los artefactos porque se concentra en organismos solo cuando están vivos. Tiene una vida media de 5730 años. En 1947 se encontraron frascos de loza que contenían lo que se conoce como los Rollos del Mar Muerto. El análisis indicó que los envoltorios de pergamino contenían 76% de su carbono-14 original. Estimar la edad de los Rollos del Mar Muerto.
Solución
En este problema, queremos estimar la edad de los pergaminos. En 1947, el 76% del carbono-14 se mantuvo. Esto significa que la cantidad restante en el tiempo t dividida por la cantidad original de carbono-14,\(P_{0}\), es igual a 76%. Entonces,\(\dfrac{P(t)}{P_{0}} = 0.76\) usamos este hecho para resolver por t.
\[\begin{align*} P(t) &= P_{0}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \\ \dfrac{P(t)}{P_{0}} &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \\ 0.76 &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \end{align*} \nonumber \]
Ahora, toma el log de ambos lados de la ecuación.
\[\text{log} 0.76 = \text{log}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \nonumber \]
El exponente baja usando reglas de logaritmos.
\[\text{log} 0.76 = (\frac{t}{5730}) \text{log}\dfrac{1}{2}\nonumber \]
Ahora, calcula log0.76 y registra\(\dfrac{1}{2}\) con tu calculadora.
\[\begin{align*} -0.1192 &= (\frac{t}{5730}) \cdot (-0.3010) \\ \dfrac{-0.1192}{-0.3010} &= \dfrac{t}{5730} \\ 0.3960 &= \dfrac{t}{5730} \\ t &= 2269.08 \end{align*} \nonumber \]
Los Rollos del Mar Muerto tienen más de 2000 años de antigüedad.
El plutonio tiene una vida media de 24,000 años. Supongamos que 50 libras de ella fueron arrojadas en un sitio de desechos nucleares. ¿Cuánto tiempo tardaría en descomponerse en 10 lbs?
Solución
\(P_{0} = 50\)y\(H = 24,000\) minutos, por lo que el modelo de vida media para este problema es:
\[P(t) = 50(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \nonumber \]
Ahora, encuentra\(t\) cuándo\(P_{t} = 10\).
\[\begin{align*} 10 &= 50(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \\ \dfrac{10}{50} &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \\ 0.2 &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \end{align*} \nonumber \]
Ahora, toma el log de ambos lados de la ecuación.
\[\text{log} 0.2 = \text{log}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \nonumber \]
El exponente baja usando reglas de logaritmos.
\[\text{log} 0.2 = (\frac{t}{24,000}) \text{log}\dfrac{1}{2}\nonumber \]
Ahora, calcula log0.2 y registra\(\dfrac{1}{2}\) con tu calculadora.
\[\begin{align*} -0.6990 &= (\frac{t}{24,000}) \cdot (-0.3010) \\ \dfrac{-0.6990}{-0.3010} &= \dfrac{t}{24,000} \\ 2.322 &= \dfrac{t}{24,000} \\ t &= 55,728 \end{align*} \nonumber \]
La cantidad de plutonio disminuiría a 10 libras en aproximadamente 55,728 años.
Existe una fórmula simple para aproximar la vida media de una población. Se llama la regla del 70 y es una aproximación para tasas de decaimiento menores al 15%. No utilice esta fórmula si la tasa de decaimiento es del 15% o mayor.
Para una cantidad decreciente a un porcentaje constante (no escrito como decimal), R, por periodo de tiempo, la vida media viene dada aproximadamente por:
\[\text{Half-life } H \approx \dfrac{70}{R} \nonumber \]
La población de elefantes salvajes está disminuyendo 7% anual. Aproximar la semivida de esta población. Si actualmente quedan 8000 elefantes en la naturaleza, ¿cuántos quedarán en 25 años?
Solución
Para resolver este problema, utilice la fórmula de aproximación de semivida.
\[\text{Half-Life } H \approx \dfrac{70}{7} = 10 \text{ years} \nonumber \]
\(P_{0} = 7000\)y\(H = 10\) años, por lo que el modelo de vida media para este problema es:
\[P(t) = 7000(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{10}} \nonumber \]
Cuando\(t=25\),
\[P(25) = 7000(\dfrac{1}{2})^{\frac{25}{10}} = 1237.4 \nonumber \]
Quedarán aproximadamente 1237 elefantes salvajes en 25 años.
Nota: La población de elefantes sigue un modelo de crecimiento exponencial decreciente.
| Reglas de Exponentes | Reglas de logaritmo para el logaritmo común (Base 10) |
|---|---|
|
Definición de un exponente \(a^{n} = a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot ..... \cdot a\) (n a multiplicados juntos) |
Definición de un logaritmo \(10^{y} = x \text{ if and only if } \text{log}x = y\) |
| Regla Cero\(a^{0} = 1\) | |
| Regla del producto\(a^{m} \cdot a^{n}= a^{m+n}\) | Regla del producto\(\text{log}(xy) =\text{log }(x) + \text{log }(y)\) |
| Regla del cociente\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}= a^{m-n}\) | Regla del cociente\(\text{log}(\dfrac{x}{y}) =\text{log }(x) - \text{log }(y)\) |
| Regla de Poder\((a^{n})^{m}= a^{n\cdot m}\) | Regla de Poder\(\text{log }x^{r} =r \text{log }(x) (x > 0)\) |
| Reglas distributivas\((ab)^{n}= a^{n} \cdot a^{n}, (\dfrac{a}{b})^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}} \) | \(\text{log}10^{x} =x \text{log}(10) = x\) |
| Reglas de exponente negativo\( a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}, (\dfrac{a}{b})^{-n} = (\dfrac{b}{a})^{n} \) | \(10^{\text{log}x} = x (x > 0)\) |