4.4: Crecimiento Natural y Crecimiento Logístico
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El Modelo de Crecimiento Natural es
\[P(t)=P_{0} e^{k t} \nonumber \]
donde\(P_{0}\) está la población inicial,\(k\) es la tasa de crecimiento por unidad de tiempo, y\(t\) es el número de periodos de tiempo.
Dado\(P_{0} > 0\), si k > 0, este es un modelo de crecimiento exponencial, si k < 0, este es un modelo de decaimiento exponencial.
a. Función de crecimiento natural\(P(t) = e^{t}\)
b. Función de decaimiento natural\(P(t) = e^{-t}\)
Cuando se administra un determinado medicamento a un paciente, el modelo le da el número de miligramos que quedan en el torrente sanguíneo después de t horas
\[P(t) = 40e^{-.25t} \nonumber \]
¿Cuántos miligramos hay en la sangre después de dos horas?
Solución
Para resolver este problema, usamos la ecuación dada con t = 2
\[\begin{align*} P(2) &= 40e^{-.25(2)} \\ P(2) &= 24.26 \end{align*} \nonumber \]
Hay aproximadamente 24.6 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente después de dos horas.
En el siguiente ejemplo, podemos ver que el modelo de crecimiento exponencial no refleja una imagen precisa del crecimiento poblacional para poblaciones naturales.
Bob tiene un problema de hormigas. El primer día de mayo, Bob descubre que tiene un pequeño cerro de hormigas rojas en su patio trasero, con una población de unas 100 hormigas. Si las condiciones son las adecuadas, las colonias de hormigas rojas tienen una tasa de crecimiento de 240% anual durante los primeros cuatro años. Si Bob no hace nada, ¿cuántas hormigas tendrá el próximo mes de mayo? ¿Cuántos en cinco años?
Solución
Resolvemos este problema utilizando el modelo de crecimiento natural.
\[P(t) = 100e^{2.4t} \nonumber \]
En un año, t = 1, tenemos
\[P(1) = 100e^{2.4(1)} = 1102 \text{ ants} \nonumber \]
En un año, t = 5, tenemos
\[P(5) = 100e^{2.4(5)} = 16,275,479 \text{ ants} \nonumber \]
¡Eso es un montón de hormigas! ¡Bob no dejará que esto suceda en su patio trasero!
Nota: La población de hormigas en el patio trasero de Bob sigue un modelo de crecimiento exponencial (o natural).
El problema con el crecimiento exponencial es que la población crece sin ataduras y, en algún momento, el modelo ya no predecirá lo que realmente está sucediendo ya que la cantidad de recursos disponibles es limitada. Las poblaciones no pueden seguir creciendo a nivel puramente físico, eventualmente se produce la muerte y se alcanza una población limitante.
Otro modelo de crecimiento para organismos vivos en el modelo de crecimiento logístico. El modelo de crecimiento logístico tiene una población máxima llamada capacidad de carga. A medida que la población crece, el número de individuos en la población crece a la capacidad de carga y se queda ahí. Esta es la población máxima que el medio ambiente puede sostener.
\[P(t) = \dfrac{M}{1+ke^{-ct}} \nonumber \]
donde M, c y k son constantes positivas y t es el número de periodos de tiempo.
Figura\(\PageIndex{1}\): Comparación de Crecimiento Exponencial y Crecimiento Logístico
La línea horizontal K en esta gráfica ilustra la capacidad de carga. Sin embargo, este libro utiliza M para representar la capacidad de carga en lugar de K.
(Crecimiento Logístico Imagen 1, n.d.)
(Crecimiento Logístico Imagen 2, n.d.)
La gráfica de crecimiento logístico inicia con una población pequeña. Cuando la población es pequeña, el crecimiento es rápido porque hay más espacio para los codos en el ambiente. A medida que la población se acerca a la capacidad de carga, el crecimiento disminuye.
La población de una especie de ave en peligro de extinción en una isla crece según el modelo de crecimiento logístico.
\[P(t) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04t}} \nonumber \]
Identificar la población inicial. ¿Cuál será la población de aves en cinco años? ¿Cuál será la población en 150 años? ¿Cuál será la población en 500 años?
Solución
Sabemos que la población inicial,\(P_{0}\), ocurre cuando\(t = 0\).
\[P_{0} = P(0) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(0)}} = 140 \nonumber \]
Calcular la población en cinco años, cuando\(t = 5\).
\[P(5) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(5)}} = 169.6 \nonumber \]
La isla albergará aproximadamente 170 aves en cinco años
Calcular la población en 150 años, cuando\(t = 150\).
\[P(150) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(150)}} = 3427.6 \nonumber \]
La isla será el hogar de aproximadamente 3428 aves en 150 años.
Calcular la población en 500 años, cuando\(t = 500\).
\[P(500) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(500)}} = 3640.0 \nonumber \]
La isla será el hogar de aproximadamente 3640 aves en 500 años.
Este ejemplo muestra que la población crece rápidamente entre cinco años y 150 años, con un incremento general de más de 3000 aves; pero, se ralentiza drásticamente entre 150 años y 500 años (un lapso de tiempo más largo) con un incremento de poco más de 200 aves.
La población estudiantil en NAU puede ser modelada por el modelo de crecimiento logístico a continuación, con población inicial tomada a principios de la década de 1960 y utilizaremos 1960 como fecha de población inicial.
\[P(t) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06t}} \nonumber \]
Determinar la población inicial y encontrar la población de NAU en 2014. ¿Cuál será la población de NAU en 2050? A partir de este modelo, ¿cuál opina que es la capacidad de carga de NAU?
Solución
Resolvemos este problema sustituyendo en diferentes valores de tiempo.
Cuando\(t = 0\), obtenemos la población inicial\(P_{0}\).
\[P_{0} = P(0) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(0)}} = \dfrac{30,000}{6} = 5000 \nonumber \]
La población inicial de NAU en 1960 era de 5000 estudiantes.
En el año 2014, han transcurrido 54 años así,\(t = 54\).
\[P(54) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(54)}} = \dfrac{30,000}{1+5e^{-3.24}} = \dfrac{30,000}{1.19582} = 25,087 \nonumber \]
En 2014 hay 25.087 alumnos de la NAU.
En 2050, han transcurrido 90 años así,\(t = 90\).
\[P(90) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(90)}} = \dfrac{30,000}{1+5e^{-5.4}} = 29,337 \nonumber \]
En 2050 hay 29,337 alumnos de la NAU.
Por último, para predecir la capacidad de carga, mirar a la población 200 años a partir de 1960, cuando\(t = 200\).
\[P(200) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(200)}} = \dfrac{30,000}{1+5e^{-12}} = \dfrac{30,000}{1.00003} = 29,999 \nonumber \]
Así, la capacidad de carga de NAU es de 30 mil estudiantes.
Parece que el numerador del modelo de crecimiento logístico, M, es la capacidad de carga.
Dado el modelo de crecimiento logístico\(P(t) = \dfrac{M}{1+ke^{-ct}}\), la capacidad de carga de la población es\(M\). \(M\), la capacidad de carga, es la población máxima posible dentro de un determinado hábitat.
Supongamos que en cierto criadero de peces, la población de peces es modelada por el modelo de crecimiento logístico donde\(t\) se mide en años.
\[P(t) = \dfrac{12,000}{1+11e^{-0.2t}} \nonumber \]
¿Cuál es la capacidad de carga del criadero de peces? ¿Cuánto tiempo tardará la población en llegar a los 6000 peces?
Solución
La capacidad de carga del criadero de peces es el\(M = 12,000\) pescado.
Ahora, necesitamos encontrar el número de años que tarda el criadero en llegar a una población de 6000 peces. Debemos resolver para\(t\) cuando\(P(t) = 6000\).
\[6000 =\dfrac{12,000}{1+11e^{-0.2t}} \nonumber \]
\[\begin{align*} (1+11e^{-0.2t}) \cdot 6000 &= \dfrac{12,000}{1+11e^{-0.2t}} \cdot (1+11e^{-0.2t}) \\ (1+11e^{-0.2t}) \cdot 6000 &= 12,000 \\ \dfrac{(1+11e^{-0.2t}) \cdot \cancel{6000}}{\cancel{6000}} &= \dfrac{12,000}{6000} \\ 1+11e^{-0.2t} &= 2 \\ 11e^{-0.2t} &= 1 \\ e^{-0.2t} &= \dfrac{1}{11} = 0.090909 \end{align*} \nonumber \]
Toma el logaritmo natural (ln en la calculadora) de ambos lados de la ecuación.
\[\begin{align*} \text{ln} e^{-0.2t} &= \text{ln} 0.090909 \\ \text{ln}e^{-0.2t} &= -0.2t \text{ by the rules of logarithms.} \\ -0.2t &= \text{ln}0.090909 \\ t &= \dfrac{\text{ln}0.090909}{-0.2} \\ t&= 11.999\end{align*} \nonumber \]
El criadero tardará aproximadamente 12 años en alcanzar los 6000 peces.