10.3: Transformaciones que cambian de tamaño y figuras similares

Esta sección cubre transformaciones que o bien agrandan o encogen un objeto a partir de un punto, P. El punto P se llama el centro de la transformación de tamaño. El multiplicador utilizado para agrandar o reducir el objeto se denomina factor de escala, k. Los cálculos utilizados para realizar la transformación dependen de las distancias desde el punto P hasta los vértices del objeto. Estas distancias se multiplican por k. Entonces, para agrandar o encoger un objeto, encuentra la distancia desde el punto P hasta un vértice A del objeto. Multiplique esta distancia por k para obtener k PA, donde PA representa la distancia de P a A. Luego, mida esta nueva distancia, k PA, desde el punto P en la dirección del vértice A. Esta distancia da la nueva ubicación del vértice A después de que el objeto haya sido transformado por tamaño. Repita para todos los vértices del objeto.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Agrandar un Triángulo por un Factor de Dos

Figura\(\PageIndex{1}\): Triángulo que se transformará en tamaño por un factor de dos

	B
	P				A

Paso 1: Mida las distancias desde el punto P hasta cada vértice del triángulo. Un vértice del triángulo está en el punto P, por lo que ese vértice permanecerá en el punto P.

La distancia desde el punto P hasta el vértice A es de tres unidades.

La distancia desde el punto P hasta el vértice B también es de tres unidades.

Paso 2: Multiplica estas distancias por el factor de escala dos.

2PA = 2 (3) = 6

2PB = 2 (3) = 6

Paso 3: Mida seis unidades desde el punto P en dirección al vértice A y mida seis unidades desde el punto P en dirección al vértice B. Las nuevas ubicaciones de A y B son cada una seis unidades de P en sus direcciones correspondientes como se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{2}\): Triángulo agrandado por un factor de dos

	B'
	B
	P				A			A'

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Agrandar un Diamante por un Factor de Dos

Figura\(\PageIndex{3}\): Diamante que se transformará en tamaño por un factor de dos

					B
		A					D
					C
	P

Paso 1: Mida las distancias desde el punto P hasta cada vértice del diamante.

La distancia del punto P al vértice A es PA

Asimismo, las distancias desde el punto P a los otros tres vértices son PB, PC y PD, respectivamente.

Paso 2: Multiplica estas distancias por el factor de escala dos.

Las distancias de los nuevos puntos desde P son: 2PA, 2PB, 2PC y 2PD.

Paso 3: Mida estas distancias desde el punto P en la dirección de cada vértice A, B, C y D como se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{4}\): Diamante ampliado por un factor de dos

							B'
				A'						D'
				B
		A				D
							C'
				C
	P

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Reducir un Trapezoide por un Factor de

Figura\(\PageIndex{5}\): Trapezoide que se transformará en tamaño por un factor de

		B						C
						P
	A									D

Paso 1: Mida las distancias desde el punto P hasta cada vértice del trapecio.

Las distancias desde el punto P hasta los vértices son PA, PB, PC y PD, respectivamente.

Paso 2: Multiplica estas distancias por el factor de escala.

Las distancias de los nuevos puntos desde P son: PA, PB, PC y PD.

Paso 3: Mida estas distancias desde el punto P en la dirección de cada vértice A, B, C y D como se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{6}\): Trapezoide encogido por un factor de

		B						C
				B'
								C'
						P
			A'				D'
	A									D

Las formas que han sido transformadas por una ampliación o contracción son figuras similares a la forma original.

Similaridad usando transformaciones

Dos figuras son similares si y sólo si existe una combinación de una isometría (movimiento rígido) y una transformación de tamaño que genera una figura como imagen de la otra.

Figuras similares son figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Las longitudes laterales y los ángulos interiores de figuras similares son proporcionales entre sí.

Figura\(\PageIndex{7}\): Figuras similares

Los dos rectángulos de abajo son similares si los lados son proporcionales entre sí. En otras palabras, son similares si.

a c

b d
Los dos rectángulos están relacionados por el factor de escala k. Por lo tanto, los lados de los rectángulos están relacionados entre sí por:.

Let = perímetro del rectángulo más pequeño y = perímetro del rectángulo más grande.

, pero recuerda eso, entonces

, ahora factor hacia fuera el para obtener

, y también, por lo

Si representa el perímetro del rectángulo más pequeño y representa el perímetro del rectángulo más grande, entonces los dos perímetros están relacionados por.

Let = área del rectángulo más pequeño y = el área del rectángulo más grande.

, pero recuerda eso, entonces

, reorganizar para obtener

, y también, por lo

Si representa el área del rectángulo más pequeño y representa el área del rectángulo más grande, entonces las dos áreas están relacionadas por.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Áreas y perímetros de triángulos similares

Figura\(\PageIndex{8}\): Los Triángulos en esta Figura son Triángulos Similares

4 16

a. Determinar el perímetro del triángulo más grande si el perímetro del triángulo más pequeño es de 12 mm.

b. Determinar el área del triángulo más grande si el área del triángulo más pequeño es 6.9 mm2

Primero, encontrar el factor de escala utilizando el hecho de que triángulos similares tienen lados que son proporcionales entre sí:.

1. 

2. 

Gnomones

Un gnomon es una forma que, cuando se agrega a una forma, produce otra forma que es similar a la forma original. Como alternativa, un gnomón es también la forma que, cuando se resta de una forma, produce otra forma que es similar a la forma original.

Figura\(\PageIndex{9}\): ¿Qué es un Gnomon?

El rectángulo azul que se muestra a continuación es la forma original. Cuando la forma de L roja se une al rectángulo azul, se forma un nuevo rectángulo, llamado forma. Si la forma de L roja es un gnomon para dar forma, entonces el rectángulo azul (forma) es similar al rectángulo azul y rojo (forma). Además, dado que los rectángulos son similares, las longitudes laterales son proporcionales:

b b + y

a a + x

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Gnomon Rectangular

Encuentra el valor de x para que el rectángulo rojo más grande de la derecha sea un gnomon al rectángulo azul más pequeño de la izquierda.

Figura\(\PageIndex{10}\): Gnomon Rectangular

3 x

9



Para calcular esto, configura una proporción para que los lados del pequeño rectángulo azul de la izquierda sean proporcionales a los lados de los rectángulos azul y rojo (izquierdo y derecho) combinados. Para establecer la proporción, haga relaciones del ancho sobre el largo del pequeño rectángulo azul a la izquierda y el ancho sobre el largo de los rectángulos combinados.

Si, entonces el rectángulo rojo más grande es un gnomon al rectángulo azul más pequeño.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Gnomon Triangular

Encuentra los valores de x e y para que el triángulo rojo más grande de la izquierda sea un gnomon al triángulo azul más pequeño de la derecha.

Figura\(\PageIndex{11}\): Gnomon Triangular

x 15

y 9

Para calcular esto, configura proporciones, una con x y otra con y, de manera que los lados del triángulo azul más pequeño de la derecha sean proporcionales a los lados de los triángulos azul y rojo combinados. Para establecer la proporción para x, haga proporciones de la pierna más larga sobre la pata más corta del triángulo azul más pequeño a la derecha y la pierna más larga sobre la pierna más corta de los triángulos combinados.

Ahora para establecer la proporción para y, hacer relaciones de la pierna más corta sobre la hipotenusa del triángulo azul más pequeño a la derecha y la pierna más corta sobre la hipotenusa de los triángulos combinados.

Si y, entonces el triángulo rojo más grande a la izquierda es un gnomon al triángulo azul más pequeño de la derecha.