10.4: Los números de Fibonacci y la proporción áurea
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Una secuencia famosa e importante es la secuencia de Fibonacci, que lleva el nombre del matemático italiano conocido como Leonardo Pisano, cuyo apodo era Fibonacci, y que vivió de 1170 a 1230. Esta secuencia es:
\[\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ldots \ldots \ldots\} \nonumber \]
| Esta secuencia se define recursivamente. Esto significa que cada término está definido por los términos anteriores. |
y así sucesivamente.
La secuencia de Fibonacci se define por , para todos , cuándo y . |
Es decir, para obtener el siguiente término en la secuencia, sumar los dos términos anteriores.
\[\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,55+34=89,89+55=144, \cdots\} \nonumber \]
La notación que usaremos para representar la secuencia de Fibonacci es la siguiente:
\[f_{1}=1, f_{2}=1, f_{3}=2, f_{4}=3, f_{5}=5, f_{6}=8, f_{7}=13, f_{8}=21, f_{9}=34, f_{10}=55, f_{11}=89, f_{12}=144, \ldots \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Encontrar números de Fibonacci recursivamente
Encuentre los números 13, 14 y 15 de Fibonacci usando la definición recursiva anterior para la secuencia de Fibonacci.
Primero, fíjese que ya hay 12 números de Fibonacci enumerados anteriormente, así que para encontrar los siguientes tres números de Fibonacci, simplemente agregamos los dos términos anteriores para obtener el siguiente término como lo indica la definición.
Por lo tanto, los números 13, 14 y 15 de Fibonacci son 233, 377 y 610 respectivamente.
Calcular términos de la secuencia de Fibonacci puede ser tedioso cuando se usa la fórmula recursiva, especialmente cuando se encuentran términos con un n grande. Afortunadamente, un matemático llamado Leonhard Euler descubrió una fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci. Esta fórmula se perdió por cerca de 100 años y fue redescubierta por otro matemático llamado Jacques Binet. La fórmula original, conocida como fórmula de Binet, está a continuación.
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Fórmula de Binet: El nésimo número de Fibonacci viene dado por la siguiente fórmula: \[f_{n}=\frac{\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]}{\sqrt{5}} \nonumber \] |
| La fórmula de Binet es un ejemplo de una secuencia explícitamente definida. Esto significa que los términos de la secuencia no dependen de términos anteriores. |
A veces se usa una versión algo más fácil de usar y simplificada de la fórmula de Binet en lugar de la anterior.
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Fórmula simplificada de Binet: El número n de Fibonacci viene dado por la siguiente fórmula: Nota: El símbolo |
significa “redondo al entero más cercano”. Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Encontrar
Encuentra el valor de
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Encontrar 
Encuentra el valor de 
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Encontrar 
Encuentra el valor de 
A nuestro alrededor podemos encontrar los números de Fibonacci en la naturaleza. El número de ramas en algunos árboles o el número de pétalos de algunas margaritas suelen ser números de Fibonacci
Figura\(\PageIndex{4}\): Números y Margaritas de Fibonacci
a. Margarita con 13 pétalos b. Margarita con 21 pétalos
a.
(Margaritas, n.d.)
Los números de Fibonacci también aparecen en patrones de crecimiento espirales como el número de espirales en un cactus o en lechos de semillas de girasoles.
Figura\(\PageIndex{5}\): Números de Fibonacci y Crecimiento Espiral
a. Cactus con 13 espirales en sentido horario b. Girasol con 34 espirales en sentido horario y 55 espirales en sentido antihorario
a.
(Cactus, n.d.) (Girasol, n.d.)
Otro dato interesante surge al mirar las proporciones de números consecutivos de Fibonacci.
Parece que estas proporciones se acercan a un número. El número al que estas proporciones se están acercando es un número especial llamado Ratio áureo que se denota por
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La proporción áurea: \[\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \nonumber \] La Relación áurea tiene la aproximación decimal de\(\phi=1.6180339887\). |
La proporción áurea es un número especial por diversas razones. También se le llama la proporción divina y aparece en el arte y la arquitectura. Algunos afirman que es la proporción más agradable a la vista. Para encontrar esta relación, los griegos cortan una longitud en dos partes, y dejan que la pieza más pequeña sea igual a una unidad. El corte más agradable es cuando la relación de toda la longitud
La relación áurea es una solución a la ecuación cuadrática, lo que
¡Funcionó!
Otra interesante relación entre la proporción áurea y la secuencia de Fibonacci se produce al tomar poderes de
Y así sucesivamente.
Observe que los coeficientes de
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Regla de Poder Dorado:\(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{n-1}\) donde\(f_{n}\) está el número n de Fibonacci y\(\phi\) es la Relación Dorada. |
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Poderes de la proporción áurea
Encuentra lo siguiente usando la regla del poder dorado: a.
